2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（福建卷解析版）

1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 福建卷 解析年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 福建卷 解析 版 版 本试卷第本试卷第 I I 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 IIII 卷 非选择题 两部分 第卷 非选择题 两部分 第 I I 卷卷 1 1 至至 3 3 页 第页 第 IIII 卷卷 4 4 至至 6 6 页 满分页 满分 150150 分 分 注意事项 注意事项 1 1 答题前 考生务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的准考证号 姓答题前 考生务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的准考证号 姓 名 考生要认名 考生要认 真核对答题卡上粘贴的条形码的真核对答题卡上粘贴的条形码的 准考证号 准考证号 姓名姓名 与考生本人准考证号 姓名是否一致 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 2 第第 I I 卷每小题选出答案后 用卷每小题选出答案后 用 2B2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑 如需改 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 第案标号 第 IIII 卷用卷用 0 50 5 毫米黑色签字笔在答题卡上毫米黑色签字笔在答题卡上 书写作答 在试题卷上作答 答案无效 书写作答 在试题卷上作答 答案无效 3 3 考试结束 考生必须将试题卷和答题卡一并交回考试结束 考生必须将试题卷和答题卡一并交回 参考公式 参考公式 样本数据 x1 x2 xn 的标准差 其中为样 222 12 1 n sxxxxxx n x 本平均数 柱体体积公式 V Sh 其中 S 为底面面积 h 为高 锥体公式 V Sh 其中 S 为底面面积 h 1 3 为高 球的表面积 体积公式 S 4 R2 V R3 其中 R 为球的半径 4 3 第第 I I 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一有一个项是符合题目要求的 个项是符合题目要求的 2 i 是虚数单位 1 i3等于 2 A i B i C 1 i D 1 i 答案 D 解析 因为 故选 D 3 11ii 解析 所以输出 22 1 10 123 310 3211 1110aaaaaa 选 B 11a 6 若关于 x 的方程 x2 mx 1 0 有两个不相等的实数根 则实数 m 的取值范围是 A 1 1 B 2 2 C 2 2 D 1 1 答案 C 3 解析 因为方程 x2 mx 1 0 有两个不相等的实数根 所以 解得或 2 40m 2m 选 C 2m 解析 因为 0 且 所以 2 2 sin 1 cos2 4 2 sin 22 1 cossin 4 即 所以 或 舍去 所以 即 选 D 2 1 cos 4 cos 1 2 1 2 3 tan3 10 若 a 0 b 0 且函数 f x 4x3 ax2 2bx 2 在处有极值 则的最大值等于1x ab A 2 B 3 C 6 D 9 答案 D 解析 所以在处有极值 所以 2 1222fxxaxb f x1x 4 即 1 12220fab 6ab 又 所以 即 所以 当且仅当时等号0 0ab 2abab 26ab 9ab 3ab 成立 所以的最大值为 9 选 D ab 对于 3 5 2 被 5 除应余 2 所以 错 对于 任意一整数 被 5 除余数为 0 1 2 3 4 x 所以 所以 正确 对于 先证充分性 因为是同一类 01234x a b 可设则即 不妨令 12 5 5 ank bnk 5 abn nZ 5anb nZ 5 bmk 则 所以属于同一类 故 正确 则正确的有mZ 55anmk mZ nZ a b 5 第第 IIII 卷 非选择题卷 非选择题 共共 9090 分 分 注意事项 注意事项 用用 0 50 5 毫米黑色毫米黑色 墨水签字笔在答题卡上书写作答 在试题卷上作答 答案无效墨水签字笔在答题卡上书写作答 在试题卷上作答 答案无效 二 填空题二 填空题 本大题共 本大题共 4 4 小题 小题 每小题每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 把答案填在答题卡相应位置 分 把答案填在答题卡相应位置 经验表明 最佳乐观系数 x 恰好使得 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 据此可得 最佳乐观系数 x 的值等于 答案 51 2 6 解析 因为 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 所以 2 ca bc ba baacba 又 所以 所以 由题意知 cax ba ca ba x 2 ca caca ac xx 所以0ca 整理得 所以或 舍去 11 1 1 xx 2 10 xx 51 2 x 51 2 x 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 解答应写出文字说明 证明过程或验算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或验算步骤 II 由 I 可知 故方程 即为 解得 将其代入 1b 2 440 xx 2x 2 4xy 得 y 1 故点 A 2 1 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切 所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y 1 的距离等于圆 A 的半 径 r 7 即 r 1 1 2 所以圆 A 的方程为 22 2 1 4xy 命题立意 本题主要考查直线 圆 抛物线等基础知识 考查运算求解能力 考查函数 与方程思想 数形结合思想 又基本事件的总数为 10 故所求的概率 4 0 4 10 P A 命题立意 本题主要考查概率 统计等基础知识 考查数据处理能力 运算求解能力 应用意识 考查函数与方程思想 分类与整体思想 必然与或然思想 20 本小题满分 12 分 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD 点 E 在线段AD上 且CE AB 1 求证 CE 平面PAD 8 11 若PA AB 1 AD 3 CD CDA 45 求四2 棱锥P ABCD的体积 解析 1 证明 因为 PA 平面 ABCD CE平面 ABCD 所 以 PA CE 因为 AB AD CE AB 所以 CE AD 又 PAAD A 所以 CE 平面PAD 2 解 由 1 可知 CE AD 在直角三角形 ECD 中 DE CD CE CD cos451 sin451 2 作出平面区域 即三角形区域 ABC 如图 其中 A 1 0 B 1 1 C 0 1 则 0 2 9 又 且 3sincos2sin 6 f 2 663 故当 即时 取得最大值 2 当 即时 取得最 62 3 f 66 0 f 小值 1 命题立意 本题主要考查三角函数 不等式等基础知识 考查运算求解能力 推理论证 能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 由 2 可得 当在区间内变化时 的变化情况如下表 x 1 e e fx f x x 1 e 1 1 e 1