北航机械优化大作业

现代机械优化设计现代机械优化设计 授课老师 王春洁 2014 12 17 目录 第一部分第一部分 一 一维优化方法 2 1 进退法 2 2 格点法 2 3 牛顿法 2 4 二次插值 3 应用原则 4 二 多维无约束优化 4 1 梯度法 4 2 二阶牛顿法与阻尼牛顿法 5 3 DFP 变尺度法 6 4 单纯形法 6 三 多维约束优化 6 1 随机方向搜索法 8 2 可行方向法 8 3 惩罚函数法 8 第二部分第二部分 一 采用有约束多维优化方法解决箱梁模板的设计问题 10 1 1 问题的描述 11 1 2 多维约束优化 14 总结与致谢 18 参考文献 19 第一部分第一部分 本部分为简述学过的优化算法 一维 多维无约束 多维有约束 的选择 方法及应用原则 一 一 一维优化方法一维优化方法 1 进退法进退法 由单峰函数的性质可知 在极小点左边函数值应严格下降 而在极小值 m x 右边函数值应严格上升 因此 可从某一个给定的初始点出发 以初始步长 0 x 沿着函数值的下降方向 逐步前进 或后退 直至找到相继的 3 个试点的函 0 h 数值按 高 低 高 变化为止 2 格点法格点法 格点法是一种计算极其方便的方法 其迭代步骤可简要概括为把搜索区间 等分成 n 个点 计算各个点对应的数值 取出函数值最小的点的横 12 n x xx 坐标 之后 在两侧取临点 作为新的区间并判断 m x m x 11 mm xx 是否成立 倘若成立 则就是最优解 对应的函数值即为 11mm xxeps m x m y 最优值 若不成立则以为新区间重复以上过程直到满足条件为止 11 mm xx 3 牛顿法牛顿法 牛顿法是用切线代替弧 逐渐逼近函数根值的方法 当目标函数有一 f x 阶连续导数并且二阶导数大于零时 在曲线上作一系列切线 使之与 yfx 轴的脚垫逐渐趋于的根 x 0 1 2 3 xxxx 0fx x 对于一维搜索函数 假定已经给出极小点的一个较好的近似点 yf 0 在点附近用一个二次函数来逼近函数 0 f 2 00000 1 2 ffff 然后以该二次函数的极小点作极小点的一个新的近似点 根 f 1 据极值必要条件 0 即 000 0ff 可得 0 10 0 f f 依次继续下去可得到牛顿迭代公式 1 0 1 2 k kk k f k f 其具体计算步骤概括为 1 给定初始点 控制误差 并令 0 0k 2 计算 k f k f 3 根据牛顿迭代公式求 1k 4 若则求得近似解 停止计算 否则转到 5 1kk aa 1k aa 5 令转到 1 1kk 4 二次插值二次插值 二次插值是多项式逼近法的一种 所谓多项式逼近 是利用目标函数在若 干点的信息 函数值 导数值等 构成一个与目标函数值很接近的低次插值多项 式 然后利用该多项式的最优解作为函数的近似最优解 随着区间的逐次缩短 多项式函数的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐减小 直到满足一定的精 度要求时迭代终止 设原目标函数在的三个点对应的函数值则可 123 xxx 123 f xf xf x 作出如下多项式 2 012 P xaa xa x 多项式的极值点可从极值的必要条件求得 P x 12 20 p P xaa x 即 1 2 2 p a x a 又由于 2 1012221 P xaa xa xf x 2 2012222 P xaa xa xf x 2 3013233 P xaa xa xf x 根据以上各式可知 1 13 2 1 2 p c xxx c 式中 31 1 31 f xf x c xx 21 1 21 2 23 f xf x c xx c xx 以上是插值法的公式推导过程 根据其基本思想概括其迭代过程如下 1 确定初始搜索区间 定出初始插值结点 2 利用式与计算与 p x p f x 3 终止条件判断 当时 如果 则为所求的极小点 如果 2 p xx 2 m f xf x m x 则为所求的极小点 2 m f xf x 2 x 当时 则需比较的大小 以便在中丢 2 p xx 2 m f xf x 123 m x x xx 掉或 得到新的三点 然后再转 2 1 x 3 x 应用原则 应用原则 一维优化算法是求一维目标函数的最优点和最优值 求单变量的极值问题 但是在很多时候函数的求导很困难 甚至根本不可导 而且计算机不擅长求导 求导是用其他算法实现的 计算量大 需要的时间长 所以在优化过程中一般 不采用解析法而采取直接探索法求最优点 这种求优方法称为一维优化方法 求解一维的最小值一般分为两步 第一步是确定函数值最小值所在的区间 a b 称为搜索区间 第二步是在该区间内求出最优步长因子或最优值 确定搜索区间的方法 进退法 外推法 一维最优化算法分有格点法 二 次插值法 三次插值法等 格点法结构和程序很简单 但效率偏低 二次插值 法和三次插值法的搜索效率较高 收敛速度较快 调用函数次数少 三次插值 法的效率比二次插值法更高 在同样搜索次数下 其精度更高 但程序复杂 可靠性差些 对高维数的优化问题更适宜 经过某些技术处理 方法的可靠度 可以大为提高 二 二 多维无约束优化多维无约束优化 1 梯度法梯度法 函数的梯度方向是函数值增加最快的方向 则负梯度方向必然是函数值下 降最快的方向 所以在优化中采取负梯度矢量作为一维搜索的方向 成为最速 下降法 也叫一阶梯度法 此法属于解析法 既间接求优法 梯度法的迭代过程简单 对初始点的选择 要求不高 梯度方向目标函数 值下降迅速只是个局部性质 从整体来看 不一定是收敛最快的方向 以二维 二次函数为例 相邻两次的搜索方向是正交的 所以搜索路径是曲折的锯齿形 的 对于高维的非线性函数 接近极值点处 容易陷入稳定的锯齿形搜索路径 目标函数在点的梯度为 k x T 12 kkk k n fff f xxx x xxx 搜索方向为梯度方向 k k k f f x s x 梯度法的迭代公式为 1 kk kkkkk k f f x xxsx x 式中 是函数在迭代点处的梯度 k s f x k x 最优化步长 k 概括其迭代过程为 1 任选初始迭代点 选定收敛精度 令 0 x 0k 2 确定点的梯度 并确定搜索方向 k x k f x k S 3 判断是否满足迭代终止条件 若满足 则给出最优解 0 k f x 否则转向下一步 k xxyf x 4 从出发 沿负梯度方向做一维搜索 求最优步长 k x k min kkkkkk f xSf xS 0 k 5 令 返回 2 1 kkkk xxS 1kk 2 二阶牛顿法与阻尼牛顿法二阶牛顿法与阻尼牛顿法 二阶牛顿法与一维搜索方法中的牛顿法类似 只需将其推广到 n 维 利用 二次函数 二次曲线 来逐点去近似或者逼近目标函数 然后求出这个 x f x 二次函数的极小点 作为对原目标函数求优的下一个迭代点 通过若干 0 x 1 k x 次的重新迭代 使迭代点逐步逼近元目标函数极小点 x 二阶牛顿法的一般迭代公式 1 2 1 kkkk xxf xf x 式中就是 Hessian 矩阵 可写为 2 k f x 1 1 kkkk xxH xf x 阻尼牛顿法是在二阶牛顿法基础上进行修正得到的 在上述牛顿法中 存 在一个问题 由于迭代式中没有步长因子 所以有时候函数值反而会有所增大 即 1 kk f xf x 从而可能造成发散导致计算失败 所以要对牛顿法进行修正 通过将步长 改用为最优步长因子 将迭代式改写为 k 1 1 kkkkk xxH xf x 此时 1 kkk SH xf x 迭代步骤如下 1 任选初始点 给定精度 同时置 0 x0 0k 2 计算点的梯度和海鳃矩阵的逆矩阵 k x 3 检验是否满足精度要求 若满足停止迭代 否则进行步骤 4 k f x 4 令 1 kkk SH xf x 5 从出发沿牛顿方向进行以为搜索 k x 0 x min kkkkkk f xSf xS 求出最优步长 k 6 令 转步骤 2 1 kkkk xxS 1kk 当初始点选择得当的时候 两方法是目前算法中收敛速度最快的一种 尤其 对于二次函数 但是初始点选择不当的时候 会影响收敛导致计算失败 不过 对于修正牛顿法 即使初始点选择不当 也能求出最优解 在应用时 两方法要计算一二阶偏导数及 Hessain 矩阵的逆矩阵 准备工作 量较大 程序较为复杂 存储量也大 特别的 当变量较多时 因为次数较高 Hessain 矩阵是奇异矩阵 逆矩阵不存在 因而不能使用牛顿法 3 DFP 变尺度法变尺度法 由于梯度法和牛顿法具有各种缺点 为弥补上述缺点 综合了两种方法各 自的优点 提出了变尺度法 变尺度法迭代公式为 1 kkkkk xxAf x 它可以看成是梯度法和牛顿法的改进算法 当时 上式变成梯度法 k AI 1 kkkk xxf x 当时 上式变成牛顿法 1 k AH 1 1 kkkk xxHf x DFP 变尺度法综合了梯度法 牛顿法的优点而又避弃它们各自的缺点 只需 计算一阶偏导数 无需计算二阶偏导数及其逆矩阵 对目标函数的初始点选择 均无严格要求 收敛速度快 在应用时 对于高维 维数大于 50 问题 变尺度法被认为是无约束极值 问题最好的优化方法之一 4 单纯形法单纯形法 所谓单纯形是指变量所属的中 由 n 1 个线性独立的点构成不可分割的 n R 简单几何图形 对于二维问题 线性独立是指不在同一条直线上的三个点构成 的三角形 对于三维问题就是不同平面上的四个点构成的空间四面体 对 n 维 问题就是由 n 1 个顶点构成的凸多面体 它的基本思路是 对构成单纯形的各 个顶点的函数值进行比较 从函数的大小可以判断出函数变化的大致趋势 舍 去最坏点 代之以好点 构成新的单纯形逐步向最优点逼近 它不同于前面的 沿某一方向进行的一维搜索思想 其迭代过程包括 反射 延伸 压缩 缩边 单纯形法属于直接法 这类方法甚至适用于未知目标函数的数学表达式而 只知道他的具体算法情况 程序简单 收敛快 效果好 适用于中小型问题 三 三 多维约束优化多维约束优化 根据处理约束条件的不同 约束优化方法分为直接法和间接法两类 在迭 代过程中逐点考察约束 并使迭代点始终局限于可行域内的算法称为直接法 如随即方向法 可行方向法 复合形法等 把约束条件引入目标函数 将约束 优化问题转化为无约束优化问题求解的算法称为间接法 如惩罚函数法 1 直接法 是设法使每一次迭代产生的新迭代点限制在可行域内 且一 步一步地降低目标函数的值 直到获得一个在可行域内的约束最优解 但需要 满足可行性和适用性 可行方向法用于解决不等式约束优化问题 IP 型 在有约束优化问题中 可行方向法求解大型约束优化问题的主要方法 并且收敛速度快 效果好 但 程序较复杂 它解决具有不等式约束优化问题 也是用梯度法求解约束非线性 最优问题的直接方法之一 适用可行法的条件 目标函数沿该方向下降 求优过程中 探索方向必须是在可行域内 a 可行域内 b 在容许的约束边界上 c 已越出可行域 则通过计算取得新的步长 使其迭代点返回至可行域前 的边界上 2 间接法 用无约束方法解决有约束问题 约束优化类型 不等式约束优化问题 IP 型 等式约束优化问题 EP 型 一般约束优化问题 GP 型 注 等式约束条件小于变量个数 惩罚函数法是一种使用很广泛 很有效的间接法 其基本原理是将约束优 化问题转化为无约束优化问题求解的一种算法 其有两个前提条件 一是不破 坏原约束的约束条件 二是最优解必须归结到原约束问题的最优解上去 按照惩罚函数的构成方式 惩罚函数法分为三种 内点法 外点法和混合 法 内点罚函数是在可行域内逐步逼近最优解 解决不等式问题 内点法只适 用于解不等式约束优化问题 由于内点法需要在可行域内部进行搜索 所以初 始点必须在可行域内部选取可行设计点 内点法的突出优点在于每个迭代点都 是可行点 因此 当迭代达到一定阶段时 尽管尚没有达到最优点 但也可以 被接受为一个较好的近似解 外点法是解决等式或不等式问题 混合罚函数法 是指用罚函数法解决有等式约束和不等式约束的一般约束 GP 型 优化问题的 方法 把它称为混合惩罚函数法 简称混合法 1 随机方向搜索法随机方向搜索法 在可行域内选择一个初始点 利用随机数的概率特性 产生若干个随机方 向 并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为搜索方向 从d 初始点出发 沿方向以一定步长进行搜索 得到函数值最小的一点 若 0 xd l x 则以方向为搜索方向 以适当的步长 h 向前跨步 得到 0 l f xf x 0 l xx 新点 若 则将 重复前面的过程 否则就缩短步长 1 x 1 l f xf x 10 xx h 直到步长 或者其他的判别方法 就结束计算 取得约束最优解 h 约束随机方向搜索法的程序结构简单 使用方便 这种方法对于目标函数 的性态无特殊要求 由于其搜索方向是从许多当相中选择最好的方向 加之可 随机变化的步长 因此收敛速度快 常用于小型优化问题的求解 但为了避免所求的结果是局部最优解 往往 需要选择几个不同的初始点 从几次计算结果中做出正确的分析 得出全局最 优解 2 可行方向法可行方向法 可行方向法的基本思想是从可行点出发 沿着可行下降方向进行搜索 求 出使目标函数值下降的新的可行点 算法主要包括选择搜索方向和确定搜索步 长的两个方面 概括其基本迭代格式为 1 从可行点开始迭代 设已得到可行点 0 x k x 2 在处用某种方法确定一可行下降方向 k x k d 3 在方向上寻找新的迭代点 使得是可行点且 k d 1kkk k xxd 1k x 令 转至 2 直到满足条件停机 1 kk f xf x 1kk 可行方向法是求解大型约束优化方法问题的主要方法之一 其收敛速度快 效果好 但是程序较为复杂 一般当求解大中型的约束优化问题 且可行域为 连续闭集 目标函数和约束函数均为设计变量的连续函数 可采用可行方向法 求解 3 惩罚函数法惩罚函数法 罚函数法的基本思想是用约束条件去构造一个制约函数 当约束条件不满 足是 该函数就受到制约 反之当约束条件满足条件时 则不受制约 吧目标 函数和约束条件函数一起构成一个新的函数 将约束问题化成一系列无约束问 题求解 要保证如下两点 一是不能破坏约束问题的约束条件 二是使它归结到原 约束问题的同一最优点上去 一般形式为 1 m kk u u x rf xrG gx 新的目标函数称为增广目标函数 上式右端第二项成为惩罚项 称为罚 k r 因子 是一个递增或者递减的数列 在迭代过程中 使惩罚项起的作用越来越 小 最后使得 lim 0 k u k rG gx 根据惩罚项的不同 罚函数法可分为内点罚函数法 外点罚函数法以及混 合罚函数法 1 内点罚函数法 他要求迭代过程均在可行域 g 内进行 因此在可行域 g 的边界上设置一道 屏障 使迭代点靠近 g 的边界时给出的函数值很大 甚至趋近于无穷大 离边 界较远的可行域内 新旧函数值尽量接近 因此惩罚函数的形式为 1 1 m kk u u x rf xr gx 或者 1 ln m kk u u x rf xrgx 2 外点罚函数法 外点法是将惩罚函数定义于可行域外 且求解无约束问题的搜索点是从 可行域外部逼近元目标函数的最优解 外点惩罚函数的构造形式一般为 2 2 11 min 0 pm kkk ij ij x rf xrg xrh x 上式中的是递增数列 k M 0 1 1 lim 1 k kkkk rrrrCrC r 3 混合罚函数法 他综合了内点发和外点法的优点 该方法可处理等式和不等式约束 可 任选初始点 甚至可得到多个最优解 混合罚函数的一般形式为 12 22 1 111 l kk uv kk u Iu Iv u x rf xrgxh x gx rr 内点罚函数法是解决不等式优化问题的很好的办法 但是他不能处理等式 约束 一般当选用的约束优化方法是应用求导数的解析法时 应用式 求函数的梯度较为简便 当用直接发或者用 1 ln m kk u u x rf xrgx 差分法代替求导的解析法时用式为宜 此外 内点 1 1 m kk u u x rf xr gx 罚函数法由于要有一个严格的可行域内的初始点 在计算上比外点法复杂些 但它是机械优化算法中常用的方法 外点罚函数法可以处理等式或者不等式约束问题 它的初始点定义于可行 域之外 且求解无约束问题的探索点是从可行域外部逼近原目标函数的约束最 优解的 这是它较为重要的优点 因为我们在给定初始点时可以有灵活的选择 而且外点惩罚函数法适用于含有等式约束的优化问题 如果约束中有等式约束 则可以选择外点法 混合罚函数法既可以处理等式或者不等式约束问题 在应用过程中使用混 合惩罚函数法时 初始点应为内点 惩罚因子可参照内点法选取 迭代过程 0 x 与内点法类似 第二部分第二部分 该部分为应用多维有约束优化方法解决实际问题的范例及论述 一 一 采用有约束多维优化方法解决箱梁模板的设计问题采用有约束多维优化方法解决箱梁模板的设计问题 工程中的优化问题 就是求解极大值或极小值问题 即极值问题 优化设 计是以建立数学模型进行设计的 机械优化设计是以最低的成本获得最好的效 益 是设计工作者一直追求的目标 机械优化设计将机械设计的具体要求构造 成数学模型 将机械设计问题转化为数学问题 构成一个完整的数学规划命题 逐步求解这个规划命题 使其最佳地满足设计要求 从而获得可行方案中的最 优设计方案 机构运动参数的优化设计是机械优化设计中发展较早的领域 不仅研究了 连杆机构 凸轮机构等再现函数和轨迹的优化设计问题 机械零部件的优化设 计最近十几年也有很大发展 主要是研究各种减速器的优化设计 液压轴承和 滚动轴承的优化设计以及轴 弹簧 制动器等的结构参数优化 除此之外 在 机床 锻压设备 压延设备 起重运输设备 汽车等的基本参数 基本工作机 构和主体结构方面也进行了优化设计工作 近年来计算机辅助设计引入优化设 计方法后 把优化设计方法与计算机辅助设计结合起来 使设计过程完全自动 化 已成为设计方法的一个重要发展趋势 机械优化设计已陆续用到建筑结构 化工 冶金 铁路 航天航空 造船 机床 汽车 自动控制系统 电力系统 以及电机 电器等工程设计领域 并取得了显著效果 多维有约束优化是在优化问题中最普遍的问题 它的基本形式是 有一个 目标函数 F x 多个约束条件 用公式描述如下 求 s t 式中 X 为 N 维向量 表示所需求得的未知量 g x 与 h x 为两种不同形 式的约束条件 通过对未知向量 X 的求解 可得到问题的最优解以实现获得最 低成本的最优收益 应用多维有约束优化方法解决实际问题的范例有很多 本文的问题是某工 厂箱梁模版的优化设计 大型的箱梁预制要求机械化程度高 操作方便 其中 箱梁内模设计是关键 对 24m 单线箱梁内模板的设计加工 通过对弯曲位置 X Y 和弯曲角度的约束优化 求得内模可下降的最大距离 H 通过使用了坐 标轮换法和罚函数两种方法实现了优化的运算 在实际问题中 不仅需要考虑 可下降的距离 H 还需考虑强度校合等问题 但由于得到数据不全 仅以最大 距离 H 作为最优函数进行求解 1 1 问题的描述问题的描述 箱梁内模的结构为无底式 其具体形状如图 1 其中 未知量为 X Y 已 知量为 a b c d e f g h m X 为第一次动作中模板转动的位置 Y 为第二次动作中模板转动的位置 图 1 内模断面结构图 箱体梁模的四个动作步骤 收下侧模 收上侧模 收顶部油缸 内模整体下降 通过外设卷扬机将内模拉出预制梁箱体 通过这 4 步骤中的前 3 步建立约束条件 a b c d 图 2 箱体的三个运动过程 首先 在静止条件时可得到 X Y 的约束条件 动作一 收下侧模 以 A 点为中心 将下模旋转角度 c 在旋转过程中 为了避免碰撞 其中 这时 F1 点坐标 Gl 点坐标 其中 动作二 收上侧模 以 B 点为中心 将上侧模 此时下侧模与上侧模连 为一体 为刚性体 旋转角度 c1 在旋转过程中 要求 G 点的横坐标 Xg2g 动作三 内模整体下降 在此过程中 G1 点的 Y 轴位置应该更大 即 值最大 这样可以得到所有的约束条件和所需函数 1 2 多维约束优化多维约束优化 多维约束优化分为直接法和间接法 在直接法中 每一步的迭代解都要服 从两个条件 可行性和使用性 解的可行性是指每一步的迭代解都应当在可行 域的范围之内 解的使用性是指每一步的迭代解都应是较上一值更优的 使用 的轮换法就是一种典型的直接优化方法 间接法是指通过一定的方法将优化问题转换 使其去除约束 成为无约束 优化问题 从而使用无约束优化的方法来解决 其中惩罚函数法为较为常用的 间接法 一般问题的可行域为 在约束范围中存在某个点 X 使其周围每个点距离小于 e 0 时 f x f X 则称 X 为一个局部最优解 在一个问题中 可能存在多个局部最优 解 全局最优解为所求问题的最小值 全局最优解一定在局部最优解中 故只 需在局部最优解中寻找最小值即可 轮换法为一种直接求解的有约束优化方法 建立在多维无约束优化方法的 基础上 基本思想为 寻找某维上的最小值直至找到或超出范围 换维继续寻 找 直至到达终止条件 步骤可以简单描述 1 选取一个步长 a 初始值 x 0 和终止条件 e 2 沿 x 0 中的第一维方向进行搜索 其初始步长为 a 3 当 x 0 的第一维方向以 a 2a 的速度进行搜索 直至 f x 开始增大 找 到局部最优解 或 x 超出约束条件 4 退回当前步长 a 将此 x 0 的第一维方向记做 x 1 的第一维方向 增加 一维从新进行 2 4 步过程 5 当 x 0 达到其最大维数 使用所记录的 x 1 进行新的搜索 此时 a a 2 6 如此循环直至达到终止条件 其流程图基本如下 图 3 轮换坐标法的流程图 惩罚函数法是一种间接求解的多维有约束优化算法 数学模型与轮换法类 似 不过引入了一个新的条件 罚函数 此罚函数须满足两个条件 1 不破坏原函数的约束条件 2 取最小值时的 x 为 f x 取最小值时的 x 通过引入罚函数 原问题变成了高维的无约束优化问题 可以使用无约束 优化方法进行求解 具体步骤如下 1 在可行域内选择初始点 x0可根据经验选择 2 确定初始罚因子 r0和 C 并确定 K 值为 0 3 求罚函数的最小值 解出最优点 Xk 4 当 K 0 时 跳至步骤 5 否则至 6 5 K K 1 r K 1 C r K XK 1 XK 转至步骤 3 6 判断终止条件 满足则继续到 7 否则至步骤 5 7 输出 f x 与 x 其路程图大致如下 图 4 罚函数法的流程图 结束条件通常有两个 一为两次的 X 值的变化较小 即 二为