天津市南开区2013届高三数学第二次模拟考试 理（南开二模）（含解析）新人教A版

1 20132013 年天津市南开区高考数学二模试卷 理科 年天津市南开区高考数学二模试卷 理科 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合要求的 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合要求的 1 5 分 2013 南开区二模 若复数是纯虚数 其中 a 是实数 则 z A B C 1D 2 考点 复数求模 专题 计算题 分析 根据复数 是纯虚数 求得 a 的值 即可求得 z 解答 解 复数 是纯虚数 其中 a 是实数 a 0 z i 则 z 故选 B 点评 本题主要考查复数的基本概念 两个复数代数形式的乘除法 虚数单位 i 的幂运算性质 属于基础 题 2 5 分 2013 南开区二模 p 且 q 是真命题 是 非 p 为假命题 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也木必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 阅读型 分析 本题考查判断充要条件的方法 可以根据充要条件的定义判断 本题关键是复合命题真假的判断 解答 解 由 p 且 q 是真命题知 p 和 q 均为真命题 所以非 p 为假命题 所以 p 且 q 是真命题 是 非 p 为假命题 的充分条件 由非 p 为假命题知 p 为真命题 但 q 真假不知 故无法判断 p 且 q 真假 所以 p 且 q 是真命题 是 非 p 为假命题 的不必要条件 故选 A 点评 判断充要条件的方法是 若 p q 为真命题且 q p 为假命题 则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件 若 p q 为假命题且 q p 为真命题 则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件 若 p q 为真命题且 q p 为真命题 则命题 p 是命题 q 的充要条件 若 p q 为假命题且 q p 为假命题 则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围 再根据 谁大谁必要 谁小谁充分 的原则 判断命题 p 与 命题 q 的关系 3 5 分 2013 南开区二模 如图 直线 y 2x 与抛物线 y 3 x2所围成的阴影部分的面积是 2 A B C D 考点 定积分在求面积中的应用 专题 计算题 导数的综合应用 分析 联解方程组 得直线与抛物线交于点 A 3 6 和 B 1 2 因此求出函数 3 x2 2x 在区间 3 1 上的定积分值 就等于所求阴影部分的面积 接下来利用积分计算公式和法则进行运算 即可得到本题的答案 解答 解 由 解得或 直线 y 2x 与抛物线 y 3 x2交于点 A 3 6 和 B 1 2 两图象围成的阴影部分的面积为 3 1 13 12 3 3 3 3 3 2 故选 D 点评 本题求直线与抛物线围成的阴影部分图形的面积 着重考查了定积分计算公式和定积分的几何意义 等知识 属于基础题 4 5 分 2013 南开区二模 执行如图所示的程序框图 则输出的 S 值为 x 表示不超过 x 的最大整数 3 A 4B 5C 7D 9 考点 程序框图 专题 图表型 分析 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件 不满足然后执行循环语句 一旦满足条件就退出循环 输出结果 解答 解 n 0 不满足判断框中的条件 n 1 s 1 n 1 不满足判断框中的条件 n 2 s 2 n 2 不满足判断框中的条件 n 3 s 3 n 3 不满足判断框中的条件 n 4 s 5 n 4 不满足判断框中的条件 n 5 s 7 n 5 满足判断框中的条件 输出的结果为 7 故选 C 点评 本题主要考查了循环结构 是直到型循环 当满足条件 执行循环 属于基础题 5 5 分 2013 南开区二模 已知某几何体的三视图如图所示 其中正视图 侧视图均是由三角形与半 圆构成 视图由圆与内接三角形构成 根据图中的数据可得此几何体的体积为 4 A B C D 考点 由三视图求面积 体积 专题 空间位置关系与距离 分析 先把三视图还原成原几何体 再根据三视图中的长度关系得到原几何体的棱长 从而求得原几何体 的体积 解答 解 由三视图知 原几何体是一个三棱锥和一个半球的组合体 其中三棱锥的一个侧棱垂直于底面 等腰直角三角形 且高为 1 底面等腰直角三角形的腰为 1 球的直径为 半径为 原几何体的体积为 V 1 1 1 3 故选 D 点评 本题考查三视图 要求能根据三视图还原成原几何体 并能找到原几何体的棱长及其中的垂直平行 关系 属简单题 6 5 分 2013 南开区二模 设 x y 满足约束条件 若目标函数 z ax by 其中 a 0 b 0 的最大值为 3 则的最小值为 A 4B 3C 2D 1 考点 基本不等式 简单线性规划 专题 计算题 作图题 分析 本题考查的知识点是线性规划 处理的思路为 根据已知的约束条件 画出满足约 束条件的可行域 再根据目标函数 z ax by a 0 b 0 的最大值为 3 求出 a b 的关系式 再 利用基本不等式求出的最小值 5 解答 解 满足约束条件的区域是一个三角形 如图 3 个顶点是 A 3 0 B 2 0 C 1 2 由图易得目标函数在 1 2 取最大值 3 即 a 2b 3 a 2b 1 4 9 3 当且仅当 a b 1 时取 故选 B 点评 本题考查的知识点是线性规划 作出线性规划的图形是关键 明确目标函数过点 C 1 2 其最优 解为 3 是难点 属于中档题 7 5 分 2013 南开区二模 如图 F1 F2是双曲线 C a 0 b 0 的左 右焦点 过 F1的直线 l 与 C 的左 右两支分别交于 A B 两点 若 AB BF2 AF2 3 4 5 则双曲线的离心率为 A B C 2D 考点 双曲线的简单性质 6 专题 计算题 分析 根据双曲线的定义可求得 a 1 ABF2 90 再利用勾股定理可求得 2c F1F2 从而可求得双曲 线的离心率 解答 解 AB BF2 AF2 3 4 5 不妨令 AB 3 BF2 4 AF2 5 AB 2 ABF2 90 又由双曲线的定义得 BF1 BF2 2a AF2 AF1 2a AF1 3 4 5 AF1 AF1 3 BF1 BF2 3 3 4 2a a 1 在 Rt BF1F2中 62 42 52 又 4c2 4c2 52 c 双曲线的离心率 e 故选 A 点评 本题考查双曲线的简单性质 求得 a 与 c 的值是关键 考查转化思想与运算能力 属于中档题 8 5 分 2013 南开区二模 若函数 y f x x R 满足 f x 2 f x 且 x 1 1 时 f x 1 x2 函数 g x 则函数 h x f x g x 在区间 5 5 内的与 x 轴交点 的个数为 A 5B 7C 8D 10 考点 函数的零点与方程根的关系 专题 压轴题 数形结合 分析 由 f x 2 f x 知函数 y f x x R 是周期为 2 的函数 进而根据 f x 1 x2与函数 g x 的图象得到交点为 8 个 解答 解 因为 f x 2 f x 所以函数 y f x x R 是周期为 2 函数 因为 x 1 1 时 f x 1 x2 所以作出它的图象 则 y f x 的图象如图所示 注意拓 展它的区间 再作出函数 g x 的图象 7 容易得出到交点为 8 个 故选 C 点评 注意周期函数的一些常见结论 若 f x a f x 则周期为 a 若 f x a f x 则周期 为 2a 若 f x a 则周期为 2a 另外要注意作图要细致 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题每小题小题每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 9 5 分 2013 南开区二模 已知集合 A x 2x 1 3 B 3 a 若 A B A 则实数 a 的取值 集合是 2 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 解绝对值不等式求出集合 A 根据 B 3 a 及 A B A 可以求出 a 的取值范围 化为集合 区间 形式后可得答案 解答 解 2x 1 3 3 2x 1 3 2 2x 4 1 x 2 故 A 1 2 又 B 3 a 若 A B A 则 a 2 故实数 a 的取值集合是 2 故答案为 2 点评 本题考查的知识点是交集及其运算 其中解不等式求出集合 A 是解答的关键 10 5 分 2013 南开区二模 等比数列 an 的公比为 q q 0 其前项和为 Sn 若 S3 S9 S6成等差数 列 则 q3 考点 等比数列的性质 等差数列的性质 专题 计算题 分析 由题意可得公比 q 1 根据 S3 S9 S6成等差数列 可得 2S9 S3 S6 把等比数列的通项公式代入 化简可得 2q6 q3 1 0 解方程求得 q3 的值 解答 解 由题意可得公比 q 1 S3 S9 S6成等差数列 2S9 S3 S6 8 2 2q9 q6 q3 0 2q6 q3 1 0 解得 q3 q3 故答案为 点评 本题考查等差数列的定义和性质 等比数列的通项公式 等比数列的前 n 项和公式 得到 2q6 q3 1 0 是解题的关键 11 5 分 2013 南开区二模 在 ABC 中 若 a 2 B 60 b 则 BC 边上的高等于 考点 正弦定理 专题 计算题 解三角形 分析 根据余弦定理 b2 a2 c2 2accosB 结合题中数据算出 c 3 从而得到 ABC 的面积 S acsinB 再由 ABC 的面积 S a h h 是 BC 边上的高 即可算出 h 的大小 从而得到 BC 边上的 高 解答 解 ABC 中 a 2 b 且 B 60 根据余弦定理 得 b2 a2 c2 2accosB 可得 7 4 c2 4ccos60 化简得 c2 2c 3 0 解之得 c 3 舍负 ABC 的面积 S acsinB 2 3 sin60 又 ABC 的面积 S a h h 是 BC 边上的高 h 故答案为 点评 本题给出三角形的两边和其中一边的对角 求 BC 边上的高长 着重考查了三角形的面积公式 利 用正余弦定理解三角形等知识 属于中档题 12 5 分 2013 南开区二模 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系下 曲线 t 为 参数 曲线 a 为参数 若曲线 Cl C2有公共点 则实数 a 的取值范围 考点 圆的参数方程 直线与圆相交的性质 专题 计算题 分析 把参数方程化为普通方程 由直线和圆有交点可得圆心到直线的距离小于或等于半径 解不等式求得实数 a 的取值范围 9 解答 解 曲线 t 为参数 即 x 2y 2a 0 表示一条直线 曲线 a 为参数 即 x2 y 2 2 4 表示圆心为 0 2 半径等于 2 的 圆 由曲线 Cl C2 有公共点 可得圆心到直线的距离小于或等于半径 2 2 a 2 故答案为 点评 本题考查把参数方程化为普通方程的方法 点到直线的距离公式的应用 直线和圆的位置关系 绝 对值不等式的解法 13 5 分 2013 南开区二模 如图所示 以直角三角形 ABC 的直角边 AC 为直径作 O 交斜边 AB 于点 D 过点 D 作 O 的切线 交 BC 边于点 E 则 考点 与圆有关的比例线段 专题 选作题 分析 连接 CD 由 AC 是 O 的直径 可得 CD AB 可证 BC 是 O 的切线 及 DE 是 O 的切线 由切线 长定理可得 ED EC 在 Rt BCD 可证明点 E 是斜边的中点 即可得出结论 解答 解 连接 CD AC 是 O 的直径 CD AB BC 经过半径 OC 的端点 C 且 BC AC BC 是 O 的切线 而 DE 是 O 的切线 EC ED ECD CDE B BDE DE BE BE CE BC 故答案为 点评 熟练掌握圆的性质 切线长定理 直角三角形的边角关系数据他的关键 14 5 分 2013 南开区二模 设 D E F 分别是 ABC 的三边 BC CA AB 上的点 且 若 则 考点 向量在几何中的应用 专题 平面向量及应用 分析 利用条件 结合向量的加法运算 即可求得结论 10 解答 解 由题意 故答案为 点评 本题考查向量的加法运算 考查学生的计算能力 属于中档题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 13 分 2013 南开区二模 设函数 1 写出函数 f x 的最小正周期及单调递减区间 2 当时 函数 f x 的最大值与最小值的和为 求 a 的值 考点 三角函数的恒等变换及化简求值 三角函数的周期性及其求法 正弦函数的定义域和值域 正弦函 数的单调性 专题 计算题 综合题 分析 1 根据二倍角公式 和辅助角公式 我们易将函数的解析化简为正弦型函数的形式 进而求出 函数 f x 的最小正周期及单调递减区间 2 当时 根据函数 f x 的最大值与最小值的和为 我们可构造出关于 a 的方程 解方程即可得到 a 的值 解答 解 1 2 分 T 4 分 故函数 f x 的单调递减区间是 6 分 2 8 分 当时 原函数的最大值与最小值的和 a 0 12 分 点评 本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值 三角函数的周期性及其求法 正弦函数的值 域 正弦函数的单调性 其中根据二倍角公式 和辅助角公式 化简函数的形式 是解答本题的关 键 16 13 分 2013 南开区二模 在某校组织的一次篮球定点投篮测试中 规定每人最多投 3 次 每次投 篮的结果相互独立 在 A 处每投进一球得 3 分 在 B 处每投进一球得 2 分 否则得 0 分 将学生得分逐次 累加并用 表示 如果 的值不低于 3 分就认为通过测试 立即停止投篮 否则继续投篮 直到投完三 次为止 投篮的方案有以下两种 方案 1 先在 A 处投一球 以后都在 B 处投 方案 2 都在 B 处投 篮 甲同学在 A 处投篮的命中率为 0 5 在 B 处投篮的命中率为 0 8 1 当甲同学选择方案 1 时 11 求甲同学测试结束后所得总分等于 4 的概率 求甲同学测试结束后所得总分 的分布列和数学期望 E 2 你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大 说明理由 考点 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 专题 概率与统计 分析 1 设该同学在 A 处投中为事件 A 不中为事件 在 B 处投中为事件 B 不中为事件 则事件 A B 相互独立 求甲同学测试结束后所得总分等于 4 可记着事件 BB 由对立事件和相互独立事件性质 能求出 甲同学测试结束后所得总分等于 4 的概率 根据上面的做法 做出分布列中四个概率的值 写出分布列算出期望 过程计算起来有点麻烦 不要在数字运算上出错 2 甲同学选择 1 方案通过测试的概率为 P1 选择 2 方案通过测试的概率为 P2 利用分布列可得 P1 P 3 和 P2 P P P BB 的大小 再比较 P2 P1的大小 从而得出结 论 解答 解 1 设该同学在 A 处投中为事件 A 不中为事件 在 B 处投中为事件 B 不中为事件 则事件 A B 相互独立 求甲同学测试结束后所得总分等于 4 可记着事件 BB 则 P BB P P B P B 0 5 0 8 0 8 0 32 甲同学测试结束后所得总分 的可能值为 0 2 3 4 则 P 0 P P P P 0 5 0 2 0 2 0 02 P 2 P B P B P P B P P P P B 0 5 0 8 0 2 0 5 0 2 0 8 0 16 P 3 P A 0 5 P 4 P P P B P B 0 5 0 8 0 8 0 32 分布列为 数学期望 E 0 0 02 2 0 16 3 0 5 4 0 32 3 1 2 甲同学选择 1 方案通过测试的概率为 P1 选择 2 方案通过测试的概率为 P2 则 P1 P 3 0 5 0 32 0 82 P2 P P P BB 2 0 8 0 2 0 8 0 8 0 896 P2 P1 甲同学选择 1 方案通过测试的可能性更大 点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用 解题时要认真审题 注意挖掘题设中 的隐含条件 合理地进行等价转化 17 13 分 2013 南开区二模 如图 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为菱形 ABC 60 侧面 PAB 是边 长为 2 的正三角形 侧面 PAB 底面 ABCD 设 AB 的中点为 Q 求证 PQ 平面 ABCD 求斜线 PD 与平面 ABCD 所成角的正弦值 在侧棱 PC 上存在一点 M 使得二面角 M BD C 的大小为 60 求的值 12 考点 直线与平面垂直的判定 直线与平面所成的角 二面角的平面角及求法 专题 空间位置关系与距离 空间角 分析 I 由 Q 为侧面正三角形 PAB 的边 AB 的中点 可得 PQ AB 再利用面面垂直的性质定理即可证 明线面垂直 II 通过结论空间直角坐标系 利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得出 III 利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角 进而解出 解答 证明 侧面 PAB 是正三角形 AB 的中点为 Q PQ AB 侧面 PAB 底面 ABCD 侧面 PAB 底面 ABCD AB PQ 侧面 PAB PQ 平面 ABCD 连接 AC 设 AC BD O 建立空间直角坐标系 O xyz 则 O 0 0 0 C 0 1 0 平面 ABCD 的法向量 设斜线 PD 与平面 ABCD 所成角的为 则 设 则 M 设平面 MBD 的法向量为 则 取 得 又平面 ABCD 的法向量 13 解得 t 2 舍去 或 所以 此时 点评 熟练掌握正三角形的性质 面面垂直的性质定理 线面垂直的判定定理 通过建立空间直角坐标系 利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角得出线面角 利用两个平面的法向量的夹角即可得到二 面角是解题的关键 18 13 分 2013 南开区二模 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且对一切正整数 n 成 立 1 证明 数列 3 an 是等比数列 并求出数列 an 的通项公式 2 设 bn an 求数列 bn 的前 n 项和为 Bn 3 数列 an 中是否存在构成等差数列的四项 若存在求出一组 否则说明理由 考点 数列的求和 等比关系的确定 专题 等差数列与等比数列 分析 1 由已知可得 Sn 2an 3n 进而得 an 1 Sn 1 Sn 2an 3 故 an 1 3 2 an 3 数列 an 3 是等比 数列 易求结果 2 由 1 可知 bn an n2n n 由错位相减法可解 3 先假设存在 由题 意可得 2m 2q 2n 2p 即 1 2q m 2n m 2p m 推出矛盾 解答 解 1 由 an 3n Sn 可得 Sn 2an 3n 故 an 1 Sn 1 Sn 2an 3 由待定系数法得 an 1 3 2 an 3 又 a1 3 6 0 数列 an 3 是以 6 为首项 2 为公比的等比数列 an 3 6 2n 1 an 3 2n 1 4 分 2 由 1 可得 bn an n2n n Bn 1 21 2 22 3 23 n 2n 1 2 3 n 2Bn 1 22 2 23 3 24 n 2n 1 2 1 2 3 n 得 Bn 2 22 23 2n 化简可得 Bn 2 9 分 3 假设数列 an 存在构成等差数列的四项依次为 am an ap aq m n p q 14 则 3 2m 1 3 2q 1 3 2n 1 3 2p 1 2m 2q 2n 2p 上式两边同除以 2m 则 1 2q m 2n m 2p m m n p q N 且 m n p q 上式左边是奇数 右边是偶数 相矛盾 数列 an 不存在构成等差数列的四项 点评 本题为数列的综合应用 涉及由和求通项公式 错位相减法求和 属中档题 19 14 分 2013 南开区二模 已知椭圆的离心率为 I 若原点到直线 x y b 0 的距离为 求椭圆的方程 II 设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45 的直线 l 和椭圆交于 A B 两点 i 当 求 b 的值 ii 对于椭圆上任一点 M 若 求实数 满足的关系式 考点 椭圆的标准方程 直线与圆锥曲线的综合问题 专题 综合题 压轴题 分析 I 由题意知 b 2 a2 12 b2 4 由此可知椭圆的方程为 II i 由题意知椭圆的方程可化为 x2 3y2 3b2 AB 所以 设 A x1 y1 B x2 y2 所以 b 1 II ii 显然与可作为平面向量的一组基底 由平面向量基本定理 对于这一平面内的向 量 有且只有一对实数 使得等成立 同上经可知 2 2 1 解答 解 I 解得 a2 12 b2 4 椭圆的方程为 4 分 II i 椭圆的方程可化为 x2 3y2 3b2 易知右焦点 据题意有 AB 由 有 设 A x1 y1 B x2 y2 15 b 18 分 II ii 显然与可作为平面向量的一组基底 由平面向量基本定理 对于这一平面内的向 量 有且只有一对实数 使得等成立 设 M x y x