对数函数图像及其性质

对数函数及其性质对数函数及其性质 人教人教A版第二章版第二章 第第2 2 2节节 学校 广西师范大学学校 广西师范大学 院系 数学科学学院院系 数学科学学院 作者 作者 学号 学号 对数函数及其性质对数函数及其性质 一 教学设计理念一 教学设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导 以新课标基本理念为依据进行设计的 针对学生的学习背景 体现新课标要求和 学生是课堂活动的主体 教师是学 生活动的引导者 组织者 帮助者 的教学理念 首先 基于 人人有份 的 数学教学思想 坚持面向全体学生 引导学生积极主动地参与获取知识的全部 过程 体现了学生为中心的教育教学理念 其次 激发学生的学习热情 把学 习的主动权交给学生 为他们提供自主探究 合作交流的机会 确实改变学生 的学习方式 数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程 课堂教学要坚持 以学生为主体 教师为主导的 双主 地位 结合学情 让学生参与数学基本 活动 探究和挖掘数学知识本质 以恰时恰点的问题引导数学活动 培养学生 的问题意识 孕育创新精神 遵循这样的理念 我对此课时进行了如下设计 第一 在课堂活动中通过同伴合作 自主探究培养学生积极主动 勇于探 索的学习方式 第二 在教学过程中努力做到生生对话 师生对话 并且在对话之后重视 体会 总结 反思 力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学 习 研究数学的方法 第三 通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法 二 学情分析二 学情分析 一 学习的知识起点 学生在前面已经学习了指数函数及其性质 用研究指数函数的方法 进一 步研究和学习对数函数的概念 图象和性质以及初步应用 有利于学生进一步 完善初等函数的认识的系统性 加深对对函数的思想方法的理解 二 学习的经验起点 大部分学生已经掌握了一些函数知识 具备一定学习函数的基本能力 如 通过类比分析问题的能力 且有一定的自学能力 但由于高一学生思维的逻辑 性还不是很严密 所以对于不同底数 a 的对数函数的性质不能很好地进行区分 从学生的学习经验出发 让学生体验对数函数来源于实践 通过教师课件的演 示 通过数形结合 让学生感受对数函数中底数取不同的值时反映出不同的函a 数图象 让学生观察 小组讨论 发现 归纳出图象的共同特征 函数图象的 规律 从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握 三 教材分析三 教材分析 一 教材的地位与作用 对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质 掌握了对数与对数 的运算性质的基础上展开研究的 作为重要的基本初等函数之一 对数函数是指 数函数知识的拓展和延伸 同时也为学生今后进一步学习对数方程 对数不等 式等提供了必要的基础知识 因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用 它的教学过程 体现了数形结合的思想 同时蕴涵丰富的解题技巧 这对培养 学生的观察 分析 概括的能力 发展学生严谨的思维能力有重要作用 体现 了发展数学应用意识 提高实践能力的新课程理念 二 重难点及突破方法 教学重点 理解并掌握对数函数的定义 图像与性质 突破方法 结合前面指数函数的学习方法 数形结合 通过让学生动手画 图 观察 猜想 归纳与概括 举证与评价等方法 建立对数函数模形 并将 对数函数与指数函数联系起来从而得出其定义 运用数形结合与特殊到一般 分类讨论的数学研究方法以及变式练习 让学生掌握其图像和性质拓展与应用 达到熟练对数函数图像与性质的运用 教学难点 底数 a 对图象的影响及对数函数性质的探究 突破方法 对于不同底数的对数函数 教师引导学生用 对比联系 数 形结合 及 分类讨论 等思想方法来探究 让学生动手画图 观察图象 启 发学生思考 实验 分析 归纳 从而深刻掌握底数 a 对图象的影响及对数函 数的性质 四 目标设计四 目标设计 一 知识与技能 1 理解对数函数的定义 掌握对数函数的图象和性质及其简单应用 2 通过具体实例 直观感受对数函数模型所刻画的数量关系 通过具体的 函数图像的画法以及类比法逐步认识对数函数的特征 二 过程与方法 1 学导法 通过实例创设问题情境 引导学生对对数函数解析式的理解 引导学生类比指数函数的研究思路 从图像特征分析对数函数的性质 2 师生共同讨论法 指在调动学生参与的积极性 突出学生主体地位 通 过教师必要指导 调动学生思维的积极性 三 情感态度与价值观 1 渗透由特殊到一般的思想 培养学生探索研究数学问题的素养 渗透数 形结合 分类讨论的数学思想 提高学生分析问题 解决问题的能力 数形结 合的能力 2 通过学习对数函数与指数函数的图像特征和性质 让学生欣赏它们各具 特点的位置关系 感悟数学世界的奇异美 培养学生的美学意识 3 通过本节内容学习 培养学生不断探索发现新知的精神 渗透事物的相 互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点 五 教法学法分析五 教法学法分析 一 教法分析 新课标的建构主义学习观 强调以学生为中心 学生在教师指导下对知识 的主动建构 它既强调学习者的认知主体作用 又不忽视教师的指导作用 高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期 思维活跃 具有一定的独立 性 喜欢新鲜事物 敢于大胆发表自己的见解 不过思维还不是很成熟 在目标分析的基础上 根据建构主义学习观 及学生的认知特点 我拟采 用 探究发现式 教学方法 让学生动手操作 发现规律 自行总结等几个环 节 学生经历知识的形成过程 从而在心中形成概念 然而老师的辅佐提示 系统归纳似的知识在学生的脑中清晰起来 并为学生所掌握 整个课堂教法充 分地体现了 学生为主体 教师为主导 的 两为主 的教学思想 二 学法分析 新课程强调 以学生发展为核心 强调培养学生的自主探索能力与合作学 习能力 引导学生运用类比指数函数学习的方法来探究对数函数 因此本节课 学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历复习引入 获得新知 作图 察质 问题探究 归纳性质 学以致用 自我提升的过程 这一过程将激发学 生积极参与到教学活动中来 六 教学过程设计六 教学过程设计 教学流程设计 复习引入 形成概念 尝试画图 形成感知 理性认识 发现性质 趁热打铁 拓展深化 自我提升的过程 一 复习引入 形成概念 一 复习引入 形成概念 引例引例 1 1 一尺之棰 日取其半 万世不竭 1 取 5 次 还有多长 2 取多少次 还有 0 125 尺 分析 1 为同学们熟悉的指数函数的模型 易得 32 1 2 1 5 2 可设取 x 次 则有 125 0 2 1 x 抽象出抽象出 125 0 2 1 x x 引例引例 2 2 我们研究指数函数时 曾经讨论过细胞分裂问题 某种细胞分裂时 得到的细胞的个数是分裂次数的函数 这个函数可以用指数函数 yxy 表示 x 2 现在 我们来研究相反的问题 如果要求这种细胞经过多少次分裂 大 约可以得到 1 万个 10 万个 细胞 那么 分裂次数就是要得到的细x 胞个数的函数 根据 2 2 1 节指数函数与对数函数的关系y 这个函数可以写成对数的形式就是 如果用bNNa a b logyx 2 log 表示自变量 表示函数 这个函数就是 xyxy 2 log 引导学生观察这些函数的特征 含有对数符号 底数是常数 真数是变量 从而得出对数函数的定义 函数 且叫做对数函数 其0 log axy a 1 a 中是自变量 函数的定义域是 0 x 提问提问 1 在函数的定义中 为什么要限定a 0 且a 1 2 为什么对数函数 logayx a 0 且a 1 的定义域是 0 组织学生充分讨论 交流 使学生更加理解对数函数的含义 从而加深对对 数函数的理解 教师总结教师总结 根据对数与指数式的关系 知 logayx 可化为 y ax 由指数 的概念 要使 y ax 有意义 必须规定a 0 且a 1 因为 logayx 可化为 y xa 不管 y 取什么值 由指数函数的性质 y a 0 所以 0 x 例题例题 1 1 求下列函数的定义域 1 2 log a yx 2 log 4 a yx a 0 且a 1 分析 由对数函数的定义知 2 x 0 4 x 0 解出不等式就可求出定义 域 解 1 因为 2 x 0 即x 0 所以函数 2 log x ay 的定义域为 0 x x 2 因为4 x 0 即x 4 所以函数 4 log x a y 的定义域为 x x 4 教师 当我们知道对数函数的定义之后 紧接着需要探讨什么问题 学生 对数函数的图象和性质 接着引出下一环节 设计意图设计意图 复习旧知导入新知是一个不可或缺的环节 通过回顾旧知识 使知识得到联系 只有从学生已所学的指数函数出发 才能让学生在脑中 形成对数函数的概念 学生只有弄清了知识的来源 才会 顺其自然 地 接受知识 这样处理 对数函数显得不抽象 学生容易接受 降低了新课 教学的起点 二 尝试画图 形成感知 二 尝试画图 形成感知 教师 学习指数函数是我们从哪着手去讨论指数函数的性质了呢 学生 先画图象 再根据图象得出性质 教师 画指数函数的图象时我们是不是运用到了分类讨论的思想方法 那么 有哪几种分类了呢 学生 按和分类讨论 教师 那么 在研究指数函数的图像与性质时我们从哪入手了呢 还用了其他 的什么研究方法了呢 学生 从研究其图像开始 运用了数形结合的方法 师 很好 在研究指数函数的图像与性质时我们分类画出了底数为和 的两种函数的图像 接着找出图像特征 即运用数形结合的方 法对这两种指数函数的性质进行分类讨论 下面也让我们用类比学习指数 函数的方法来探究对数函数的图像和性质 教师在明确了探究方向后 下面 按以下步骤组织学生共同探究对数函数 的图象 组织学生用描点法描点法分别画出以下几个对数函数的图像 1 用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象 xy 2 log xy 2 1 log 叫三个学生到黑板上作图 学生作图 教师检查 指出学生作图中的不足 学生画图完毕 让学生将自己的作图成果与上黑板作图的同学的成果作比较 组织学生分组讨论 并分组作答 教师用多媒体展出作图过程及结果 先完成如下表 并根据此表用描点法或用电脑画出函数 2 log x y 的图象 再 利用电脑软件画出 xy 2 1 log x 1 2 124681216 y 1 0122 5833 584 图一 师 同学们现在我们来观察图一 看看这些函数图像有什么特征呢 学生分组讨论 并派代表进行发言 教师整合学生的答案 并适时补充 教师引导学生先观察以 2 和 1 2 为底的对数函数图像的异同得出如下初步 结讨论讨论 相同点 两个对数函数的图像都过点 1 0 函数图像都在 y 轴 的右侧 不同点在 0 上是递增函数 而在 0 上是减函数 在此过程中 教师通过让学生抢答的形式 增加课堂气氛 提高学生学习在此过程中 教师通过让学生抢答的形式 增加课堂气氛 提高学生学习 的积极性 的积极性 拓展探究拓展探究 1 对数函数 4 logyx 与 1 4 logyx 与 xy 3 log 的图象有怎样的对称关系 xy 3 1 log 2 对数函数 y loga x a 1 当 a 值增大 图象的上升 程 度 怎样 教师用运用多媒体演示作图的全过程并展示结果如图二 图二 提问提问 通过函数的图象 你能说出底数与函数图象的关系吗 函数的图象 有何特征 性质又如何 学生讨论 交流 有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验 学生很明确 y loga x a 1 y loga x 0 a1 和 0 a1 y loga x 0 a1 y loga x 0 a0 和 0 a 1 2 应用溶液酸碱度是通过 pH 刻画的 pH 的计算公式为 pH lg 其中 表示溶液中氢离子的浓度 单位是摩尔 升 1 根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式 说明溶液 酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系 2 已知 纯静水中氢离子的浓度为 摩尔 升 计算纯静水的 pH 设计意图设计意图 巩固所学新知 体现探究成果的应用 渗透数形结合思想 分 类讨论思想 尝试完成实际应用性问题 体现 数学是有用的 数学来源于生 活 这一理念 预设任务的多元性 体现了分层教学的思想 五 对比总结 深化认识 五 对比总结 深化认识 步骤一 1 你能归纳出这节课的学习内容吗 值值 域域 R R 单调性单调性在 0 上是增函数在 0 上是减函数 过定点过定点 1 0 即 x 1 y 0 1 0 即 x 1 y 0 取值范围取值范围 0 x 1 时 y1 时 y 0 0 x0 x 1 时 y1 y o 01 a x ya 定义域定义域R 0 值域值域 0 R 特殊值特殊值当当 x 0 时 总有时 总有 y 1当当 x 1 时 总有时 总有 y 0 单调性单调性 当当 a 1 时 时 是增函数是增函数 x ya 当当 0 a1 时 时 是增函数是增函数logayx 当当 0 a 1 时时 是减函数是减函数logayx 设计意图设计意图 首先学生在教学反思中 整理知识 进一步巩固和提高对数函数 及其性质 再把指数函数与对数函数类比 对比总结 使知识系统化 更易于 x x O 1 y x ya 学生区分和掌握 适时地组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律 有助于 学生更好地学习 记忆和应用 发挥知识系统的整体优势 并为后续学习打好 基础 六 六 布置作业布置作业 1 复习 复习本节课的所有知识 2 必做题 习