6.2.2间接证明：反证法

6 2 26 2 2 间接证明 反证法间接证明 反证法 一 教学目标一 教学目标 一 知识目标 结合已经学过的数学实例 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了 解反证法的思考过程 特点 二 情感目标 课题引入时讲解故事以激发学生对数学思维的兴趣 反证法思维的培养有 助于辩证思维的形成 可增强思维的批判性 三 能力目标 反证法是一种间接证法 培养反证的思维有助于激发创新意识 增强思维 的批判能力 可促进思维的灵活性 对问题加以辩证思考 二 教学重点二 教学重点 反证法在证明有关问题时的思考过程 特点 三 教学难点三 教学难点 应用反证法证明数学问题 四 教学过程四 教学过程 一 引入课题 一 引入课题 配合幻灯片讲述 很早以前 中国的成语中就有一个 自相矛盾 的故 事 其典故说的是有一个人同时贩卖矛与盾 他向买家吹嘘他的矛是 无坚不 摧 的 盾呢 是刀枪不入的 于是 有人马上提议他 以子之矛 攻子之盾 来验证一下他的宣传是否可靠 于是这人当场弄得哑口无言 反证法的思维在日常生活中并不鲜见 以下例举的是与反证法有关的故事 仅供选用 南方某风水先生到北方看风水 恰逢天降大雪 乃作一歪诗 天公 下雪不下雨 雪到地上变成雨 早知雪要变成雨 何不当初就下雨 他的歪诗 又恰被一牧童听到 亦作一打油诗讽刺风水先生 先生吃饭不吃屎 饭到肚 里变成屎 早知饭要变成屎 何不当初就吃屎 王戎小时候 爱和小朋友在路上玩耍 一天 他们发现路边的一棵树 上结满了李子 小朋友一哄而上 去摘李子 独有王戎没动 等到小朋友们摘 了李子一尝 原来是苦的 他们都问王戎 你怎么知道李子是苦的呢 王 戎说 假如李子不苦的话 早被路人摘光了 而这树上却结满了李子 所以 李子一定是苦的 一个心脏病患者梦见刮台风 自己从楼上跌下来 接着整个住房倒塌 下来压在他身上 他害怕极了 于是心脏病发作 死在床上 分析 事实上 这则故事是不真实的 可以用反证法来证明 假设这则故事是真实的 由于故 事是在梦中发生的 除了做梦的人谁也不知道 因此故事情节只能由做梦者说 出来 而做梦者又死在梦中 由死者说出梦中的情节与常理不符 于是故事的 真实性也就被证明了 三国时期 蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时 派大将魏延领兵去攻打魏国 只留下少数老弱军士守城 不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来 靠几个老 弱军士出城应战 无异以卵击石 怎么办 诸葛亮冷静思考之后 决定打开城 门 让老弱军士在城门口洒扫道路 自己则登上城楼 摆好香案 端坐弹琴 态度从容 琴声幽雅 司马懿见此情景 心中疑虑 诸葛亮一生精明过人 谨慎有余 从不冒险 今天如此这般 城内恐怕必有伏兵 故意诱我入城 绝 不能中计也 二 传授新知 二 传授新知 在数学上人们也常用这种 以子之矛攻子之盾 的方法来证明一些问题 这 种证法就是反证法 数学证明中的反证法是由否定论题结论的正确性出发 根据假设 定义 公理 定理 进行一系列正确的推理 最后得出一个矛盾的结果 与论题的假设 某个公理或定理矛盾 或自相矛盾 以表明结论的反面不成立 从而肯定结论 的正确性 这种驳倒反面的证法 是一种间接证法 当证题结论的反面只有一 种情况时 否定了这一反面结论 根据排中律 即可证得原论题的结论是正确 的 这种单纯的反证法 叫做归谬法 当论题结论的反面不止一种情况时 就 得一一驳倒 最后肯定论题结论的正确性 这种结论的反面不唯一的反证法叫 做穷举法 三 讲解例题 三 讲解例题 两条直线相交 只有一个交点 证明 若两直线不只有一个交点 如两个交点 则经过此两点便有两条 直线 与 经过两点有且只有一条直线 的公理矛盾 故原命题成立 点评 反证法的证明步骤是 1 反设 假设所要证明的结论不成立 而设结论的反面成立 2 归谬 由 反设 出发 通过正确的推理 导出矛 盾 与已知条件 已知的公理 定义 定理 反设及明显的事实矛盾或自相矛 盾 3 结论 因为推理正确 产生矛盾的原因在于 反设 的谬误 既然结 论的反面不成立 从而就可肯定结论成立 三个步骤的关键是要导出矛盾 无理数的发现 归功于古希腊的毕达哥拉斯学派 可讲述有关第一次数2 学危机与希帕索斯的故事 通过启发引导学生使用反证法证明 2 不是有理数 2 证明 反设 假设是有理数 不妨设 为互质的正整数 22 p q p q 归谬 由反设有 故 2 必是的因数 于是可设 22 22pqqp q 为正整数 所以 故 2 又是的因数 因2qm m 22 24pm 22 2pm p 此有公因数 2 这与为互质的正整数相矛盾 p q p q 结论 假设是有理数不成立 故是无理数 22 在应用反证法证题时 必须按 反设 归谬 结论 的思路进行 这就是 应用反证法的三步曲 但叙述上可以简略每一步的名称 3 如果 那么 0ab ab 证明 直接证法 ababab 即 0ab 0ab 0abab 0ab ab 反证法 假设不大于 则 abbaba 或 或 0ab baaaba bbba 由 传递性 知 即 与题设矛盾 bbaa ab 同样 若 与题设矛盾 baba ba 如果一个命题的结论难以直接证明时 可考虑用反证法 此即数学解题的 正难则反 原则 宜用反证法证明的题型有 1 以否定性判断作为结论的 命题 2 某些定理的逆命题 3 以 至多 至少 或 不多于 等形 式陈述的命题 4 关于 唯一性 结论的命题 5 解决整除性问题 6 一些不等量命题的证明 7 有些基本定理或某一知识体系的初始阶段 8 涉及各种 无限 结论的命题等等 四 技能训练 四 技能训练 教材 P 52 练习 ab ca cb A已知 在同一平面上有直线a b c 与相交 求证 与相交 证明证明 反证法 假设c与b不相交 ab ca A AA 则cb c a 这与已知的与相交矛盾 所以 平面内一条直线与两条平行线中的一条相交 则也必与另一条相交 2 已知 求证 0 cba0 cabcab0 abc0 0 0 cba 证法 1 反证法 假设不全是正数 即至少有一个小于或等于 0 又 不妨假设cba 0 abc 则 又 0 a0 bc0 acb 0 cba0 cba0 bc 即 与矛盾 所以假设不成0 cbabc0 cabcab0 cabcab 立 故成立 0 0 0 cba 证法 2 构造函数法 设 abcxcabcabxcbaxcxbxaxxf 23 当时 恒成立 则0 cba0 cabcab0 abc0 x0 xf 的三个根均为负根 即 0 xf0 0 0 cba0 0 0 cba 五 课堂小结 五 课堂小结 用反证法证题时 应注意 1 周密考察原命题结论的否定事项 防止否定 不当或有所遗漏 2 推理过程必须完整 否则不能说明命题的真伪性 3 在 推理过程中 要充分使用已知条件 否则推不出矛盾 或者不能断定推出的结 果是错误的 用反证法证明问题存在逻辑上的困难 请同学们试用反证法证明下列各题 求证 过同一直线上三点不能作一个圆 求证 在一个三角形中不可能有两个直角 已知 直线 a b b c 求证 a c 求证 一条直线与两条平行线中的一条相交 必定与另一条相交 求证 圆的两条非直径的相交弦不能互相平分 六 思维与拓展 六 思维与拓展 1 已知 qpxxxf 2 1 求证 2 2 2 3 1 fff 2 求证 中至少有一个不小于 3 2 1 fff 2 1 证明 1 2 24 2 39 1 2 2 3 1 qpqpqpfff 2 反证法 假设都小于 则 3 2 1 fff 2 1 2 2 2 3 1 fff 而 出现矛盾 2 2 3 1 fff2 2 2 3 1 fff 中至少有一个不小于