2011年高二数学 8.4《向量的应用》测试 沪教版

20112011 年高二数学测试 年高二数学测试 8 4 8 4 向量的应用向量的应用 沪教版高二上 沪教版高二上 1 有以下命题 如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底 那么的关系 a b a b 是不共线 为空间四点 且向量不构成空间的一个基底 那么点 O A B C OA OB OC 一定共面 已知向量是空间的一个基底 则向量 也是空 O A B C a b c ab ab c 间的一个基底 其中正确的命题是 A B C D 2 下列命题正确的是 若与共线 与共线 则与共线 Aa b b c a c 向量共面就是它们所在的直线共面 B a b c 零向量没有确定的方向 C 若 则存在唯一的实数使得 D ab ab 3 如图 在平行六面体中 1111 DCBAABCD M 为与的交点 若 则下列向量中与相 11C A 11D BABa ADb 1 AAc BM 等的向量是 A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D cba 2 1 2 1 4 已知 且不共面 若 求 28 1 0423pynmxbpnma pnm a b 的值 yx 5 1 已知两个非零向量 a1 a2 a3 b1 b2 b3 它们平行的充要条件是 ab A B a1 b1 a2 b2 a3 b3aabb C a1b1 a2b2 a3b3 0 D 存在非零实数 k 使 kab 2 已知向量 2 4 x 2 y 2 若 6 则 x y 的值是 abaab A 3 或 1 B 3 或 1 C 3 D 1 3 下列各组向量共面的是 A 1 2 3 3 0 2 4 2 5 abc B 1 0 0 0 1 0 0 0 1 abc C 1 1 0 1 0 1 0 1 1 abc M C1 C B1 D1 A1 AB D 第三题 D 1 1 1 1 1 0 1 0 1 abc 例 6 已知空间三点 A 2 0 2 B 1 1 2 C 3 0 4 设 AB ab AC 1 求 和的夹角 2 若向量 k 与 k 2互相垂直 求 k 的值 aba bab 7 1 设向量与的夹角为 a b 3 3 a 1 1 2 ab 则 cos 8 1 已知 a b c 为正数 且 a b c 1 求证 113 a 113 b 113 c 4 3 2 已知 F F1 i i 2j j 3k k F F2 2i i 3j j k k F F3 3i i 4j j 5k k 若 F F1 F F2 F F3共同作用于同一物体 上 使物体从点 M1 1 2 1 移到点 M2 3 1 2 求物体合力做的功 9 如图 直三棱柱中 求证 111 CBAABC 1111 CABCABBC 11 CAAB 10 过 ABC的重心任作一直线分别交AB AC于点D E 若 ADxAB AEyAC 则的值为 0 xy 11 xy A 4 B 3 C 2 D 1 13 已知a a b b a a与b b之间有关系式 ka a b b a a cos sin cos sin3 kb b 其中k 0 1 用k表示a a b b 2 求a a b b的最小值 并求此时 a a与b b的夹角的大小 由已知 1 ba 14 已知 5 AC8 AB DBAD 11 5 0 ABCD 1 求 ACAB 2 设 BAC 且已知 cos x 求 sinx 4 54 x 1 有以下命题 如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底 那么的 a b a b 关系是不共线 为空间四点 且向量不构成空间的一个基底 那么 O A B C OA OB OC 点一定共面 已知向量是空间的一个基底 则向量 也是 O A B C a b c ab ab c 空间的一个基底 其中正确的命题是 A B C D 解析 对于 如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底 那么的关 a b a b 系一定共线 所以 错误 正确 点评 该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件 为此我们要掌握 好空间不共面与不共线的区别与联系 2 下列命题正确的是 若与共线 与共线 则与共线 Aa b b c a c 向量共面就是它们所在的直线共面 B a b c 零向量没有确定的方向 C 若 则存在唯一的实数使得 D ab ab 解析 A 中向量为零向量时要注意 B 中向量的共线 共面与直线的共线 共面不一样 b D 中需保证不为零向量b 答案 C 点评 零向量是一个特殊的向量 时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处 像零向量与任何向量共线等性质 要兼顾 题型 2 空间向量的基本运算 3 如图 在平行六面体中 为 1111 DCBAABCD M 与的交点 若 11C A 11D BABa ADb 则下列向量中与相等的向量是 1 AAc BM A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D cba 2 1 2 1 M C1 C B1 D1 A1 AB D 解析 显然 111 2 1 AAABADMBBBBM 11 22 abc 答案为 A 点评 类比平面向量表达平面位置关系过程 掌握好空间向量的用途 用向量的方法处 理立体几何问题 使复杂的线面空间关系代数化 本题考查的是基本的向量相等 与向 量的加法 考查学生的空间想象能力 4 已知 且不共面 若 求 28 1 0423pynmxbpnma pnm a b 的值 yx 解 且即 a b 0aba 42328 1 pnmpynmx 又不共面 pnm 8 13 4 2 2 8 3 1 yx yx 点评 空间向量在运算时 注意到如何实施空间向量共线定理 题型 3 空间向量的坐标 5 1 已知两个非零向量 a1 a2 a3 b1 b2 b3 它们平行的充要条件是 ab A B a1 b1 a2 b2 a3 b3aabb C a1b1 a2b2 a3b3 0 D 存在非零实数 k 使 kab 2 已知向量 2 4 x 2 y 2 若 6 则 x y 的值是 abaab A 3 或 1 B 3 或 1 C 3 D 1 3 下列各组向量共面的是 A 1 2 3 3 0 2 4 2 5 abc B 1 0 0 0 1 0 0 0 1 abc C 1 1 0 1 0 1 0 1 1 abc D 1 1 1 1 1 0 1 0 1 abc 解析 1 D 点拨 由共线向量定线易知 2 A 点拨 由题知 0244 36164 2 xy x 3 4 y x 或 1 4 y x 3 A 点拨 由共面向量基本定理可得 点评 空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线 垂直时参数的取值情况 6 已知空间三点 A 2 0 2 B 1 1 2 C 3 0 4 设 AB AC 1 求和的夹角 2 若向量 k 与 k 2互相垂直 求 kababa bab 的值 思维入门指导 本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用 套用公式即可得到所要求 的结果 解 A 2 0 2 B 1 1 2 C 3 0 4 AB AC ab 1 1 0 1 0 2 ab 1 cos 52 001 10 10 ba ba 和的夹角为 10 10 ab 2 k k 1 1 0 1 0 2 k 1 k 2 a b k 2 k 2 k 4 且 k k 2 aba bab k 1 k 2 k 2 k 4 k 1 k 2 k2 8 2k2 k 10 0 则 k 2 5 或 k 2 点拨 第 2 问在解答时也可以按运算律做 k 2 k2 2 k 2a babaab 2 2k2 k 10 0 解得 k 2 5 或 k 2 b 题型 4 数量积 7 1 设向量与的夹角为 a b 3 3 a 1 1 2 ab 则 cos 解 设向量与的夹角为且 则a b 1 1 2 3 3 aba 2 1 b cos 523 9 ba ba 3 10 10 2 设空间两个不同的单位向量a x1 y1 0 b x2 y2 0 与向量c 1 1 1 的夹角都等于4 1 求 x1 y1和 x1y1的值 2 求的大小 其中 0 解析 2 解 1 a b 1 x 2 1 y 2 1 1 x 2 2 y 2 2 1 又 a与c的夹角为4 a c a c cos4 2 2 222 111 2 6 又 a c x1 y1 x1 y1 2 6 另外 x 2 1 y 2 1 x1 y1 2 2x1y1 1 2x1y1 2 6 2 1 2 1 x1y1 4 1 2 cos ba ba x1x2 y1y2 由 1 知 x1 y1 2 6 x1y1 4 1 x1 y1是方程 x2 2 6 x 4 1 0 的解 4 26 4 26 1 1 y x 或 4 26 4 26 1 1 y x 同理可得 4 26 4 26 2 2 y x 或 4 26 4 26 2 2 y x a b 4 26 4 26 12 21 yx yx 或 4 26 4 26 12 21 yx yx cos 4 26 4 26 4 26 4 26 4 1 4 1 2 1 0 3 评述 本题考查向量数量积的运算法则 题型 5 空间向量的应用 8 1 已知 a b c 为正数 且 a b c 1 求证 113 a 113 b 113 c 4 3 2 已知 F F1 i i 2j j 3k k F F2 2i i 3j j k k F F3 3i i 4j j 5k k 若 F F1 F F2 F F3共同作用于同一物体 上 使物体从点 M1 1 2 1 移到点 M2 3 1 2 求物体合力做的功 解析 1 设 113 a 113 b 113 c 1 1 1 mn 则 4 3 mn mnmn 113 a 113 b 113 c 4 3 mnmn 当 113 1 a 113 1 b 113 1 c 时 即 a b c 3 1 时 取 号 2 解 W W F F s s F F1 F F2 F F3 21M M 14 点评 若 x y z a b c 则由 得 ax by cz mnmnmn 2 a2 b2 c2 x2 y2 z2 此式又称为柯西不等式 n 3 本题考查 的应用 abab 解题时要先根据题设条件构造向量 然后结合数量积性质进行运算 空间向量的数量ab P M N C A B Q 积对应做功问题 9 如图 直三棱柱中 求证 111 CBAABC 1111 CABCABBC 11 CAAB 证明 1111 CCCACA 0 2 11111111111 CCBCCACCBCCCCABCCACCBCBC 11 2 1 BCCACC 同理 111111 CBBBBCBBABAB 0 0 1111 2 111 BCCABCABCCBBCCBCABBCAB 又 11 ACCA 0 ACABBC 设为中点 则DBC 2ADACAB 02ADBCADBC 又 ACAB 1111 ABCABBAA 点评 从上述例子可以看出 利用空间向量来解决位置关系问题 要用到空间多边形法 则 向量的运算 数量积以及平行 相等和垂直的条件 10 过 ABC的重心任作一直线分别交AB AC于点D E 若 ADxAB AEyAC 则的值为 0 xy 11 xy A 4 B 3 C 2 D 1 解析 取 ABC 为正三角形易得 3 选 B 11 xy 评析 本题考查向量的有关知识 如果按常规方法就比较难处理 但是用特殊值的思想就比 较容易处理 考查学生灵活处理问题的能力 11 如图 设 P Q 为 ABC 内的两点 且 21 55 APABAC 则 ABP 的面积与 ABQ 的面积之比为 AQ 2 3 AB 1 4 AC A B C D 1 5 4 5 1 4 1 3 如下图 设 则 2 5 AMAB 1 5 ANAC APAMAN 由平行四边形法则 知 NP AB 所以 ABPAN ABCAC 1 5 同理可得 故 选 B 1 4 ABQ ABC 4 5 ABP ABQ 3 是平面内不共线两向量 已知 21 e e 若三点共线 则的值是 212121 3 2 eeCDeeCBekeAB DBA k A 2B C D 3 2 3 A 又 A B D 三点共线 则即 21 2eeCBCDBD ADAB 2 1 k 故选 2 kA 总结点评 本题主要考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运用 要求我们熟记公式 掌握常见变形技巧与方法 12 已知平面向量 1 a3 b 2 3 2 1 1 求 ba 2 设 其中 若 试求函数关系式bxac 3 bxayd 0 xdc 并解不等式 1 xfy 7 xf0 ba 2 由得 dc 0 3 4 xxy 所以 3 4 1 xxy 变形得 解得 7 3 4 1 xx0283 2 xx47 xx或 13 已知a a b b a a与b b之间有关系式 ka a b b a a cos sin cos sin3 kb b 其中k 0 1 用k表示a a b b 2 求a a b b的最小值 并求此时 a a与b b的夹角的大小 由已知 1 ba 3 babakk 2 2 2 3 babakk 1 4 1 k k ba k 0 2 11 2 4 1 k kba 此时 60 2 1 ba 2 1 2 1 cos ba 14 已知 5 AC8 AB DBAD 11 5 0 ABCD 1 求 ACAB 2 设 BAC 且已知 cos x 求 sinx 4 54 x 解 1 由已知 DBADDBDADBAB