培优专题7菱形矩形正方形和梯形

1 培优专题培优专题 7 7 菱形 矩形 正方形和梯形菱形 矩形 正方形和梯形 菱形 矩形 正方形都是特殊的平行四边形 它们除了具有平行四边形的性质外 各自都有相应的特性 如菱形四边相等 对角线互相垂直 且平分对角 矩形四个角都 是直角且对角线相等 正方形是最特殊的平行四边形 它具有菱形和矩形的所有特性 可以说是菱形 矩形的完美结合体 也是最基本的正多边形之一 梯形是现实生活中比 较常见的图形之一 也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体 因此在中考数学 测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容 例例 1 1 如果将长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠 如图 延长 C E 交 AD 于 H 连结 GH 那么 EF 与 GH 互相垂直平分吗 分析分析 要说明 EF 与 GH 互相垂直平分 只须说明四边形 FGEH 是菱形即可 解 FH GE FG EH 四边形 FGEH 为平行四边形 由题意知 GEF HFE FG FH EG EH 四边形 GEHF 为菱形 EF GH 互相垂直平分 练习练习 1 1 1 如图 1 菱形 ABCD 中 E F 分别是 BC CD 上的点 且 B EAF 60 BAE 18 则 CEF 1 2 3 2 如图 2 四边形 ABCD 是正方形 对角线 AC BD 相交于 O 四边形 BEFD 是菱形 若正方形的边长为 6 则菱形的面积为 3 如图 3 ABCD 是正方形 E 为 BF 上一点 四边形 AFEC 恰是一个菱形 则 EAB 2 例例 2 2 矩形一边长为 5 另一边长小于 4 将矩形折起来 使两对角顶点重合 如图 若折痕 EF 长为 求另一边长 6 分析分析 关键弄清 折痕 特点 即在对角线的中垂线上 此问题转化为就矩形 ABCD 中 已知 AD 5 过对角线 AC 的中点 O 作 AC 的垂线 EF 分别交 AD 于 F BC 于 E 若 EF 求 AB 的长的问题 6 解 设 AB x BE y 连结 AE 则 AE CE 5 y 在 Rt ABE 中 AB2 BE2 AE2 即 x2 y2 5 y 2 得 y AE 5 y 2 25 10 x 2 25 10 x 又在 Rt AOE 中 AO AC EO EF 1 2 2 25 2 x 1 2 6 2 代入 AE2 AO2 OE2得 2 2 2 2 25 10 x 2 25 2 x 6 2 即 x4 25x2 150 0 解之得 x2 5 x2 30 舍去 x 5 练习练习 2 2 1 如图 4 矩形纸片 ABCD 中 AB 3cm BC 4cm 现将 A C 重合 使纸片折叠压平 设折痕为 EF 试确定重叠部分的 AEF 的面积是 4 5 2 如图 5 所示 把一张长方形的纸条 ABCD 沿对角线 BD 将 BCD 折成 BDF DF 交 AB 于 E 若已知 AE 2cm BDC 30 求纸条的长和宽各是 3 3 如图 折叠正方形纸片 ABCD 先折出折痕 BD 再折叠使 AD 边与对角线 BD 重合 得折痕 DG 使 AD 2 求 AG 例例 3 3 如图 E F 分别为正方形 ABCD 的边 BC CD 上的一点 AM EF 垂足为 M AM AB 则有 EF BE DF 为什么 分析要说明 EF BE DF 只需说明 BE EM DF FM 即可 而连结 AE AF 只要能说明 ABE AME ADF AMF 即可 理由 连结 AE AF 由 AB AM AB BC AM EF AE 公用 ABE AME BE ME 同理可得 ADF AMF DF MF EF ME MF BE DF 练习练习 3 3 1 如图 6 点 A 在线段 BG 上 四边形 ABCD 与 DEFG 都是正方形 其边长分别为 3cm 和 5cm 则 CDE 的面积为 cm2 6 7 4 2 你可以依次剪 6 张正方形纸片 拼成如图 7 所示图形 如果你所拼得的图形中 正方形 的面积为 1 且正方形 与正方形 的面积相等 那么正方形 的面积为 3 如图 P 为正方形 ABCD 内一点 PA PB 10 并且 P 点到 CD 边的距离也等于 10 求正方形 ABCD 的面积 例例 4 4 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC BD 平分 ABC C 30 求 AD BC 的 值 分析分析 添加辅助线 使等腰梯形 ABCD 的问题转化为平行四边形和等腰三角形的问 题 解 过 D 作 DF AB 交 BC 于 F 过 D 作 DE BC 于 E 则四边形 ABFD 为平行四边形 设 AD a 则 AD BF a BD 平分 ABC AD AB DF DC a 在 Rt DEC 中 C 30 DE EC a 2 a3 2 又 EC DF a 3 2 BC BF EF EC a a a 1 a 3 2 3 2 3 5 AD BC a 1 a 1 233 练习练习 4 4 1 用长为 1 4 4 5 的线段为边作梯形 那么这个梯形的面积等于 2 用一块面积为 900cm2的等腰梯形彩纸做风筝 为牢固起见 用竹条做梯形的对 角线 对角线恰好互相垂直 那么梯形对角线至少需 cm 3 如图 一块直角梯形的钢板 两底长分别是 4cm 10cm 且有一个内角为 60 问是否能将铁板任意翻转 使从一个直径为 8 7cm 的圆洞中穿过 例例 5 5 如图 在矩形 ABCD 中 已知 AD 12 AB 5 P 是 AD 边上任意一点 PE BD PE AC E F 分别是垂足 求 PE PF 的长 分析分析 连结 PO 则 PE PF 可分别看作是 OD OA 边上的高 而 OA OD 故只需求出 AOP DOP 的面积即可 解 连结 OP 由矩形 ABCD AD 12 AB 5 AC BD 2OA 2OB 13 OA OD 6 5 而 S矩形 12 5 60 S AOD 60 15 1 4 S AOP S DOP 15 即 OA PF OD PE 15 1 2 1 2 6 6 5 PE PF 15 1 2 PE PF 60 13 练习练习 5 5 1 如图 8 等腰梯形 ABCD 中 上底 AD 2 下底 BC 8 M 是腰 AB 的中点 若 MD CD 则梯形的面积为 8 9 2 如图 9 已知正方形 ABCD 的面积为 35 平方厘米 E F 分别为边 AB BC 上的 点 AF CE 相交于 G 并且 ABF 的面积为 14 平方厘米 BCE 的面积为 5 平方厘米 那么四边形 BEGF 的面积是 3 如图 在ABCD 中 在 AD CD 上各取一点 E F 使 AF CE AF 与 CE 相交于A P 则 PB 平分 APC 7 答案答案 练习练习 1 1 1 18 2 36 3 连结 BD 交 AC 于点 O 作 EM AC 于点 M 设正方形边长为 a 则 AC BD AE a2 又 AC BF BO AC EM AC BO EM BD a 1 2 2 2 在 Rt AEM 中 AE a EM a 2 2 2 CAE 30 则 EAB 15 练习练习 2 2 1 cm2 75 16 2 纸条长为 6cm 宽为 2cm 3 3 作 GM BD 垂足为 M 由题意可知 ADG GDM 则 ADG MDG DM DA 2 AC GM 又易知 GM BM 而 BM BD DM 2 2 2 1 22 AG BM 2 1 2 练习练习 3 3 1 6cm2 2 36 8 3 过 P 作 EF AB 于 F 交 DC 于 E 设 PF x 则 EF 10 x BF 10 x 1 2 由 PB2 PF2 BF2 可得 102 x2 x 10 2 1 4 故 x 6 S正方形 ABCD 162 256 练习练习 4 4 1 6或 10 3 2 30 2 3 过 D 作 DE BC 于 E 则 BE 4 EC 6 由 C 60 知 CD 2EC 12 DE EC 6 33 由于 BC 8 7 DE 8 7 故这两个方向不能穿过圆洞 过 B 作 BF CD 有 CF BC 5 1 2 得 BF 5 8 7 37575