基本函数求导公式

1 基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式 1 0 C 2 1 xx 3 xxcos sin 4 xxsin cos 5 xx 2 sec tan 6 xx 2 csc cot 7 xxxtansec sec 8 xxxcotcsc csc 9 aaa xx ln 10 e e xx 11 ax x a ln 1 log 12 x x 1 ln 13 2 1 1 arcsin x x 14 2 1 1 arccos x x 15 2 1 arctan 1 x x 16 2 1 arccot 1 x x 函数的和 差 积 商的求导法则函数的和 差 积 商的求导法则 设 xuu xvv 都可导 则 1 vuvu 2 uCCu C是常数 3 vuvuuv 4 2 v vuvu v u 反函数求导法则反函数求导法则 若函数 yx 在某区间 y I 内可导 单调且 0 y 则它的反函数 xfy 在对应 区间 x I 内也可导 且 1 y xf 或 dy dx dx dy1 复合函数求导法则复合函数求导法则 设 ufy 而 xu 且 uf 及 x 都可导 则复合函数 xfy 的导数为 2 dydy du dxdu dx A 或 yf ux A 双曲函数与反双曲函数的导数 双曲函数与反双曲函数都是初等函数 它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求 出 可以推出下表列出的公式 sh chxx ch shxx 2 1 th ch x x 2 1 arsh 1 x x 2 1 arch 1 x x 2 1 arth 1 x x 一 一个方程的情形一 一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念 并且指出了不经过显化直接由方程 yxf 0 1 求它所确定的隐函数的方法 现在介绍隐函数存在定理 并根据多元复合函数的求导法来 导出隐函数的导数公式 隐函数存在定理1 设函数 yxF 在点 00 yxP 的某一邻域内具有连续的偏导数 且 0 00 yxF 0 00 yxFy 则方程 yxF 0 在点 00 yx 的某一邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 xfy 它满足条件 00 xfy 并有 y x F F dx dy 2 公式 2 就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证 现仅就公式 2 作如下推导 将方程 1 所确定的函数 xfy 代入 得恒等式 0 xfxF 其左端可以看作是x的一个复合函数 求这个函数的全导数 由于恒等式两端求导后 仍然恒等 即得 3 0 dx dy y F x F 由于 y F 连续 且 0 00 yxFy 所以存在 x0 y0 的一个邻域 在这个邻域内 0 y F 于 是得 y x F F dx dy 如果 yxF 的二阶偏导数也都连续 我们可以把等式 2 的两端看作x的复合函数而 再一次求导 即得 dx dy F F yF F xdx yd y x y x 2 2 2 3 22 22 y xyyyxxyyxx y x y xyyyxy y xyzyxx F FFFFFFF F F F FFFF F FFFF 例 1 验证方程 01 22 yx 在点 0 1 的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导 数 当x 0 时 1 y 的隐函数 xfy 并求这函数的一阶和二阶导数在x 0 的值 解 设 yxF1 22 yx 则 yFxF yx 2 2 02 1 0 0 1 0 y FF 因此 由定理 1 可知 方程 01 22 yx 在点 0 1 的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导 数 当x 0 时 1 y 的隐函数 xfy 下面求这函数的一阶和二阶导数 y x F F dx dy y x 0 0 x dx dy 2 2 dx yd 1 33 22 22 yy xy y y x xy y yxy 1 0 2 2 x dx yd 隐函数存在定理还可以推广到多元函数 既然一个二元方程 1 可以确定一个一元隐函数 那末一个三元方程 F zyx 0 3 就有可能确定一个二元隐函数 4 与定理 1 一样 我们同样可以由三元函数F zyx 的性质来断定由方程F zyx 0 所确定的二元函数z yx 的存在 以及这个函数的性质 这就是下面的定理 隐函数存在定理 2 设函数F zyx 在点 000 zyxP 的某一邻域内具有连续的偏 导数 且 0 000 zyxF 0 000 zyxFz 则方程F zyx 0 在点 000 zyx 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 yxfz 它满足条件 000 yxfz 并有 x z z x F F y z z y F F 4 这个定理我们不证 与定理 1 类似 仅就公式 4 作如下推导 由于 F yx f yx 0 将上式两端分别对x和y求导 应用复合函数求导法则得 x F z F x z 0 y F z Fy z 0 因为z F 连续 且 0 000 zyxFz 所以存在点 000 zyx 的一个邻域 在这个邻域内 z F 0 于是得 x z z x F F y z z y F F 例 2设 04 222 zzyx 求 2 2 x z 解 设F zyx zzyx4 222 则 x F 2x z F 42 z 应用公式 4 得 x z z x 2 再一次x对求偏导数 得 2 2 x z 2 2 2 z x z xz 2 2 2 2 2 3 22 2 z xz z z x xz 二 方程组的情形 下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广 我们不仅增加方程中变量的个数 而 且增加方程的个数 例如 考虑方程组 5 0 0 zuyxG vuyxF 5 这时 在四个变量中 一般只能有两个变量独立变化 因此方程组 5 就有可能确定两个二 元函数 在这种情形下 我们可以由函数F G的性质来断定由方程组 5 所确定的两个 二元函数的存在 以及它们的性质 我们有下面的定理 隐函数存在定理 3 设函数 vuyxF vuyxG 在点 00000 vuyxP 的某一 邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又 0 0000 vuyxF 0 0000 vuyxG 且 偏导数所组成的函数行列式 或称雅可比 Jacobi 式 J vu GF v G u G v F u F 在点 00000 vuyxP 不等于零 则方程组 0 vuyxF 0 vuyxG 在点 0000 vuyx 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 yxvvyxuu 它满足条件 000000 uxvvyxuu 并有 x u 1 vx GF J vu vu vx vx GG FF GG FF x v 1 xu GF J vu vu xu xu GG FF GG FF 6 y u 1 vy GF J vv vu vy vy GG FF GG FF y v J 1 yu GF uy uy uv uv FF GG FF GG 这个定理我们不证 例 3设 1 0 xvyuyvxu 求x u y u x v 和 y v 6 解 此题可直接利用公式 6 但也可依照推导公式 6 的方法来求解 下面我们利用后 一种方法来做 将所给方程的两边对x求导并移项 得 v x v x x u