双曲线经典例题讲解

1 第一部分第一部分 双曲线相关知识点讲解双曲线相关知识点讲解 一 双曲线的定义及双曲线的标准方程一 双曲线的定义及双曲线的标准方程 1 1 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 双曲线定义 双曲线定义 到两个定点 F1与 F2的距离之差的绝对值等于定长 F1F2 的点的轨 迹 为常数 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头这两个定点叫双曲线的焦点 2121 2FFaPFPF a 要注意两点 1 距离之差的绝对值 2 2a F1F2 这两点与椭圆的定义有本质的 不同 当 MF1 MF2 2a 时 曲线仅表示焦点 F2所对应的一支 当 MF1 MF2 2a 时 曲线仅表示焦点 F1所对应的一支 当 2a F1F2 时 轨迹是一直线上以 F1 F2为端点向外的两条射线 当 2a F1F2 时 动点轨迹不存在 2 2 双曲线的标准方程双曲线的标准方程 和 a 0 b 0 这里 其中1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 222 acb 2c 要注意这里的 a b c 及它们之间的关系与椭圆中的异同 1 F 2 F 3 双曲线的标准方程判别方法是双曲线的标准方程判别方法是 如果项的系数是正数 则焦点在 x 轴上 如果项 2 x 2 y 的系数是正数 则焦点在 y 轴上 对于双曲线 a 不一定大于 b 因此不能像椭圆那样 通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上 4 4 求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程 应注意两个问题 正确判断焦点的位置 设出标准方程 后 运用待定系数法求解 二 双曲线的内外部二 双曲线的内外部 1 点在双曲线的内部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在双曲线的外部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 三三 双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为 焦点在 x 轴上 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 焦点在 y 轴上 0 四四 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 1 a 0 b 0 2 2 a x 2 2 b y 范围 x a y R 对称性 关于 x y 轴均对称 关于原点中心对称 顶点 轴端点 A1 a 0 A2 a 0 渐近线 若双曲线方程为渐近线方程1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x x a b y 若渐近线方程为双曲线可设为x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x M2 M1 P K2 K1A1A2F2F1 o y x 2 若双曲线与有公共渐近线 可设为 焦点在 x 轴上 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 焦点在 y 轴上 0 与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 与双曲线共焦点的双曲线系方程是1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 kb y ka x 六六 弦长公式弦长公式 若直线与圆锥曲线相交于两点 A B 且分别为 A B 的横ykxb 12 x x 坐标 则 若分别为 A B 的纵坐标 则 AB 2 12 1kxx 12 y yAB 21 2 1 1yy k 第二部分 典型例题分析 题型题型 1 1 运用 运用双曲线的定义双曲线的定义 例 1 如图所示 F为双曲线1 169 22 yx C的左 焦点 双曲线C上的点 i P 与 3 2 1 7 iP i 关于y轴对称 则FPFPFPFPFPFP 654321 的值是 A 9 B 16 C 18 D 27 解析 FPFP 61 FPFP 52 6 43 FPFP 选 C 练习 设 P 为双曲线1 12 2 2 y x上的一点 F1 F2是该双曲线的两个焦点 若 PF1 PF2 3 2 则 PF1F2的面积为 A 36B 12C 312D 24 解析 2 3 13 12 1 21 PFPFcba由 又 22 21 aPFPF 由 解得 4 6 21 PFPF 52 52 2 21 2 2 2 1 FFPFPF 为 21F PF 直角三角形 1246 2 1 2 1 21 21 PFPFS FPF 故选 B 题型题型 2 2 求求双曲线的标准方程双曲线的标准方程 3 例 2 已知双曲线 C 与双曲线 16 2 x 4 2 y 1 有公共焦点 且过点 32 2 求双曲线 C 的方程 解 设双曲线方程为 2 2 a x 2 2 b y 1 由题意易求 c 25 又双曲线过点 32 2 2 2 23 a 2 4 b 1 又 a2 b2 25 2 a2 12 b2 8 故所求双曲线的方程为 12 2 x 8 2 y 1 练习 1 已知双曲线的渐近线方程是 2 x y 焦点在坐标轴上且焦距是 10 则此双曲线的 方程为 解 设双曲线方程为 22 4yx 当0 时 化为1 4 22 yx 2010 4 5 2 当0 时 化为1 4 22 yy 2010 4 5 2 综上 双曲线方程为 22 1 205 xy 或1 205 22 xy 2 已知点 3 0 M 3 0 N 1 0 B 动圆C与直线MN切于点B 过M N与圆C相 切的两直线相交于点P 则P点的轨迹方程为 A 2 2 1 1 8 y xx B 2 2 1 1 8 y xx C 1 8 2 2 y x x 0 D 2 2 1 1 10 y xx 解析 2 BNBMPNPM P点的轨迹是以M N为焦点 实轴长为 2 的双曲线 的右支 选 B B 题型题型 3 3 与渐近线有关的问题与渐近线有关的问题 例 3 焦点为 0 6 且与双曲线1 2 2 2 y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 A 1 2412 22 yx B 1 2412 22 xy C 1 1224 22 xy D 1 1224 22 yx 解析 从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑 选 B 4 练习 过点 1 3 且渐近线为的双曲线方程是xy 2 1 解 设所求双曲线为 点 1 3 代入 代入 2 2 1 4 x yk 135 9 44 k 1 即为所求 222 2 354 1 443535 xyx y 题型题型 4 4 弦中点问题弦中点问题 设而不求法设而不求法 例 4 双曲线的一弦中点为 2 1 则此弦所在的直线方程为 1 22 yx A B C D 12 xy22 xy32 xy32 xy 解 设弦的两端分别为 则有 1 12 2 A x yB x y 22 222211 1212 1212 22 121222 1 0 1 xyyyxx xxyy xxyyxy 弦中点为 2 1 故直线的斜率 12 12 4 2 xx yy 1212 1212 2 yyxx k xxyy 则所求直线方程为 故选 C 12223yxyx 练习 1 在双曲线上 是否存在被点 M 1 1 平分的弦 如果存在 求弦所1 2 2 2 y x 在的直线方程 如不存在 请说明理由 错解 假定存在符合条件的弦 AB 其两端分别为 A x1 y1 B x2 y2 那么 22 11 12121212 22 22 1 1 1 2 01 12 1 2 xy xxxxyyyy xy M 1 1 为弦 AB 的中点 12 12 1212 1212 2 02 2 AB xx yy xxyyk yyxx 代入1 2 故存在符合条件的直线 AB 其方程为 12121yxyx 即 这个结论对不对呢 我们只须注意如下两点就够了 其一 将点 M 1 1 代入方程 发现左式 1 1 故点1 2 2 2 y x 11 22 5 M 1 1 在双曲线的外部 其二 所求直线 AB 的斜率 而双曲线的渐近线为2 AB k 这里 说明所求直线不可能与双曲线相交 当然所得结论也是荒唐的 2yx 22 问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件 正解 在上述解法的基础上应当加以验证 由 2 2 2 22 1 221224302 2 21 y x xxxx yx 这里 故方程 2 无实根 也就是所求直线不合条件 16240 结论 不存在符合题设条件的直线 2 已知双曲线1 2 2 2 y x 问过点 A 1 1 能否作直线l 使l与双曲线交于 P Q 两点 并且 A 为线段 PQ 的中点 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 解 设符合题意的直线l存在 并设 21 xxP 22 yxQ 则 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 y x y x 1 2 得 2121 xxxx 3 2 1 2121 yyyy 因为 A 1 1 为线段 PQ 的中点 所以 5 2 4 2 21 21 yy xx 将 4 5 代入 3 得 2 1 2121 yyxx 若 21 xx 则直线l的斜率2 21 21 xx yy k 其方程为012 yx 1 2 12 2 2 y x xy 得0342 2 xx 根据08 说明所求直线不存在 3 已知中心在原点 顶点 A1 A2在 x 轴上 离心率 e 的双曲线过点 P 6 6 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 求 3 21 双曲线方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 动直线 l 经过 A1PA2的重心 G 与双曲线交于不同的两点 M N 问 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 是否存在直线 l 使 G 平分线段 MN 证明你的结论 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 如图 设双曲线方程为 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由已知得 解 2 2 2 2 b y a x 3 21 1 66 2 22 2 2 2 2 2 a ba e ba 得 a2 9 b2 12 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 所以所求双曲线方程为 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 129 22 yx 2 P A1 A2的坐标依次为 6 6 3 0 3 0 其重心 G 的坐标为 2 2 A1 A2 M N G P o y x 6 假设存在直线 l 使 G 2 2 平分线段 MN 设 M x1 y1 N x2 y2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 则有 kl l 的方程为 22 1211 12 22 1212 22 4129108 124 493 129108 xxxy yy yyxx xy 3 4 y x 2 2 由 消去 y 整理得 x2 4x 28 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 16 4 28 0 所求 3 4 2 3 4 108912 22 xy yx 直线 l 不存在 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 题型题型 5 5 综合问题综合问题 1 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2 0 右顶点为 3 0 求双曲线 C 的方程 若直线 2 l ykx与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且2 OA OB 其中O为原点 求 k 的取值范围 解 1 设双曲线方程为 22 22 1 xy ab 由已知得3 2 ac 再由 222 2 ab 得 2 1 b 故双曲线C的方程为 2 2 1 3 x y 2 将2 ykx代入 2 2 1 3 x y得 22 1 3 6 290 kxkx 由直线l与双曲线交与不同的两点得 2 2 22 1 30 6 236 1 3 36 1 0 k kk 即 2 1 3 k且 2 1 k 设 AAAB A xyB xy 则 22 6 29 1 31 3 ABAB xyx y kk 由2 OA OB得2 ABAB x xy y 而 2 2 2 1 2 2 ABABABAbABAB x xy yx xkxkxkx xk xx 2 2 222 96 237 1 222 1 31 331 kk kk kkk 于是 2 2 37 2 31 k k 即 2 2 39 0 31 k k 解此不等式得 2 1 3 3 k 由 得 2 1 1 3 k 7 故的取值范围为 33 1 1 33 2 已知两定点满足条件的点 P 的轨迹是曲线 E 直 1 2 0 F 2 2 0 F212PFPF 线 kx 1 与曲线 E 交于 A B 两点