导数与函数、不等式综合问题

第 1 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 年年 级级高三学学 科科数学编稿老师编稿老师刘震 课程标题课程标题导数与函数 不等式综合问题 一校一校林卉二校二校黄楠审核审核王百玲 一 考点突破一 考点突破 函数与不等式解答题是高考命题的重要题型 解答这类题需要用到导数的相关知识 其命题热点经常是与导数知识的综合考查 出现频率较高的题型是最值 范围问题 单调 性或方程根的讨论等综合问题 二 重难点提示二 重难点提示 重点 导数的定义和几何意义 和差积商的导数 复合函数的导数 难点 导数与函数单调性 极值 最值的关系 利用导数解决不等式 函数零点等问 题 一 知识脉络图一 知识脉络图 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义 物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 二 知识点拨二 知识点拨 1 导数的定义 0 00000 0 00 0 2 limlimlim 2 xxxx f xxf xf xf xf xxf x fx xxxx 2 导数的几何意义 1 函数 yf x 在点 0 x处的导数 0 fx 就是曲线 yf x 在点 00 P xy处的 第 2 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 切线的斜率 2 函数 ss t 在点 0 t处的导数 就是物体的运动方程 ss t 在时刻 0 t时 0 t s 的瞬时速度 3 要熟记求导公式 导数的运算法则 复合函数的导数等 尤其注意 1 log log xe aa x 和 ln xx aaa 4 求函数单调区间的步骤 1 确定 f x 的定义域 2 求 f x 的导数 3 令 y 0 y 0 时 f x 在相应区间上是增函 数 当 y f x 或 m0 令 F x xf x 讨论 F x 在内的单调性并求极值 0 求证 当 x 1 时 恒有 x ln2x 2a ln x 1 2 已知二次函数 xgy 的导函数的图像与直线2yx 平行 且 xgy 在x 1 处取得最小值 m 1 m0 设函数 x xg xf 1 若曲线 xfy 上的点 P 到点 Q 0 2 的距离的最小值为2 求 m 的值 2 Rkk 如何取值时 函数kxxfy 存在零点 并求出零点 3 已知是函数的一个极值点 3x 2 ln 1 10f xaxxx 求 a 求函数的单调区间 f x 若直线与函数的图像有 3 个交点 求的取值范围 yb yf x b 第 8 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 第 9 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 一 选择题 1 D 因为为定义在 R 上的奇函数 所以有 解得 所以f x 0 f 0 2 2 0 b 0 b 1 当时 即 故选 Dx0 x f x 2 2x 1f 1 f 1 1 2 2 1 1 3 2 A 由题意得 所求封闭图形的面积为 故选 A 123 0 x x dx 111 1 1 3412 3 B 因为 所以选 B 1 1 230f 0 0 2010f 4 A 所以 故切线方程为 2 2 2 y x 1 2 x ky 21yx 5 A 二 解答题 1 解 根据求导法则有 2ln2 10 xa fxx xx 故 2ln20F xxfxxxax 于是 22 10 x F xx xx 列表如下 x 0 2 2 2 F x 0 F x 极小值 2 F 故知 F x在 0 2 内是减函数 在 2 内是增函数 所以 在2x 处取得极小 值 2 22ln22Fa 证明 由0a 知 F x的极小值 2 22ln220Fa 于是由上表知 对一切 0 x 恒有 0F xxfx 从而当0 x 时 恒有 0fx 故 f x在 0 内单调增加 所以当1x 时 1 0f xf 即 2 1 ln2 ln0 xxax 故当1x 时 恒有 2 ln2 ln1xxax 2 解 1 设 2 g xaxbxc 则 2gxaxb 又 gx 的图像与直线2yx 平行 22a 1a 又 g x在1x 处取得极小值 1 2 b 2b 11 21gabccm cm 2 g xm f xx xx 设 00 yxP 第 10 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 则 2 22 22 0000 0 2 m PQxyxx x 2 22 0 2 0 222 22 m xm x 2 2 224m 2 2 m 2 由 120 m yf xkxk x x 得 2 120k xxm 当1k 时 方程 有一解 2 m x 函数 yf xkx 有一零点 2 m x 当1k 时 方程 有两解 4410mk 若0m 1 1k m 函数 yf xkx 有两个零点 2441111 2 11 mkmk x kk 若0m 1 1k m 函数 yf xkx 有两个零点 2441111 2 11 mkmk x kk 当1k 时 方程 有一解 4410mk 1 1k m 函数 yf xkx 有一零点 1 1 x k 3 解 因为 210 1 a fxx x 所以 因此 3 6 100 4 a f 16a 当时 16a 2 243 23116 210 111 xx xx fxx xxx 由此可知 当时 单调递减 当时 单调递增 所以 1 3x f x 3 x f x 当时 是函数的一个极值点 16a 3x 2 ln 1 10f xaxxx 于是 16a 由 知 2 16ln 1 10f xxxx 1 x 231 1 xx fx x 当时 11 3 x 0fx 当时 13 x 0fx 所以的单调增区间是 的单调减区间是 f x 11 3 f x 13 与的图象有个交点 等价于有个实数根 即yb yfx 3 f xb 3 有个实数根 此时 函数的图象与轴有个不同交点 0f xb 3 f xb x3 令 2 16ln 110 xf xbxxxb 第 11 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 则 21316 210 11 xx xx xx 1x 令 解得或 随的变化情况列表如下 0 x 1x 3x x x x 为极大值 为极小值 1 3 由表可得的示意图 yx 为使的图象与轴有