单级倒立摆控制的极点配置方法

鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 I 页 一级倒立摆控制的极点配置方法 摘要 倒立摆系统是一个典型的多变量 非线性 强耦合和快速运动的自然不稳 定系统 因此倒立摆在研究双足机器人直立行走 火箭发射过程的姿态调整和 直升机飞行控制领域中有重要的现实意义 相关的科研成果己经应用到航天科 技和机器人学等诸多领域 本文通过极点配置 实现了用现代控制理论对一级倒立摆的控制 利用牛 顿第二定律及相关的动力学原理等建立数学模型 对小车和摆分别进行受力分 析 并采用等效小车的概念 列举状态方程 进行线性化处理想 最后通过极 点配置 得到变量系数阵 利用Simulink建立倒立摆系统模型 特别是利用 Mask封装功能 使模型更具灵活性 给仿真带来很大方便 实现了倒立摆控制 系统的仿真 仿真结果证明控制器不仅可以稳定倒立摆系统 还可以使小车定 位在特定位置 关键词 倒立摆 数学建模 极点配置 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 II 页 THE POLE PLACEMENT CONTROL TO A SINGLE INVERTED PENDULUM Abstract Inverted pendulum system is multivariable nonlinear strong coupling and instability naturally The research of inverted pendulum has many important realistic meaning in the research such as the walking of biped robot the lunching process of rocket and flying control of helicopter and many correlative productions has applications in the field of technology of space flight and subject of robot Through the pole placement method the control of the inverted pendulum is realized We get the mathematic model according to the second law of Newton and the foundation of the dynamics analysis the force of the cart and pendulum and adopt the concept of the equivalent cart During writing the equitation of the system the equitation has been processed by linear At last we get coefficient of the variability The simulation of inverted pendulum system is done by the SIMULINK Tool box Specially Mask function is applied it makes simulation model more agility the simulation work become more convenient The result shows that it not only has quite goods ability but also is able to make the cart of the pendulum moving to the place where it is appointed by us in advance along the orbit Key words inverted pendulum mathematic model pole placement 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 III 页 目 录 摘要 I Abstract II 1 绪论 1 1 1 倒立摆系统简介 1 1 2 倒立摆的控制规律 2 1 3 对倒立摆系统研究的意义 3 1 4 倒立摆的发展状况 4 1 5 论文的主要工作 5 2 直线一级倒立摆的牛顿 欧拉方法建模 7 2 1 微分方程的推导 7 3 状态空间极点配置 10 3 1 状态反馈及输出反馈的两种基本形式 10 3 1 1 状态反馈 10 3 1 2 输出反馈 11 3 2 关于两种反馈的讨论 12 3 3 状态反馈的优越性 14 3 4 极点配置的提出 14 3 4 1 期望极点的选择 14 3 4 2 极点配置需要注意的问题 15 3 5 理论分析 15 3 6 极点配置的方法问题 16 3 7 根据极点配置法确定反馈系数 18 4 一级倒立摆系统模块仿真 21 结 论 23 致 谢 24 参考文献 25 附录 A 外文文献 26 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 IV 页 附录 B 中文翻译 33 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 1 页 1 绪论 1 1 倒立摆系统简介 倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统 它深刻揭示 了自然界一种基本规律 即自然不稳定的被控对象 通过控制手段可使之具有 良好的稳定性 倒立摆系统是一个非线性 强耦合 多变量和自然不稳定的系 统 它是由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆杆组成的 在导轨 一端装有用来测量小车位移的电位计 摆体与小车之间由轴承连接 并在连接 处安置电位器用来测量摆的角度 小车可沿一笔直的有界轨道向左或向右运动 同时摆可在垂直平面内自由运动 直流电机通过传送带拖动小车的运动 从而 使倒立摆稳定竖立在垂直位置 图 1 1 一级倒立摆装置简图 由图1 1中可以看到 倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小 车上的摆体组成 导轨的一端固定有位置传感器 通过与之共轴的轮盘转动可 以测量出沿导轨由图中可以看到 倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴 固定在小车上的摆运动的小车位移 小车通过轴承连接摆体 并在小车与摆体 的连接处固定有共轴角度传感器 用以测量摆体的角度信号 并通过微分电路 得到相应的速度和角速度信号 导轨的另一端固定有直流永磁力矩电机 直流 电机通过传送带驱动小车沿导轨运动 在小车沿导轨左右运动的过程中将力传 送到摆杆以实现整个系统的平衡 倒立摆的种类很多 有悬挂式倒立摆 平行 式倒立摆 和球平衡式倒立摆 倒立摆的级数可以是一级 二级 乃至更多级 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 2 页 控制方法也是多种 可以通过模糊控制 智能控制 PID控制 LQR控制等来 实现倒立摆的动态平衡 本文介绍的是状态反馈极点配置方法来实现一级倒立 摆的控制 1 2 倒立摆的控制规律 当前 倒立摆的控制规律可总结如下 1 Pm控制 通过对倒立摆物理模型的分析 建立倒立摆的动力学模型 然后使用状态空间理论推导出其非线性模型 再在平衡点处进行线性化得到倒 立摆系统的状态方程和输出方程 于是设计出PID控制器实现其控制 2 状态反馈控制 1 通过对倒立摆物理模型的分析 建立倒立摆的动 H 力学模型 然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程 应用状态反馈 和Kalnian滤波相结合的方法 实现对倒立摆的控制 3 利用云模型 2 3 实现对倒立摆的控制 用云模型构成语言值 用语言值 构成规则 形成一种定性的推理机制 这种拟人控制不要求给出被控对象精确 的数学模型 仅仅依据人的经验 感受和逻辑判断 将人用自然语言表达的控 制经验 通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中 就能解决非线性问 题和不确定性问题 4 神经网络控制 已经得到证明 神经网缴 NeuralN etwork NN 能够任 意充分地逼近复杂的非线性关系 NN能够学习与适应严重不确定性系统的动态 特性 所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元 故有很 强的鲁棒性和容错性 也可将Q学习算法 4 和BP神经网络有效结合 实现状态未 离散化的倒立摆的无模型学习控制 5 遗传算法 Genetic Algorithms GA 高晓智 a 在Michine的倒立摆控制 Boxes方案的基础上 利用GA对每个BOX中的控制作用进行了寻优 结果表明 GA可以有效地解决倒立摆的平衡问题 6 自适应控制 主要是为倒立摆设计出自适应控制器 7 模糊控制 主要是确定模糊规则 设计出模糊控制器实现对倒立摆的控 制 8 使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆控制 比如模糊自适应控制 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 3 页 分散鲁棒自适应控制等等 9 采用遗传算法与神经网络相结合的方法 首先建立倒立摆系统的数学模 型 然后为其设计出神经网络控制器 再利用改进的遗传算法训练神经网络的 权值 从而实现对倒立摆的控制 采用GA学习的NN控制器兼有NN的广泛映射 能力和GA快速收敛以及增强式学习等性能 1 3 对倒立摆系统研究的意义 倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备 也是控制理论教学 和科研中的典型物理模型 通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论和技术 实现问题 还能将控制理论涉及的主要基础学科 力学 数学和计算机科学进行 有机的终合应用 倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义 还有重要的工程背 景 在多种控制理论与方法的研究与应用中 特别是在工程实践中 也存在一 种可行性的实验问题 使其理论与方法得到有效检验 倒立摆就能为此提供一 个从理论通往实践的桥梁 由于倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人的行 走有很大的相似性 因此倒立摆的研究对于火箭飞行和机器人的控制等现代高 新技术的研究具有重要的实践意义 目前 对倒立摆的研究己经引起国内外学 者的广泛关注 是控领域研究的热门课题之一 在控制理论发展的过程中 某一理论的正确性及在实际应用中的可行性需 要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证这一理论 倒立摆就 是这样一个被控对象 倒立摆本身是一个自然不稳定体 在控制过程中能够有 效地反映控制中的许多关键问题 如镇定问题 非线性问题 鲁棒性问题 随 动问题以及跟踪问题等 倒立摆的典型性在于作为一个装置 成本低廉 结构 简单 形象直观 便于实现模拟和数字两者不同的方式的控制 作为一个被控对 象 又相当复杂 就其本身而言 是一个高阶次 不稳定 多变量 非线性 强祸合的快速性系统 只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定 因此 倒 立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置 对倒立摆系统进行控制 其稳定效果非常明了 可以通过摆动角度 位移 和稳定时间直接度量 控制好坏一目了然 理论是工程的先导 对倒立摆的研 究不仅有其深刻的理论意义 还有重要的工程背景 从日常生活中所见到的任 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 4 页 何重心在上 支点在下的控制问题 到空间飞行器和各类伺服云台的稳定 都 和倒立摆的控制有很大的相似性 故对其的稳定控制在实际中有很多用场 如 海上钻井平台的稳定控制 卫早发射架的稳定控制 火箭姿态控制 飞机安全 着陆 化工过程控制等都属这类问题 因此付倒立摆机理的研究具有重要的理 论和实际意义 成为控制理论中经久不衰的研究课题 1 4 倒立摆的发展状况 倒立摆系统稳定与控制的研究在国外始于 60 年代 我国则从 70 年代中期 开始研究 首先根据经典控制理论与现代控制理论应用极点配置法 设计模拟 控制器 国内外专家学者先后控制了单倒立摆与二级倒立摆的称定 随着徽机 的广泛应用 又陆续实现了数控二级倒立摆的租定 此外 由于智能控制理论 的兴起 相继应用模糊理论与神经网络控制了二级倒立摆的稳定 早在60年代人们就开始了对倒立摆系统的研究 1966年Schaefer和Cannon 应用Bang Bang控制理论 将一个曲轴稳定于倒置位置 在60年代后期 作为 一个典型的不稳定 严重非线性证例提出了倒立摆的概念 并用其检验控制方 法对不稳定 非线性和快速性系统的控制能力 受到世界各国许多科学家的重 视 从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆 成为具有挑战性的课题之 一 直到70年代初 用状态反馈理论对不同类型的倒立摆问题进行了较为广范 的研究 5 7 虽然在许多方面都取得了较满意的效果 但其控制方法过多的依赖 于线性化后的数学模型 故对一般工业过程尤其是数学模型变化或不清晰的对 象缺乏指导性的意义 在80年代后期 随着模糊控制理论的快速发展 用模糊控制理论控制倒立 摆也受到广泛重视 其目的在于检验模糊控制理论对快速 绝对不稳定系统适 应能力 并且用模糊控制理论控制一级倒立摆取得了非常满意的效果 由于模 糊控制理论目前尚无简单实用的方法处理多变量问题 故用适合的方法处理二 级倒立摆多变量之间的关系 仍是模糊控制二级倒立摆的中心问题之一 清华 大学的张乃尧先生等提出了双闭环模糊控制方法控制一级倒立摆 常见的模糊 控制器是根据输出偏差和输入偏差变化率来求控制作用 是二输入一输出的控 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 5 页 制器 当控制器的输入为两个以上时 控制规则数随输入变量数指数增加 不 仅使模糊控制器的设计非常复杂 也使模糊控制的执行时间大大增长 难于实 时应用 张乃尧先生对倒立摆采用双闭环模糊控制方案 很好的解决了上述问 题 并在实际装置上取得了满意的结果 并对其他模糊串级控制也具有参考价 值 程福雁先生等研究了使用参变量模糊控制对二级倒立摆进行实时控制的问 题 作者拟通过传统的控布鲤论得出各种状态变量间的综合关系 来处理系统 的多变量问题 通过仿真寻优和重复试验相结合的方法 得到控制倒立摆所谓的 最优参数 采用高精度清晰化方法 使输出控制等级更为细腻 神经网络控制倒立摆的研究 自90年代初开始得以快速的发展 而早在 1963年 Widrow和Smith就开始将神经网络应用于倒摆小车系统的控制 神经 网络控制倒立摆是以自学习为基础 用一种全新的概念进行信息处理 显示出 巨大的潜力 今天有许多学者正致力于引用神经网络控制一级或二级倒立摆的 研究 另外还有许多其他的控制方法用于倒立摆的控制 近代机械控制系统中 如直升飞机 火箭发射 人造卫星运行及机器人举 重物 做体操和行走机器人步行控制等等都存在有类似于倒摆的稳定控制问题 倒立摆系统大概可以归纳为如下几类 悬挂式倒立摆 平行式倒立摆和球平衡式 倒立摆系统 倒立摆的级数可以是一级 二级 三级乃至多级 倒摆系统的运 动轨道可以是水平的 还可以是倾斜的 这对实际机器人的步行稳定控制研究更 有意义 早在 60 年代 人们就开始了对倒立摆系统控制的研究 1966 年 Schaefer 和 Cannon 应用 Bang Bang 控制理论 将一个曲轴稳定于倒置位置 在 60 年代后期 作为一个典型的不稳定 严重非线性系统的例证 倒立摆系统的 概念被提了出来 人们习惯于用它来检验控制方法对不稳定 非线性和快速系 统的控制处理能力 因而受到了普遍的重视 1 5 论文的主要工作 1 第一章简介倒立摆 对其结构 发展 控制规律和意义进行阐述 2 为了对被控对象有一个较充分的认识 第二章应用牛顿力学中的第二 定理建立了一级倒立摆系统的数学模型 并在平衡点进行了系统线性化的处理 得到了系统的线性化模型 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 6 页 3 目前己有多种控制方法实现了一级倒立摆的稳定控制 第三章介绍状 态反馈极点配置的控制方法 首先根据建立的状态方程设计状态反馈控制器 然后根据状态反馈控制器将系统的极点配置进行介绍 分析 并给出极点配置 的方法和反馈系数的确定过程 4 第四章进行仿真实验 根据仿真获得的结果进行极点的最优化选择 极点距离原点的距离越远系统的控制速度越快 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 7 页 2 直线一级倒立摆的牛顿 欧拉方法建模 系统建模可分为两种 机理建模和实验建模 实验建模就是通过在研究对 象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号 激励研究对象并通过传感器检 测其可观测的输出 应用数学手段建立起系列的输入 输出关系 这里面包括 输入信号的设计选取 输出信号的精确检测 数学算法的研究等等内容 机理 建模就是在了解研究对象的运动规律基础上 通过物理 化学的知识和数学手 段建立起系统内部的输入 状态关系 对于倒立摆系统 由于其本身是自不稳定的系统 实验建模存在一定的困 难 但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后 倒立摆系统就是一个典型 运动的刚体系统 可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方 程 下面我们采用其中的牛顿 欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模 型 2 1 微分方程的推导 图 2 1 我们不妨做以下假设 M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 8 页 I 摆杆的惯量 F 加在小车上的力 X 小车的位置 摆杆与垂直向下方向的夹角 考虑到摆杆初始位置为竖直 向下 分析小车水平方向所受的合力 可以得到以下方程 M x bF x N 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式 mN 2 2 dt d sin lx 即 mN x ml cos ml 2 sin 把这个等式代入上式中 就得到系统的第一个运动方程 1 1 mM x b Fmlmlx sincos 为力推出系统的第二个运动方程 我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析 可以得到下面方程 mgP m 2 2 dt d cos l 即 mgP ml cossin ml 力矩平衡方程如下 pl INl cossin 注意 此方程中力矩的方向 sinsin coscos 故等式前面有负号 合并这两个方程 约去 P 和 N 得到第二个运动方程 1 2 cossin 2 xmlmglmlI 设 单位是弧度 1 与 假设之间的夹角是摆杆与垂直向上方向 相比很小 即 1 即可以进行近似处理 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 9 页 1cos sin 0 2 dt d 用 u 来代表被控对象的输入力 F 线性化后两个运动方程如下 umlxmM xmlmglmlI 2 3 1 以上式子就是建立的数学模型方程式 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 10 页 3 状态空间极点配置 经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统 控制器设计时一般 需要有关于被控对象的较精确模型 现代控制理论主要是依据现代数学工具 将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统 极点配置法通过设计状态反 馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上 从而使系统满足 工程师提出的瞬态性能指标 前面我们已经得到了倒立摆系统的比较精确的动 力学模型 下面我们针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器 3 1 状态反馈及输出反馈的两种基本形式 用状态向量的线性反馈构成的闭环系统 成为状态反馈系统 状态反馈使用了 系统状态变量的线性组合 作为反馈变量来配置系统的极点 将系统的闭环极 点转移到期望的位置上 从而满足系统的性能要求 根据选用状态变量的多少 可分为全状态反馈和部分状态反馈 全状态反馈使用了全部状态变量的线性组合来构成反馈系统 而部分状态 反馈只是使用一部分状态的线性组合来构成反馈系统 控制系统最基本的形式是由受控系统和反馈控制规律所构成的反馈系统 在古典控制理论中 习惯于采用输出反馈 而在现代控制理论中 通常采用状 态反馈 这就构成了反馈的两种基本形式 3 1 1 状态反馈 图 3 1 状态反馈方块图 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 11 页 对受控系统用状态向量的线性反馈构成的闭环系 0 DCBA KXV 统 称为状态反馈系统 受控系统的方程为 0 DCBA DVCXy BVAXX 线性反馈规律为 KXuV 因此 通过状态反馈构成的闭环系统的状态方程和输出方程为 DuXDKCy BuXBKAX 3 1 一般 D 0 式 3 1 可简化为 CXy BuXBKAX 3 2 常表示为其传递函数矩阵为 CBBKA k BBKAsICsWK 1 3 3 3 1 2 输出反馈 对受控系统用输出向量的线性反馈构成的 0 DCBA HCXHyV 闭环控制系统 称为输出反馈系统 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 12 页 图 3 2 输出反馈方块图 当 D 0 时 线性反馈规律为 HyuBAXX 所以通过输出反馈构成的闭环系统的状态方程和输出方程为 3 4 CXy BuXBHCAX 常表示为 而其传递函数矩阵为 CBBHCA K 3 5 BBHCAsICWH 1 可以导出闭环传递函数矩阵和开环传递函数矩阵之间的关系为 sWH 0 sW 3 6 1 00 sHWIsWsWH 3 2 关于两种反馈的讨论 1 两种形式反馈的重要特点是 反馈的引入并不增加新的状态变量 即 闭环系统和开环系统具有相同的阶数 2 两种反馈闭环系统均能保持反馈引入前的能控性 而对于反馈闭环系 统的能观测性则不然 对于状态反馈形式 闭环以后不一定保持原系统的能观 测性 对于反馈形式 闭环以后必定能保持原系统的能观测性 3 在工程实现的某些方面 两种反馈形式常常遇到一定的困难 因此 在某些情况下还需将它们推广成一般的形式 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 13 页 实现状态反馈的一个基本前提是 状态变量必须是物理上可量 n xxx 21 测的 当状态变量不可量测时 设法由输出 y 和控制 V 把系统的状态 X 构造出 来 即采用观测器来获得状态的观测量 以实现状态反馈 这样便得到此基本 形式更一般的方块图 如图 3 3 所示 图 3 3 中 为 X 的重构值 两者不恒等 但是渐近相等的 观测器也是 X 一个线性系统 其阶数一般小于受控系统的阶数 所以带观测器的状态反馈系 统 其阶数等于受控系统和观测器阶数的和 即受控系统的状态变量和观测器 的状态变量组成了闭环系统的状态变量 图 3 3 带观测器的状态反馈系统 输出反馈虽然在获得信息上并不存在困难 但可以证明输出反馈的基本形 式不能满足任意给定的动态性能指标要求 包括使系统稳定的必要性 为此 通常引入补偿器 即古典控制理论中广泛采用的校正网络 以克服上述局限性 图 3 4 带补偿器的输出反馈系统 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 14 页 图 3 4 为输出反馈的更一般形式 同样 一般补偿器的阶数将低于受控系 统的阶数 所以闭环系统的阶数为两者阶数之和 即闭环系统的状态变量是由 受控系统的状态变量和补偿器的状态变量组成的 4 将两种反馈进行比较不难得出 输出反馈的一个突出优点的工程上构 成方便 但事实证明 状态反馈与输出反馈比较 具有更好的特性 而且随着 观测器理论和卡尔曼理论的发展 状态反馈的物理实现问题也已基本解决 因 此总体上说 状态反馈有更大的适应性 当然对具体系统而言 要从实际情况 出发 进行具体分析与选择 3 3 状态反馈的优越性 在状态空间中 状态反馈的优越性在于可将系统的状态和输入综和起来组 成系统的控制信号 从而可以完全确定系统的未来行为 得到较好的控制效果 在工程上 状态反馈可应用现代控制理论 设计各种最优控制系统 如最短时 间控制系统 最小能量控制系统 线性二次型最优控制系统 对于有随机扰动 的系统 可通过对状态的估计 设计最优控制系统 同时可对变化的系统模型 进行自适应控制 3 4 极点配置的提出 动力学的各种特性或各种品质指标在很大程度上是由系统的极点决定的 因 此系统综合指标的形式之一可以取为 S 平面上给出的一组所希望的极点 所谓 极点配置问题 就是通过状态反馈矩阵 K 的选择 使闭环系统 的BKA 特征根 恰好处于所希望的一组极点的位置上 因为希望的极点具有任意性 所以极点的配置也应当做到具有任意性 事实上 古典控制理论中采用的综合 法 无论是根轨迹法还是频率法 本质上也是一种极点配置问题 从极点配置问题的定义可知 对希望极点的选取 实际上是确定综合目标 的问题 也是首先要考虑的复杂的问题 3 4 1 期望极点的选择 选取极点时所遵循的原则如下 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 15 页 对于一个 n 维控制系统 可以而且必须给定 n 个希望的极点 所希望的极点可以为实数或复数 但是当以复数形式给出时 必须共轭复 数对形式出现 即物理上是可实现的 选取所希望极点的位置 需要研究它们对系统品质的影响 以及它们与零 点分布状况的关系 从工程实际的角度加以选取 在所希望极点的选取中 还必须考虑抗干扰和低灵敏度方面的要求 即应 当具有较强的抑制干扰的能力 以及较低的对系统参数变动的灵敏度 在综合时 需要解决极点配置的理论问题与方法问题 3 4 2 极点配置需要注意的问题 使用极点配置方法时 要注意的问题 1 系统完全状态可控是求解的充分必要条件 2 应把闭环系统的期望特性转化为 Z 平面上的极点位置 3 理论上 选择反馈增益可使系统有任意快的时间响应 加大反馈增益可提 高系统的频带 加快系统的响应 但过大的反馈增益 在有一定误差信号时 导致控制信号的无限增大 这在工程上无法实现 因而必须考虑反馈增益的物 理实现可能性 4 当系统的阶次较高时 可用 Ackerman 公式 通过计算机求解 3 5 理论分析 方程组 1 3 对解代数方程 得到解如下 x u MmlmMI mlI MmlmMI glm x u MmlmMI ml MmlmMI gmMml 2 2 2 22 22 以上式是两元联立二阶常微分方程 如果取状态变量为 x x x x x x x 4 3 2 1 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 16 页 即摆干的角度和速度以及小车的位置和速度四个状态变量 则系统的状态 方程为 u MmlmMI mlI x MmlmMI glm x xx u MmlmMI ml x MmlmMI mMmgl x xx 2 2 1 2 22 4 43 2 1 2 2 21 将上式写成向量和矩阵的形式 就成为线性系统的状态方程 BuAxx 是四维的状态向量 而系统矩阵 和输入矩阵 为下列形式 x 系统矩阵输入矩阵 000 1000 000 0010 b a A d c B 0 0 其中参数 a b c d 为下列表达式确定的常数 2 MmlmMI gmMml a 2 MmlmMI ml c 2 22 MmlmMI glm b 2 2 MmlmMI mlI d 选择摆杆的倾斜角度和小车的水平位置 x 作为倒立摆杆 小车系统的输出 则输出方程为 Cx x x x x x y 4 3 2 1 0100 0001 所谓状态反馈 就是用状态向量与一个系统矩阵的积作为控制向量 Kxu 控制力是一个加给小车水平方向的力 状态变量有四个 所以反馈系数是uu 一个阶的矩阵41 4321 KKKKK 则系统状态反馈控制力可用状态变量与各自系数乘积之和的 4321 kkkk 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 17 页 形式表示 xkxkkk xkxkxkxku 4321 44332211 3 6 极点配置的方法问题 综合指标为 输出超调量 超调时间 系统频宽 5 p stp5 0 10 b 跟踪误差 对阶跃 0 p e 对速度 2 0 v e 1 确定希望的极点 显然 希望的极点 n 3 选其中一对为主导极点和 另一个为远极点 并且 1 s 2 s 认为系统的性能主要是由主导极点决定的 远极点只有微小的影响 根据二阶系统的关系式 先定出主导极点 21 e p 2 1 n p t 44221 422 nb 式中和为此二阶系统的阻尼比和自振频率 n 可以导出 由可得从而有于是 21 e p 5 14 3 1 2 707 0 2 1 选 707 0 由得stp5 0 5 0 2 1 1 2 n n 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 18 页 9 707 0 5 0 n 由和已选的 的结果比较可取 这10 b 和得 10 2 1 n 10 n 样便定出了主导极点 2 2 1 1 nn js 远极点应选择得使它和原点的距离远大于 5 现取 10 1 s 3 s 1 s 因此确定的希望极点为 100 07 7 07 7 07 7 07 7 43 2 1 ss js js 注 其中主导极点决定系统的性能 远极点只有微小的影响 根据系统的综 合指标关系式可以先定出主导极点 远极点应选择得使它和原点的距离远大于 5 倍的主极点与原点的距离 当将特征根指定为下列两组数时 100 07 7 07 7 4321 j 极点配置法是以线性系统为对象设计状态反馈控制器 使闭坏控制系统的特征 根 极点 分布在指定位置的控制器设计方法 3 7 根据极点配置法确定反馈系数 系统方程为 umlxmM xmlmglmlI 2 假定倒立摆杆 小车系统的参数如下 摆干的质量 m 0 07kg 长 度 2l 0 4m 转动惯量 3 2 ml I 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 19 页 小车的质量 M 1 32kg 重力加速度 g 10m 2 s 得到系统矩阵 A 和输入矩阵 B 为 0003847 0 1000 0001825 38 0010 A 7477 0 0 8037 2 0 B 矩阵 A 的特征值是方程的根 0 AIs 0 003847 0 100 001825 38 001 s s s s AIs 因此 该系统的特征根分别为 41 ss 18 6 18 6 0 0 4321 ssss 特征根之一的实部是正值 所以该系统是不稳定的 由此可知 时 倒 3 s0 u 立摆系统是不稳定的系统 对这一不稳定系统应用状态反馈 可使摆杆垂直且 使小车处于基准位置 即达到稳定状态 在用状态方程表示的系统中 应用状态反馈构成的系统的特征根 以矩阵 的特征值给出 系统稳定的充要条件是所有特征值都要处于复平面的 BKA 左半平面 矩阵特征值是方程式的根 BKA 0 BKAIs 0 0 0 000 1000 000 0010 000 000 000 000 4321 kkkk d c b a s s s s 这是 s 的四次代数方程式 可表示为 0 34 2 31 3 42 4 kbcadskbcadsdkckasdkcks 适当选择反馈系数系数的特征值可以取得所希望的值 4321 kkkk 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 20 页 把四个特征根设为四次代数方程式的根 则有 4321 0 4321 214431432321 2 43114433221 3 4321 4 s s ss 比较两式有下列联立方程式 43213 2144314323214 42311443322131 432142 kbcad kbcad dkcka dkck 根据给出的实数和公轭复数的 则联立方程式的右边全部为实 4321 数 据此可求解出实数 4321 kkkk 利用方程式可列出关于的方程组 4321 kkkk 254766 27 304766 27 187477 0 8037 2 1925 38 67477 0 8037 2 3 4 31 42 k k kk kk 求解后得 9099 0 2846 20 3 1 k k 0918 1 4316 2 4 2 k k 即施加在小车水平方向的控制力 u Nxxu0918 1 9099 0 4316 2 2846 20 上述给出的状态反馈控制器 可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡 状态 即所有的状态变量都可稳定在零的状态 这就意味着即使在初xx 及 始状态或因存在外扰时 摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置 依靠该状态反馈 控制也可以使摆杆垂直竖立 使小车保持在基准位置 相对平衡状态的偏移 得到迅速修正的程度要依赖于指定的特征根的值 一般来说 将指定的特征根配置在原点的左侧 离原点越远 控制动作就越迅 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 21 页 速 但响应地需要更大的控制力和快速的灵敏度 4 一级倒立摆系统模块仿真 1 用鼠标双击计算机桌面上的 Matlab 图标 启动 Matlab 在指令区运行 指令 simulink 或双击 Matlab 的工具栏中图标 Simulink Library Browser 均可 启动 Simulink 模块库浏览器 然后左击浏览器的工具栏中图表 create a new mode 新建一个 simulink 模型窗 2 从 Simulink 模块库浏览器的菜单 Simulink 的子菜单 Signals Systems 下选 Subsystem 拖到 Simulink 模型窗的编辑窗口中 将所有的模块连接起来 3 最后利用 Simulink 的 Mask 功能把子系统进行封装 得到一级倒立摆 系统模块 图 4 1 SIMULINK 仿真模型 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 22 页 图 4 2 小车位移的仿真曲线 图 4 3 小车角度的仿真曲线 仿真结果分析 从仿真曲线上来看 控制量都在合理范围 系统基本在两秒回到了平衡位置 仿真证明 状态反馈极点配置方法可以稳定一级倒立摆系统 而且响应速度快 可以用于倒立摆的实物系统控制 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 23 页 结 论 通过毕业设计的学习 我们可以看到 运用状态反馈极点配置的方法控制 一级倒立摆是完全可行的 它可以将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出 系统 将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上 从而使系统满足工 程师提出的瞬态性能指标 设计的状态反馈控制器 可以使处于任意初始状态 的系统稳定在平衡状态 即所有的状态变量都可稳定在零的状态 这xx 及 就意味着即使在初始状态或因存在外扰时 摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置 依靠该状态反馈控制可以使摆杆垂直竖立 使小车保持在基准位置 相对平衡状态的偏移 得到迅速修正的程度要依赖于指定的特征根的值 一般来说 将指定的特征根配置在原点的左侧 离原点越远 控制动作就越迅 速 但响应地需要更大的控制力和快速的灵敏度 往往我们在满足系统要求的 情况下 离原点尽量近一点 运用状态反馈极点配置的方法控制一级倒立摆是一个很好的方法 简单易 懂 运用方便 在很多方面都起到了很大的作用 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 24 页 致 谢 这次毕业设计圆满的结束了 在这次毕业设计中我学到了许多知识 受益 匪浅 而在这个过程中 给我最大帮助的就是李小华老师和沈鹏老师 他们在 百忙之中给我们上课 指导 他们不仅在学术上给我以启迪和帮助 而且还在 治学作风上用他们的实际行动告诉我 知识来不得半点虚假 要脚踏实地得去 做 才能有所收获 要不断探索 才能有新的成果 所以从他们身上 我不仅 学到了知识还得到了做人的道理 我还要感谢我的父母 是他们给了我这次学 习的机会 让我的梦想得以实现 另外 还有很多同学也在各个方面给予我支 持 在这里我要向大家说声感谢 最后让我再次感谢 李小华老师 我的父母和帮助过我的沈鹏 张德海 齐欣 刘永刚等同学 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 25 页 参考文献参考文献 1 Vander Linden G W Lambrechts PF H control of an experimental inverted pendulum with dry friction IEEE Control Systems Magazine J 1993 13 4 44 50 2 Anderson C W Learning to control an inverted pendulum using nerual nerworks J IEEE Control System Magazine 1989 9 3 31 37 3 王建辉 杨大鹏 顾树生 带有自调整因子和积分校正环节的双环模糊控制 系统的研究 J 沈阳工业大学学报 1998 20 1 11 14 4 王耀南 智能控制系统 J 湖南 湖南大学出版社 1996 5 Bryson AE Luenberger DGThe Synthesis of Regulator Logic Using State Varieble Control A Proceeding of the IEEE 1970 58 11 1803 1811 6 Mora S Nishihara H Furuta I Control of unstable mechanical system control of pendulum J INT J Control 1976 23 5 673 692 7 Sturegeon WR Loscutof MV Application of modal control and dynamic observers to control of a double inverted pendulum A Proc JACC Stanford 1972 857 865 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 26 页 附录 A 外文文献 Introduction to the Design and Simulation of Controlled Systems There are two general approaches to developing controller designs the classical method and the modern method Some of the Case Studies in Section VI have already introduced the classical approach which includes PID controllers lead lag compensators etc The classical design method relies on the root locus technique Case Study C for example and or the various frequency response representations of LTI systems Bode Nyquist and Nichols plots to assist in the selection of the free variables introduced within the controller transfer function The tuning of these control variables is usually performed via an educated or guided trial and error approach and the creativity and experience of the designer plays an important role in the overall design process The classical design method is usually restricted to single input single output SISO systems Modern control theory employs a more formal mathematical approach for the design of control systems Matrix methods are usually applied which allows the treatment of multiple input multiple output MIMO systems The objective of the design can often be stated precisely in quantitative terms in the form of a performance index and the control variables are determined via application of a rigorous set of mathematical procedures The trial and error aspect of the classical design method is considerably reduced and in some cases eliminated completely This section of notes introduces the subject of controller design using modern control methods In particular state feedback control with and without a full state observer is introduced and illustrated with some numerical examples The idea of a simple classical proportional controller is also revisited and the combination of classical and modern control is used to help explain what is really happening with state control The development of these subjects is broken into two parts The first challenge 鞍山科技大学本科生毕业设计 论文 第 27 页 deals with the design of the control system The root locus method is used to obtain the appropriate controller gain for the simple proportional controller and the pole placement method is used to obtain the gain matrix with the state control formulation a similar method is used to obtain the observer gains Once the design parameters are known our focus then turns to addressing the actual simulation of the system with preset control parameters In the simulation mode we address both linear and nonlinear systems note that the controller design step is usually