图形的初步认识与三角形方法技巧训练(一)与角平分线有关的基本模型练习

1 方法技巧训练方法技巧训练 一一 与角平分线有关的基本模型与角平分线有关的基本模型 三角形中角平分线的夹角的计算 方法指导1 类型类型 1 1 两个内角平分线的夹角两个内角平分线的夹角 如图 1 在 ABC 中 ABC ACB 的平分线 BE CF 相交于点 G 则 BGC 90 A 1 2 图 1 图 2图 3 解题通法 三角形两内角的平分线的夹角等于 90 与第三个内角的一半的和 类型类型 2 2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角一个内角平分线和一个外角平分线的夹角 如图 2 在 ABC 中 BP 平分 ABC CP 平分 ACB 的外角 BP 与 CP 相交于点 P 则 P A 1 2 解题通法 三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半 类型类型 3 3 两外角平分线的夹角两外角平分线的夹角 如图 3 在 ABC 中 BO CO 是 ABC 的外角平分线 则 O 90 A 1 2 解题通法 三角形两外角的平分线的夹角等于 90 与第三个内角的一半的差 1 1 如图 在 ABC 中 A 40 点 D 是 ABC 和 ACB 的平分线的交点 则 BDC 110 变式 1 1 如图 若点 D 是 ABC 的平分线与 ACB 外角平分线的交点 则 D 20 变式变式 2 2 如图 若点 D 是 ABC 外角平分线与 ACB 外角平分线的交点 则 D 70 变式变式 3 3 如图 BA1和 CA1分别是 ABC 的内角平分线和外角平分线 BA2是 A1BD 的平分线 CA2是 A1CD 的平 分线 BA3是 A2BD 的平分线 CA3是 A2CD 的平分线 若 A1 则 A2 019 22 018 与角平分线有关的图形与辅助线与角平分线有关的图形与辅助线 方方法法指指导导2 2 1 1 角平分线 平行线 等腰三角形 如图 4 BD 是 ABC 的平分线 点 O 是 BD 上一点 OE BC 交 AB 于点 E 则 BOE 是等腰三角形 2 解题通法 遇到角平分线及平行线 除了可以得到角度的关系 还可以得到一个等腰三角形 图 4 图 5 图 6 图 7 2 2 与角平分线有关的辅助线 过角平分线上的点作角两边的垂线 如图 5 BO 是 ABC 的平分线 过点 O 作 OE AB 于点 E 过点 O 作 OF BC 于点 F 则 OE OF BEO BFO 角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形 如图 6 BO 是 ABC 的平分线 在 BA BC 上取线段 BE BF 则 BEO BFO 解题通法 遇到角平分线时 我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段 构造全等三角形 过角平分线上一点作角平分线的垂线 从而得到等腰三角形 如图 7 BD 是 ABC 的平分线 点 E 是 BD 上一点 过点 E 作 BD 的垂线 则 BGH 是等腰三角形且 BD 垂直平 分 GH 2 2 如图 在 ABC 中 AB 10 cm AC 8 cm ABC 和 ACB 的平分线交于点 O 过点 O 作 BC 的平行线 MN 交 AB 于点 M 交 AC 于点 N 则 AMN 的周长为 D A 10 cm B 28 cm C 20 cm D 18 cm 3 3 如图 矩形 ABCD 中 AB 4 cm BC 8 cm 如果将该矩形沿对角线 BD 折叠 那么图中阴影部分的面积 B A 8 cm2 B 10 cm2 C 15 cm2 D 20 cm2 4 4 2018 大庆 如图 B C 90 M 是 BC 的中点 DM 平分 ADC 且 ADC 110 则 MAB B A 30 B 35 C 45 D 60 5 5 如图 M 是 ABC 的边 BC 的中点 AN 平分 BAC BN AN 于点 N 且 AB 10 BC 15 MN 3 则 AC 的长是 16 提示 延长 BN 交 AC 于点 E 因为 AN 平分 BAC BN AN 可证 ABN AEN 则 AN 是 ABE 的中线 即点 N 平分 BE 所以 MN 是 BEC 的中位线 6 6 如图 在 ABC 中 A 60 BD CE 分别平分 ABC 和 ACB BD CE 相交于点 O 试说明 BE CD BC 的数 量关系 并加以说明 3 解 BC BE CD 理由如下 在 BC 上取点 G 使得 CG CD 连接 OG BOC 180 ABC ACB 180 180 60 120 1 2 1 2 BOE COD 60 BD CE 分别平分 ABC 和 ACB EBO GBO OCG OCD 在 COD 和 COG 中 CO CO DCO GCO CD CG COD COG SAS COG COD 60 BOG 120 60 60 BOE 在 BOE 和 BOG 中 BOE BOG BO BO EBO GBO BOE BOG ASA BE BG BE CD BG CG BC 7 7 感知 如图 1 AD 平分 BAC B C 180 B 90 易知 DB DC 探究 如图 2 AD 平分 BAC ABD ACD 180 ABD 90 求证 DB DC 应用 如图 3 在四边形 ABCD 中 B 45 C 135 DB DC a 则 AB AC a 用含 a 的代数式表 2 示 图 1 图 2 图 3 证明 过点 D 作 DE AB 于点 E DF AC