2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷含答案）

1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 陕西卷 含答案 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 陕西卷 含答案 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 设 a b是向量 命题 若ab 则 a b 的逆命题是 D A 若ab 则 a b B 若ab 则 a b C 若 a b 则 a b D 若 a b 则a b 2 设抛物线的顶点在原点 准线方程为2x 则抛物线的方程是 C A 2 8yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 4yx 3 设0ab 则下列不等式中正确的是 B A 2 ab abab B 2 ab aabb c 2 ab aabb D 2 ab abab 4 函数 1 3 yx 的图像是 B 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A A 2 8 3 B 8 3 C 8 2 D 2 3 6 方程cosxx 在 内 C A 没有根 B 有且仅有一个根 C 有且仅有两个根 D 有无穷多个根 7 如右框图 当 12 6 9 xx 8 5p 时 3 x等于 B 2 A 7 B 8 C 10 D 11 8 设集合 M y 2 cos x 2 sin x x R N x x 1 i 0 则 f f 2 10 x x 0 12 如图 点 x y 在四边形 ABCD 内部和边界上运动 那么 2x y 的最小值为 13 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第五个等式应为 14 设 n N 一元二次方程 2 40 xx n 有整数根的充要条件是 n 15 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题评分 A 不等式选做题 若不等式 12xxa 对任意 xR 恒成立 则 a 的取值范围是 B 几何证明选做题 如图 0 90BD AEBCACD 4 且 AB 6 AC 4 AD 12 则 AE C 坐标系与参数方程选做题 直角坐标系 xoy 中 以原 点为极点 x 轴的正半轴为极轴建极坐标系 设点 A B 分别在 曲线 1 3cos sin x C y 为参数 和曲线 2 1C 上 则 AB 的最小值为 3 3 解答题 接答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共解答题 接答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 分 P 本小题满分 12 分 如图 在 ABC 中 ABC 45 BAC 90 AD 高 沿 AD 把是 BC 上的 ABD 折起 使 BDC 90 证明 平面 平面 设 BD 1 求三棱锥 D 的表面积 解 折起前 是 边上的高 当 折起后 AD AD 又 DB 5 平面 AD 平面平面 BDC 由 知 DADB DBDC DCDA DB DA DC 1 AB BC CA 2 11 1 1 22 DAMDBCDCA SSS AAA 13 22sin60 22 ABC S A 表面积 1333 3 222 S 17 本小题满分 12 分 设椭圆 C 22 22 10 xy ab ab 过点 0 4 离心率为 3 5 求 C 的方程 求过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线被 C 所截线段的中点坐标 解 将 0 4 代入 C 的方程得 2 16 1 b b 4 又 3 5 c e a 得 22 2 9 25 ab a 即 2 169 1 25a a 5 C 的方程为 22 1 2516 xy 过点 3 0且斜率为 4 5 的直线方程为 4 3 5 yx 设直线与 的交点为 11 x y 22 xy 将直线方程 4 3 5 yx 代入 的方程 得 2 2 3 1 2525 xx 6 即 2 380 xx 解得 1 341 2 x 2 341 2 x AB 的中点坐标 12 3 22 xx x 12 12 26 6 255 yy yxx 即中点为 36 25 注 注 用韦达定理正确求得结果 同样给分 18 本小题满分 12 分 叙述并证明余弦定理 解 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦之积的两倍 或 在 ABC 中 a b c 为 A B C 的对边 有 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 证法一证法一 如图 如图 2 cBC ACABACAB 22 2ACACABAB 22 2cosACACABAAB 7 22 2cosbbcAc 即 222 2cosabcbcA 同理可证 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 证法二 已知ABC 中 A B C所对边分别为 a b c 以A为原点 AB所在直线为x轴建 立直角坐标系 则 cos sin 0 C bA bA B c 19 本小题满分 12 分 如图 从点 1 0 0 P做 x 轴的垂线交曲线 x ye 于点 1 0 1 Q曲线在 1 Q点处的切线与 x 轴交 于点 2 P 再从 2 P做 x 轴的垂线交曲线于点 2 Q 依次重复上述过程得到一系列点 1122 nn PQ PQP Q记 k P点的坐标为 0 1 2 k xkn 试求 1 x与 1k x 的关系 2 kn 求 112233 nn PQPQPQPQ 解 设 11 0 kk Px 由 x ye 得 1 11 k x kk Qxe 点处切线方程为 8 11 1 kk xx k yeexx 由0y 得 1 1 2 kk xxkn 11 0 1 kk xxx 得 1 k xk 1 k xk kk PQee 112233 nnn SPQPQPQPQ 1 12 1 1 1 1 11 nn n eee eee ee 20 本小题满分 13 分 如图 A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2 现随机抽取 100 位从 A 地到火车 站的人进行调查 调查结果如下 试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率 分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 为了尽量大可能 在允许的时间内赶到火车站 试通过计算说明 他们应如何选择各自的 路径 解 由已知共调查了 100 人 其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12 12 16 4 44 人 用频率估计相应的概率为 0 44 选择 L1的有 60 人 选择 L2的有 40 人 故由调查结果得频率为 9 A1 A2 分别表示甲选择 L1和 L2时 在 40 分钟内赶到火车站 B1 B2分别表示乙选择 L1和 L2时 在 50 分钟内赶到火车站 由 知 P A1 0 1 0 2 0 3 0 6 P A2 0 1 0 4 0 5 P A1 P A2 甲应选择 L1 P B1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 P B2 0 1 0 4 0 4 0 9 P B2 P B1 乙应选择 L2 21 本小题满分 14 分 设 ln f xx g xf xfx 求 g x的单调区间和最小值 讨论 g x与 1 g x 的大小关系 求a的取值范围 使得 g ag x 1 a 对任意x 0 成立 解 由题设知 1 ln lnf xx g xx x 2 1 x g x x 令 g x 0 得x 1 当x 0 1 时 g x 0 故 0 1 是 g x的单调减区间 当x 1 时 g x 0 故 1 是 g x的单调递增区间 因此 x 1 是 g x的唯一值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为 1 1 g II 1 gInxx x 设 11 1h xg xgInxx xx 则 2 2 1 x h x x 当1x 时 1 0h 即 1 g xg x 当 0 1 1