备战2013高考数学第一轮复习配套课时作业 选考4-4.1 坐标系与简单曲线的极坐标方程 新人教B版

用心 爱心 专心1 选修选修4 4 4 4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第第1 1讲讲 坐标系与简单曲线的极坐标方程坐标系与简单曲线的极坐标方程 随堂演练巩固 1 在平面直角坐标系xOy中 点P的直角坐标为 若以原点O为极点 x轴正半轴为极轴建 13 立极坐标系 则点P的极坐标可以是 A B 1 3 4 2 3 C D 2 3 4 2 3 答案 C 解析 22 2 3 xyxOP 点P的极坐标可以是 故选C 2 3 2 设直线过极坐标系中的点M 2 0 且垂直于极轴 则它的极坐标方程为 答案 cos 2 解析 设所求直线的任一点的极坐标为由题意可得cos 2 3 在平面直角坐标系中 求方程3x 2y 1 0所对应的直线经过伸缩变换 后的直线方 1 3 2 xx yy 程 解 由伸缩变换 得 1 3 2 xx yy 3 1 2 xx yy 代入方程3x 2y 1 0有9x y 1 0 即所求方程为9x y 1 0 4 求过点A 2 3 并且斜率为2的直线的极坐标方程 解 由题意可知 直线的直角坐标方程为y 3 2 x 2 即2x y 7 0 设为直线上任 M 意一点 将cossin代入2x y 7 0 得cossin就是所求x y 2 70 的极坐标方程 5 求圆心在点处并且过极点的圆的极坐标方程 并把它化为直角坐标方程 3 2 2 A 解 如图所示 设为圆上除O B外的任意一点 连接OM MB 则有OB 4 OM M MOB 3 22 BMO 从而 BOM为直角三角形 所以有 OM OB cos即4cossin故所求的圆的极坐标方程为MOB 3 4 2 4sin sin即即4为所求的圆的直角 2 4 22 4xyy 22 2 xy 用心 爱心 专心2 坐标方程 课后作业夯基 基础巩固 1 在极坐标系中 点到圆cos 的圆心的距离为 2 3 2 A 2B 2 4 9 C D 2 1 9 3 答案 D 解析 圆cos 在直角坐标系中的方程为1 点的直角坐标为2 2 1 x 2 y 2 3 13 圆心 1 0 与的距离为 13 22 1 1 30 3d 2 在极坐标系中 直线sin被圆截得的弦长为 2 4 4 答案 4 3 解析 直线sin可化为圆可化为 2 4 2 20 xy 4 22 16xy 由圆中的弦长公式得弦长为 22 2 rd 222 2 2 4 2 4 3 3 设平面上的伸缩变换的坐标表达式为 则在这一坐标变换下正弦曲线y sinx的方 1 2 3 xx yy 程变为 答案 y 3sin2x 解析 1 2 3 xx yy 2 1 3 xx yy 代入y sinx得y 3sin2x 4 在极坐标系中 已知两点A B的极坐标分别为 则 AOB 其中O为极点 的面积 3 3 4 6 为 答案 3 解析 结合图形 图略 可知 AOB的面积sin 1 2 SOA OB 3 36 5 在极坐标系中 直线截圆cosR R 所得的弦长是 6 2 6 答案 2 解析 把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为和 3 3 yx 2231 1 22 xy 显然圆心在直线上 3 1 22 3 3 yx 故所求的弦长等于圆的直径的大小 即为2 用心 爱心 专心3 6 直线2x 3y 1 0经过变换可以化为6x 6y 1 0 则坐标变换公式是 答案 1 3 1 2 xx yy 解析 设直线2x 3y 1 0上任一点的坐标为 x y 经变换后对应点的坐标为 x y 设 坐标变换公式为 xkx yhy 1 1 xx k yy h 将其代入直线方程2x 3y 1 0 得 1 0 将其与6x 6y 1 0比较得 2 x k 3 y h 11 32 kh 坐标变换公式为 1 3 1 2 xx yy 7 在极坐标系 中 曲线sin与cos的交点的极坐标为 02 2 1 答案 3 2 4 解析 由sin得sin 2 2 2 其普通方程为 22 2xyy cos的普通方程为x 1 1 联立 解得 22 2 1 xyy x 1 1 x y 故点 1 1 的极坐标为 3 2 4 8 把极坐标方程化成直角坐标方程 4 2cos 解 4 2cos coscos 2 4 24 cos 2 4 2 4 即 2222 44 4 816xyxxx 2 3x 2 8416xy 9 将直角坐标方程化成极坐标方程 22 2 4xy 解 把cossin代入得 22 2 4xy 22 4xyy x y 22 4xyy sin即sin 2 4 0 4 10 曲线经过伸缩变换F作用之后 变成椭圆 1 求这个伸缩变换F 22 1xy 22 11 916 xy 解 设这个伸缩变换为F xax yby 代入得它与表示同一曲线 22 11 1 916 xy 22 22 1 916 b y a x 22 1xy 有 a 3 b 4 舍去负值 2 1 9 a 2 1 16 b 用心 爱心 专心4 这个伸缩变换F为 3 4 xx yy 11 在极坐标系中 求点到直线l sin的距离 2 6 P 1 6 解 点的直角坐标为将直线l sin化为直角坐标方程为 2 6 P 31 1 6 sincoscossin即 6 3 1 622 x y 320 xy 332 31 2 d 12 在极坐标系中 求点关于直线的对称点的坐标 5 4 12 M 3 解 设点关于直线的对称点为M 线段MM 交直线于点A 5 4 12 M 3 3 则 OA M MOA 5 12 3 12 点M 的极角 3124 又点M M 的极半径相等 4 点M 的极坐标为 4 4 13 在极坐标系中 极点为O 已知一条封闭的曲线C由三段圆弧组成 cos 2 0 4 sin 2 2 2 422 1 求曲线C围成的区域的面积 2 若直线l sinR 与曲线C恰有两个公共点 求实数k的取值范围 4 k k 解 1 如图 设两段小圆弧所在圆的圆心分别为A C 它们的衔接点为B 则四边形OABC是边长为1的正方形 用心 爱心 专心5 曲线C围成的区域面积1 3 4 S 21 21 1 2 2 1 7 2 2 如图 以极点为原点 以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系 其中点M为圆A与x轴正半轴的交 点 点N为圆C与y轴正半轴的交点 则 小圆弧BM BN所在的圆的方程分别为 2 1 x 2 y 22 1 1 1xy 大圆弧NPM所在的圆方程为 22 4xy 直线l sin在直角坐标系下的方程为x 4 k 2yk 当l与圆弧 NPM 相切时 l的方程为 2 2yx 当l过M B N三点时 l的方程为y x 2 当l与圆弧BM BN都相切时 记l与曲线C的切点分别为E F 且与x轴的交点为D 在等腰直角三角 形AED中 12AEAD 所以 12OD 此时l的方程为y 12x 因此 要使l与曲线C恰有两个公共点 必须或 2 222k 212k 即或 22k 2 2 1k 拓展延伸 14 在直角坐标系xOy中 直线l的方程为x y 4 0 曲线C的参数方程为 为参 3cos ysin x 数 1 已知在极坐标系 与直角坐标系xOy取相同的长度单位 且以原点O为极点 以x轴正半轴为极 轴 中 点P的极坐标为判断点P与直线l的位置关系 4 2 2 设点Q是曲线C上的一个动点 求它到直线l的距离的最小值 解 1 把极坐标系的点化为直角坐标