用导数求切线方程的四种类型

第 1 页 共 3 页 用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一 用导数求切线方程的关键在于求出切点 及斜率 其求法为 设是曲线上的一点 则以的切点的切线 00 P xy 00 P xy yf x P 方程为 若曲线在点的切线平行于轴 即导 000 yyfxxx yf x 00 P xf x y 数不存在 时 由切线定义知 切线方程为 0 xx 下面例析四种常见的类型及解法 类型一 已知切点 求曲线的切线方程类型一 已知切点 求曲线的切线方程 此类题较为简单 只须求出曲线的导数 并代入点斜式方程即可 fx 例 1 曲线在点处的切线方程为 32 31yxx 11 34yx 32yx 43yx 45yx 解 由则在点处斜率 故所求的切线方程为 2 36fxxx 11 1 3k f 即 因而选 1 3 1 yx 32yx 类型二 已知斜率 求曲线的切线方程类型二 已知斜率 求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点 再用点斜式方程加以解决 例 2 与直线的平行的抛物线的切线方程是 240 xy 2 yx 230 xy 230 xy 210 xy 210 xy 解 设为切点 则切点的斜率为 00 P xy 0 0 22 x x yx 0 1x 由此得到切点 故切线方程为 即 故选 11 12 1 yx 210 xy 评注 此题所给的曲线是抛物线 故也可利用法加以解决 即设切线方程为 代入 得 又因为 得 故选 2yxb 2 yx 2 20 xxb 0 1b 类型三 已知过曲线上一点 求切线方程类型三 已知过曲线上一点 求切线方程 过曲线上一点的切线 该点未必是切点 故应先设切点 再求切点 即用待定切点 法 第 2 页 共 3 页 例 3 求过曲线上的点的切线方程 3 2yxx 11 解 设想为切点 则切线的斜率为 00 P xy 0 2 0 32 x x yx 切线方程为 2 000 32 yyxxx 32 0000 2 32 yxxxxx 又知切线过点 把它代入上述方程 得 11 32 0000 1 2 32 1 xxxx 解得 或 0 1x 0 1 2 x 故所求切线方程为 或 即 12 32 1 yx 131 12 842 yx 或 20 xy 5410 xy 评注 可以发现直线并不以为切点 实际上是经过了点且5410 xy 11 11 以为切点的直线 这说明过曲线上一点的切线 该点未必是切点 解决此类问题 1 7 2 8 可用待定切点法 类型四 已知过曲线外一点 求切线方程类型四 已知过曲线外一点 求切线方程 此类题可先设切点 再求切点 即用待定切点法来求解 例 4 求过点且与曲线相切的直线方程 2 0 1 y x 解 设为切点 则切线的斜率为 00 P xy 0 2 0 1 x x y x 切线方程为 即 00 2 0 1 yyxx x 0 2 00 11 yxx xx 又已知切线过点 把它代入上述方程 得 2 0 0 2 00 11 2 x xx 解得 即 00 0 1 11xy x 20 xy 评注 点实际上是曲线外的一点 但在解答过程中却无需判断它的确切位置 充 2 0 分反映出待定切点法的高效性 例 5 已知函数 过点作曲线的切线 求此切线方程 3 3yxx 016 A yf x 解 曲线方程为 点不在曲线上 3 3yxx 016 A 设切点为 00 M xy 则点的坐标满足 M 3 000 3yxx 第 3 页 共 3 页 因 2 00 3 1 fxx 故切线的方程为 2 000 3 1 yyxxx 点在切线上 则有 016 A 32 0000 16 3 3 1 0 xxxx 化简得 解得 3 0 8x 0 2x 所以 切点为 切线方程为