安徽省江南十校2019届高三第二次大联考(理科)数学

江南十校江南十校 20192019 届高三第二次大联考届高三第二次大联考 数学 理科 数学 理科 第第 卷 共卷 共 6060 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 个小题个小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 已知 为虚数单位 若复数 则 aR i1zai 2z z A 2 z A B 或 C 或 D 或2i22 3i 22 3i 2i2i 22i 22i 2 已知集合 则是的 ln 1 ln 1 Ax yxx 1 ln 1 x Bx y x xA xB A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 3 下列四个命题中 错误的命题是 A 等比数列的公比为 若 则数列为递增数列 n aq1q n a B 若 则 的逆命题为真 11 ab 0ab C 命题 均有 的否定是 使得 xR 20 x 0 xR 0 20 x D 中 角的对边分别为 则 是 的充要条件ABC A B C a b cab coscosAB 4 已知等差数列的前项和 且 则等于 n an n S nN 55 Sa 84 32SS n a A B C D 25n 39n 412n 42n 5 如图是一个三棱锥的三视图 其正视图 侧视图都是直角三角形 则该三棱锥的外接球的 表面积与体积分别为 A B C D 12 4 3 9 2 9 2 9 9 4 9 9 2 6 已知点 是圆内一点 直线 M a b0a 0b 22 1C xy 1axby 1axby 围成的四边形的面积为 则下列说法正确的是 1axby 1axby S A B C D 4S 4S 4S 4S 7 已知 则的值为 2 2sin 4 1tan cos tan 4 A B C D 2 1 2 2 1 2 8 已知实数满足 则的最大值为 x y 30 20 230 xy xy xy 2zxy A 3 B 4 C 5 D 6 9 如图 四棱锥中 底面为菱形 侧面为等边三角形 分别为PABCD ABCDPAB E F 的中点 给出以下结论 PA BC 平面 平面 BEPFD EFPCD 平面与平面交线为 则 平面PABPCDl CDlBE PAC 则以上结论正确的序号为 A B C D 10 已知实数满足 则函数的最大值为 x 1 2 log1x 1 8 21 yx x A 4 B 8 C 4 D 0 11 如图 已知点为等边三角形的外接圆上一点 点是该三角形内切圆上一点 若PABCQ 则的最大值为 11 APx ABy AC 22 AQx ABy AC 1212 2 2 xxyy A B 2 C D 5 3 7 3 8 3 12 已知定义在上函数 满足 为函数的导函数 且R f x 15 2 22 x x f f x fx f x 无零点 则的值为 yfx 1 1 f xx dx A 0 B 2 C D 5 2 7 2 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 5 分 满分分 满分 2020 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 各项均不为 0 的等差数列满足 等比数列的前项和为 满 n a 2 528 1 0 2 aaa n bn n S 足 且 则的值为 1 2 nnn SSb 75 ba 27 log 8 S 14 已知平面向量满足 则向量在方向上的投影 a b 1b 2 2ab 3 14ab a b 为 15 已知在直角坐标系中 若点满足 的中点为 则xOy 4 0 A 3 0 2 BP1OP PAM 的最大值为 BM 16 若 满足恒成立 则实数的取值范围为 xe 3 2ln0 m x xxme m 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知平面向量 cos 3sin 22 xx a 1 1 b 0 2 x 1 若 求的值 ab x 2 若 求函数的最大值和最小值及相应的值 f xa b f xx 18 已知函数 2 21 lnf xaxaxx 1 当时 求函数的极值 1 2 a f x 2 讨论函数的单调性 f x 19 已知是数列的前项和 对 都有 n S n an 1 1a 2 3a nN 1n 成立 11 21 nnn SSSn 1 求 n a 2 若 求数列的前项和 1 2 n n b a n bn n T 20 如图 已知四边形中 对角线 为等边三角形 ABCD6BD 2 3 BAD BCD 1 求面积的最大值 ABD 2 当的面积最大时 将四边形沿折起成直二面角 在上是ABD ABCDBDABDC CD 否存在点使直线与平面所成的角满足 若不存在 说明理由 MAMABD 70 cos 10 若存在 指出点的位置 M 21 已知椭圆 为其短轴的一个端点 分别为其左右两个焦 22 22 1 0 xy Cab ab B 21 F F 点 已知三角形的面积为 且 12 BFF2 12 1 cos 3 FBF 1 求椭圆的方程 C 2 若动直线与椭圆交于 为线段的中 2 2 0 3 l ykxm mk C 1122 P x yQ xyMPQ 点 且 求的最大值 22 12 3xx OMPQA 22 已知函数 2 1 1 x f xxaxexR A 1 讨论函数的单调性 f x 2 若函数 在其定义域上有且只有两个零点 求的取值 0 1 0 1 x ea x g x f xx 1 a 范围 试卷答案试卷答案 一 选择题一 选择题 1 5 CAAAD 6 10 ABDCD 11 12 CB 1 C 解析 由已知得 或 1 故 故选 C 2 121aa 2 12zizi 2 A 解析 依题意 故选 A 1 A 1 1 B AB 3 A 解析 A 错 B C D 为真 故选 A 4 A 解析 由已知条件得 故 故选 A 1 3a 2d 25 n an 5 D 解析 该三棱锥的外接球即长方体的外接球由已知 长方体的三条棱长为 2 1 2 故可 得表面积为 体积为 故选 D 9 9 2 6 A 解析 由已知 四条直线围成的四边形面积 故选 A 22 1ab 22 44 4 2 S abab 7 B 解析 由 故 故选 B 2 2sin 4 1tantan3 cos 3 1 tan 2 41 3 8 D 解析 画出可行域如图 其中 故当时 3 0 A 1 2 B 1 2 C 3 0 xy 故选 D max 6z 9 C 解析 取中点 易知 故 正确 得平PDM BEFM EFCM CDAB CD 面 故 正确 显然不正确 故选 C PAB CDl 10 D 解析 由 1 2 log1x 1 01210 2 xx 当且仅当上式 111 84 21 4 4 1 2 4440 21211 2 yxxx xxx 1 4 x 取等号 故选 D 11 C 解析 如图 取中点 交外接圆于 交内切圆于 此时为外接圆劣BCMAMPQP 弧的中点 取得最大 为内切圆劣弧的中点 取得最小 记的BC 11 xy QDE 22 xy 11 xy 最大值为 的最小值为 而 22 xy 4 3 AP AM 1 3 AQ AM 故的最大值为 故选 C 12121122 2 2 2 xxyyxyxy 417 22 333 12 B 解析 无零点 故函数为单调函数 由知 yfx f x 15 2 22 x x f f x 为常数 设 则可得 且 1 2 2 x x f x 1 2 2 x x f xt 1 2 2 x x f xt 5 2 f t 故 15 21 22 t t tt 1 21 2 x x f x 11 11 1 21 2 x x f xx dxxdx 注意 为奇函数 故选 B 11 11 1 2 12 2 x x x dxdx 1 2 2 x x x 二 填空题二 填空题 13 4 解析 由 故 而由 得 2 528 1 0 2 aaa 2 55 4aa 5 4a 7 4b 1 2 nnn SSb 故成等比数列 公比为 1 2 nn bb 761 b bb 1 2 7 7 4 7 1 1 2 82 1 1 2 b S 27 log 8 4S 故答案为 4 14 解析 由已知 又 故向量在方 1 2 2 40aa b A 2 65aa b A 1 2 a b A 1b a b 向上的投影为 故答案为 1 2 a b b A 1 2 15 3 解析 由 则点轨迹为 设 则 4 0 A 3 0 2 B1OP P 22 1xy M x y 的轨迹为圆 半径为 故 22 24 2 24 2 1Pxyxy 22 1 2 4 xy M 2 0 D 1 2 的最大值为 故答案为 3 BM 151 3 222 BD 16 解析 1 显然成立 2 时 由 2 e 0m 0m 3 2ln0 m x xxme 由在为增 2 2ln m x m xxe x 2ln 2ln m x x m x ee x x f xxe e 在恒成立 由在为增 2ln m x x 2 lnmxx e 2 lng xxx e min 2g xe 综上 故答案为 02me 2me 2 e 三 解答题三 解答题 17 解 1 由 ab cos 3sin 22 xx a 1 1 b 可得 cos3sin 22 xx 3 tan 23 x 由 故 0 2 x 0 2 x 55 263 x x 2 cos3sin 22 xx f xa b A2cos 23 x 由 0 2 x 4 2333 x 得 1 cos 1 232 x 当 即时 233 x 0 x max 1f x 当 即时 23 x 4 3 x min 2f x 18 1 当时 1 2 a 2 1 ln 0 2 f xxx x 1 1 1 xx fxx xx 故当时 为减函数 0 1 x 0fx f x 当时 为增函数 1 x 0fx f x 时 无极大值 1x 1 1 2 f xf 极小值 2 由 2 21 ln 0 f xaxaxx x 可得 2 2 21 1 1 21 axaxxax fx xx 当时 在为减函数 0a 0fx f x 0 当时 时 故在为减函数 时 0a 1 0 2 x a 0fx f x 1 0 2a 1 2 x a 故在为增函数 0fx f x 1 2a 19 1 由 1 1a 2 3a 11 21 nnn SSSn 可得 3 4111a 3 6a 当时 3n 11 21 21 21 1 nnn nnn SSSn SSSn 11 21 nnn aaa 即 而 11 1 3 nnnn aaaan 3221 1aaaa 故 1 2 n n n a 2 由已知 1111 2 1 1 n n b an nnn 由列项相消法得 1 1 11 n n T nn 20 1 在中 记 ABD ABm ADn 则由余弦定理 22 363mnmnmn 12mn 当且仅当时 上式取等号 2 3mn 此时 123 sin3 3 234 ABD Smnmn 的面积的最大值为 ABD 3 3 2 由 1 知 2 3ABAD 6BD 设存在 在三棱锥中 取的中点 MABCD BDO 连接 易知 OA3OA 作于 MEBD E 由平面平面平面 ABD BCDME ABD 故在平面上的投影为 AMABDAE 与平面所成的角为 AMABDMAE 由 70 cos 10 3 tan 7 ME AE 设 得 DM 3 2 MEa 2 312 4 a AEa 故 2 280aa 2a 故存在 且 满足题意 M2DM 2 另解 由 1 2 3ABAD 6BD 设存在 则在三棱锥中 取的中点 连接 易求 MABCD BDO OA OC3OA 以为坐标原点 为轴 为轴 为轴建立空间直角坐标系 OOCxODyOAz 平面的法向量为 ABD 1 0 0 n 设 得 得 DMa 3 2 MEa 3 3 0 22 a Ma 又 0 0 3 A 3 3 3 22 a AMa 由sin cos AM n 2 3 2 1312 a aa 2 3 2312 a aa 30 10 2 2802aaa 故存在 且 满足题意 M2DM 21 1 由 22 12 2 241 cos 23 ac FBF a 2 2 1 3 c a 22 3ac 22 2bc 12 1 cos 3 FBF 12 2 2 sin 3 FBF 结合 12 2 12 2 2 23 F BF Sa A 2 3a 2 2b 故椭圆的方程为 C 22 1 32 xy 另解 依题意 12 1 22 2 F BF Scbbc 2 12 12 1 cos2cos1 23 FBF FBF 2 2 2 3 b a 解得 2 3a 2 2b 故椭圆的方程为 C 22 1 32 xy 2 联立 22 236 ykxm xy 222 32 6360kxkmxm 22 24 32 0km 22 32km 且 12 2 6 32 km xx k 2 12 2 36 32 m x x k 依题意 22 12 3xx 2 1212 23xxx x 22 222 6 6 2 3 32 32 kmm kk 化简得 22 322km 2 32k 设 由 00 M xy 22 11 22 22 236 236 xy xy 2222 012 1212 120 2 2 3 3 xyy xxyyk xxy 又 00 ykxm 解得 31 2 k M m m 22 2 22 9431 42 km OM mm 222 12 1 PQkxx 222 2 222 24 32 2 21 1 32 kmm k km 22 22 1125 3 2 4 OMPQ mm 5 2 OMPQ A 当且仅当 即时 的最大值为 22 11 32 mm 2m OMPQA 5 2 22 1 由 2 1 1 x f xxaxe AxR