【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第八章 第一节 椭圆精练 理（全国版）

用心 爱心 专心 1 龙门亮剑龙门亮剑 2011 2011 高三数学一轮课时高三数学一轮课时 第八章第八章 第一节第一节 椭圆精练椭圆精练 理 全国版 理 全国版 本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 已知椭圆过点 P 4 和点 Q 3 则此椭圆的标准方程是 3 5 4 5 A x2 1 y2 25 B y2 1 x2 25 C y2 1 或 x2 1 x2 25 y2 25 D 以上都不对 解析 设椭圆的方程为 Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 则Error Error 解得 A 1 B 故选 A 1 25 答案 A 2 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 则椭圆的离心率等于 A B 1 3 3 3 C D 1 2 3 2 解析 由题意知 2a 2 2b b a 1 2 b2 a2 1 4 e c2 a2 3 4 c a 3 2 答案 D 3 已知 F1 F2是椭圆 1 的两个焦点 过 F2的直线交椭圆于点 A B 若 x2 16 y2 9 AB 5 则 AF1 BF2 等于 A 3 B 8 C 13 D 16 解析 由椭圆方程得 a 4 AF1 AF2 8 AF1 8 AF2 AF1 BF2 8 AF2 BF2 8 AB 8 5 3 答案 A 4 2010 年石家庄模拟 过点 M 2 0 的直线 m 与椭圆 y2 1 交于 P1 P2两点 线段 x2 2 P1P2的中点为 P 设直线 m 的斜率为 k1 k1 0 直线 OP 的斜率为 k2 则 k1k2的值为 A 2 B 2 C D 1 2 1 2 解析 由题意直线 m 的方程为 y k1 x 2 用心 爱心 专心 2 设 P1 x1 y1 P2 x2 y2 由Error Error 得 1 2k x2 8k x 8k 2 0 2 12 12 1 x1 x2 y1 y2 8k2 1 1 2k2 1 4k1 1 2k2 1 P 4k2 1 1 2k2 1 2k1 1 2k2 1 k2 k1k2 2k1 1 2k2 1 4k2 1 1 2k2 1 1 2k1 1 2 答案 D 5 2010 年郑州模拟 如图 A B C 分别为椭圆 1 a b 0 的顶点与焦点 若 ABC 90 则该椭圆的离心 x2 a2 y2 b2 率为 A B 1 1 5 2 2 2 C 1 D 2 2 2 解析 由已知得 a2 a2 b2 a c 2 即 c2 ac a2 0 e2 e 1 0 1 e 0 e 1 5 2 答案 A 6 B1 B2是椭圆短轴的两端点 O 为椭圆中心 过左焦点 F1作长轴的垂线交椭圆于 P 若 F1B2 是 OF1 和 B1B2 的等比中项 则的值是 PF1 OB2 A B 2 2 2 C D 3 2 2 3 解析 设椭圆方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 令 x c 得 y2 PF1 b4 a2 b2 a PF1 OB2 b2 a b b a 又由 F1B2 2 OF1 B1B2 得 a2 2bc a4 4b2 a2 b2 a2 2b2 2 0 a2 2b2 b a 2 2 答案 B 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 用心 爱心 专心 3 7 如果椭圆的对称轴为坐标轴 短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形 焦点在 y 轴 上 且 a c 则椭圆的标准方程是 3 解析 由已知得 a 2c 又 a c c a 2 b2 a2 c2 9 333 椭圆的标准方程是 1 x2 9 y2 12 答案 1 x2 9 y2 12 8 椭圆 1 a b 0 的四个顶点为 A B C D 若四边形 ABCD 的内切圆恰好 x2 a2 y2 b2 过椭圆的焦点 则椭圆的离心率 e 解析 如图 设其中一个切点为 P 连接 OP 则 OP AD 在 Rt AOD 中 OP OA OD AD c c2 ab a2 b2 a2b2 a2 b2 c2 c4 3a2c2 a4 0 a2 a2 c2 a2 a2 c2 e4 3e2 1 0 e2 3 5 2 0 e 1 e2 3 5 2 e 3 5 2r f 3 r 5 2 1 26 2 5 5 1 2 答案 5 1 2 9 设椭圆 1 a b 0 的离心率为 e 右焦点为 F c 0 方程 ax2 bx c 0 x2 a2 y2 b2 1 2 的两个实根分别为 x1和 x2 则点 P x1 x2 与圆 x2 y2 2 的位置关系是 填 在圆 内 在圆上 或 在圆外 解析 由已知得 a 2c c a 1 2 b2 a2 c2 3c2 b c 3 方程即为 2cx2 cx c 0 3 2x2 x 1 0 3 x1 x2 x1x2 3 2 1 2 x x x1 x2 2 2x1x2 1 2 2 12 2 3 4 7 4 点 P x1 x2 在圆 x2 y2 2 内 答案 在圆内 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 2010 年上海春招 我国计划发射火星探测器 该探测器的运 行轨道是以火星 其半径 R 34 百公里 的中心 F 为一个焦点的椭 圆 如图 已知探测器的近火星点 轨道上离火星表面最近的点 A 到 火星表面的距离为 8 百公里 远火星点 轨道上离火星表面最远的点 B 到火星表面的距离为 800 百公里 假定探测器由近火星点 A 第一次 用心 爱心 专心 4 逆时针运行到与轨道中心 O 的距离为百公里时进行变轨 其中 a b 分别为椭圆的长半轴 ab 短半轴的长 求此时探测器与火星表面的距离 精确到 1 百公里 解析 设探测器运行轨道方程为 1 a b 0 c x2 a2 y2 b2a2 b2 a c 800 34 a c 8 34 a 438 c 396 于是 b2 a2 c2 35 028 探测器运行轨道方程为 1 x2 191 844 y2 35 028 设变轨时 探测器位于 P x0 y0 则 x y ab 81 975 1 1 2 02 0 x2 0 191 844 y2 0 35 028 解得 x0 239 7 y0 156 7 符合题意 探测器在变轨时与火星表面的距离为 R 187 3 x0 c 2 y2 0 答 探测器在变轨时与火星表面的距离约为 187 百公里 11 2010 年安徽模拟 已知 ABC 的顶点 A B 在椭圆 x2 3y2 4 上 C 在直线 l y x 2 上 且 AB l 1 当 AB 边通过坐标原点 O 时 求 AB 的长及 ABC 的面积 2 当 ABC 90 且斜边 AC 的长最大时 求 AB 所在直线的方程 解析 1 因为 AB l 且 AB 边通过点 0 0 所以 AB 所在直线的方程为 y x 设 A B 两点坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由Error Error 得 x 1 所以 AB x1 x2 2 22 又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离 所以 h S ABC AB h 2 2 1 2 2 设 AB 所在直线的方程为 y x m 由Error Error 得 4x2 6mx 3m2 4 0 因为 A B 在椭圆上 所以 12m2 64 0 设 A B 两点坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 x1 x2 x1x2 3m 2 3m2 4 4 所以 AB x1 x2 又因为 BC 的长等于点 0 m 到直线 l 的距离 即 BC 2 32 6m2 2 2 m 2 所以 AC 2 AB 2 BC 2 m2 2m 10 m 1 2 11 所以当 m 1 时 AC 边最长 这时 12 64 0 此时 AB 所在直线的方程为 y x 1 12 设 A B 分别是直线 y x 和 y x 上的两个动点 并且 动点 P 2 5 5 2 5 5 AB 20 满足 记动点 P 的轨迹为 C OP OA OB 1 求轨迹 C 的方程 2 若点 D 的坐标为 0 16 M N 是曲线 C 上的两个动点 且 求实数 的取 DM DN 值范围 用心 爱心 专心 5 解析 1 设 P x y A B 分别为直线 y x 和 y x 上的点 故可设 A 2 5 5 2 5 5 B x1 2 5 5 x1 x2 2 5 5 x2 OP OA OB Error Error Error Error 又 AB 20 x1 x2 2 x1 x2 2 20 y2 x2 20 4 5 5 4 4 5 即曲线 C 的方程为 1 x2 25 y2 16 2 设 N s t M