山东省2011届高考数学 权威预测 向量与圆锥曲线（一） 新人教版

用心 爱心 专心1 20112011 届山东新课标高考数学权威预测 届山东新课标高考数学权威预测 向量与圆锥曲线 一 向量与圆锥曲线 一 高考在考什么高考在考什么 考题回放考题回放 1 重庆 已知以F1 2 0 F2 2 0 为焦点的椭圆与直线340 xy 有且仅有一 个交点 则椭圆的长轴长为 A 23 B 62 C 72 D 24 2 全国 设 12 FF 分别是双曲线 2 2 1 9 y x 的左 右焦点 若点P在双曲线上 且 12 0PFPF 则 12 PFPF A 10 B 2 10 C 5 D 2 5 3 设过点P x y 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A B两点 点Q与点P 关于y轴对称 O为坐标原点 若2BPPA 且1OQAB 则点P的轨迹方程是 A 22 3 31 0 0 2 xyxy B 22 3 31 0 0 2 xyxy C 22 3 31 0 0 2 xyxy D 22 3 31 0 0 2 xyxy 4 已知两点M 2 0 N 2 0 点P为坐标平面内的动点 满足 0 NPMNMPMN 则动点P x y 的轨迹方程为 A xy8 2 B xy8 2 C xy4 2 D xy4 2 5 若曲线y2 x 1 与直线y kx b没有公共点 则k b分别应满足的条件是 高考要考什么高考要考什么 热点透析热点透析 知识要点 1 直线与圆锥曲线的公共点的情况 0 0 0 2 CBxAx yxf cbyax 曲线 直线 0 2 CyByA交 1 没有公共点 方程组无解 2 一个公共点 0 0 0 Aii Ai 交交 交交 3 两个公共点 0 0 A 2 连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦 要能熟练地利用方程的根与系数关系 用心 爱心 专心2 来计算弦长 常用的弦长公式 2 1212 2 1 11ABkxxyy k 3 以平面向量作为工具 综合处理有关长度 角度 共线 平行 垂直 射影等问题 主要题型 1 三点共线问题 2 公共点个数问题 3 弦长问题 4 中点问题 5 定比分点问题 6 对称问题 7 平行与垂直问题 8 角的问题 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 1 考查学生对平面向量知识的简单运用 如向量共线 垂直 定比分点 2 考查学生把向量作为工具的运用能力 如求轨迹方程 圆锥曲线的定义 标准方 程和几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系 特别提醒 法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具 突破重难点突破重难点 例例 1 1 在平面直角坐标系xOy中 直线l与抛物线y2 2x相交于 A B 两点 1 求证 如果直线l过点 T 3 0 那么 OA OB 3 是真命题 2 写出 1 中命题的逆命题 判断它是真命题还是假命题 并说明理由 解解 1 设过点 T 3 0 的直线l交抛物线y2 2x于点 A x1 y1 B x2 y2 当直线l的钭率不存在时 直线l的方程为 x 3 此时 直线l与抛物线相交于 点 A 3 6 B 3 6 OBOA 3 当直线l的钭率存在时 设直线l的方程为 3 yk x 其中0k 由 2 2 3 yx yk x 得 2 12 2606kyyky y 又 22 1122 11 22 xyxy 2 12121212 1 3 4 OA OBx xy yy yy y 综上所述 命题 如果直线l过点 T 3 0 那么OBOA 3 是真命题 2 逆命题逆命题是 设直线l交抛物线 y2 2x 于 A B 两点 如果OBOA 3 那么该直线过 点 T 3 0 该命题是假命题假命题 例如 取抛物线上的点 A 2 2 B 2 1 1 此时 OA OB 3 直线 AB 的方程为 2 1 3 yx 而 T 3 0 不在直线 AB 上 说明 由抛物线y2 2x上的点 A x1 y1 B x2 y2 满足OBOA 3 可得 y1y2 6 或y1y2 2 如果y1y2 6 可证得直线 AB 过点 3 0 如果 y1y2 2 可证得直线 AB 过点 1 0 而不过点 3 0 例例 2 2 已知A B为抛物线x2 2py p 0 上异于原点的两点 0OA OB 点C坐标 为 0 2p 1 求证 A B C三点共线 2 若AM BM R 且0OM AB 试求点 M 的轨迹方程 用心 爱心 专心3 1 证明 设 22 12 12 22 xx A xB x pp 由0OA OB 得 22 2 12 1212 0 4 22 xx x xx xp pp 又 222 121 121 2 22 xxx ACxpABxx pp 222 211 121 2 0 22 xxx xpxx pp ACAB 即A B C三点共线 2 由 1 知直线AB过定点C 又由0OM AB 及AM BM R 知 OM AB 垂足为M 所以点M的轨迹为以OC为直径的圆 除去坐标原点 即点M的轨迹方 程为x2 y p 2 p2 x 0 y 0 例例 3 3 椭圆 22 22 1 0 xy a b ab 的两个焦点F1 F2 点P在椭圆C上 且 PF1 F1F2 PF1 3 4 PF2 3 14 I 求椭圆C的方程 II 若直线l过圆x2 y2 4x 2y 0 的圆心M交椭圆于A B两点 且A B关于点M 对称 求直线l的方程 解法一 解法一 因为点P在椭圆C上 所以62 21 PFPFa a 3 在 Rt PF1F2中 52 2 1 2 221 PFPFFF故椭圆的半焦距c 5 从而b2 a2 c2 4 所以椭圆C的方程为 49 22 yx 1 设A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由圆的方程为 x 2 2 y 1 2 5 所以圆心M的坐标为 2 1 从而可设直 线l的方程为y k x 2 1 代入椭圆C的方程得 4 9k2 x2 36k2 18k x 36k2 36k 27 0 因为A B关于点M对称 所以 2 94 918 2 2 2 21 k kkxx 解得 9 8 k 所以直线l的方程为 1 2 9 8 xy 即 8x 9y 25 0 经检验 符合题意 解法二 解法二 同解法一 已知圆的方程为 x 2 2 y 1 2 5 所以圆心M的坐标为 2 1 设A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由题意x1 x2且 1 49 2 1 2 1 yx 1 49 2 2 2 2 yx 由 得 0 4 9 21212121 yyyyxxxx 因为A B关于点M对称 所以x1 x2 4 y1 y2 2 用心 爱心 专心4 代入 得 21 21 xx yy 9 8 即直线l的斜率为 9 8 所以直线l的方程为y 1 9 8 x 2 即 8x 9y 25 0 经检验 所求直线方程符合题意 例例 4 4 已知双曲线 22 2xy 的左 右焦点分别为 1 F 2 F 过点 2 F的动直线与双曲线 相交于AB 两点 I 若动点M满足 1111 FMF AFBFO 其中O为坐标原点 求点M的轨迹方程 II 在x轴上是否存在定点C 使CA CB 为常数 若存在 求出点C的坐标 若不存在 请说明理由 解 由条件知 1 2 0 F 2 2 0 F 设 11 A xy 22 B xy 解法一 I 设 M xy 则 1 2 FMxy 111 2 F Axy 1221 2 2 0 FBxyFO 由 1111 FMF AFBFO 得 12 12 26xxx yyy 即 12 12 4xxx yyy 于是AB的中点坐标为 4 22 xy 当AB不与x轴垂直时 12 12 2 4 8 2 2 y yyy x xxx 即 1212 8 y yyxx x 又因为AB 两点在双曲线上 所以 22 11 2xy 22 22 2xy 两式相减得 12121212 xxxxyyyy 即 1212 4 xxxyyy 将 1212 8 y yyxx x 代入上式 化简得 22 6 4xy 当AB与x轴垂直时 12 2xx 求得 8 0 M 也满足上述方程 所以点M的轨迹方程是 22 6 4xy II 假设在x轴上存在定点 0 C m 使CA CB 为常数 当AB不与x轴垂直时 设直线AB的方程是 2 1 yk xk 代入 22 2xy 有 2222 1 4 42 0kxk xk 用心 爱心 专心5 则 12 xx 是上述方程的两个实根 所以 2 12 2 4 1 k xx k 2 12 2 42 1 k x x k 于是 2 1212 2 2 CA CBxm xmkxx 2222 1212 1 2 4kx xkm xxkm 2222 22 22 1 42 4 2 4 11 kkkkm km kk 2 22 22 2 1 2 244 2 1 2 11 m km mmm kk 因为CA CB 是与k无关的常数 所以440m 即1m 此时CA CB 1 当AB与x轴垂直时 点AB 的坐标可分别设为 22 22 此时 12 12 1CA CB A 故在x轴上存在定点 10 C 使CA CB 为常数 解法二 I 同解法一的 I 有 12 12 4xxx yyy 当AB不与x轴垂直时 设直线AB的方程是 2 1 yk xk 代入 22 2xy 有 2222 1 4 42 0kxk xk 则 12 xx 是上述方程的两个实根 所以 2 12 2 4 1 k xx k 2 1212 2 44 4 4 11 kk yyk xxk kk 由 得 2 2 4 4 1 k x k 2 4 1 k y k 当0k 时 0y 由 得 4x k y 将其代入 有 用心 爱心 专心6 222 2 4 4 4