2011年高二数学 《平面向量概念及运算》教案 沪教版

教师 学生 时间 年 月 日 1 授课内容 向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示及其运算 2 目的与考点分析 3 授课内容 1 知识点回顾 2 典型题型分析讲解 一一 情境引入情境引入 上海市莘庄中学的健美操队四名队员 A B C D 在一个长 10 米 宽 8 米的矩形表演 区域 EFGH 内进行健美操表演 1 若在某时刻 四名队员 A B C D 保持如图 1 所示的平行四边形队形 队员 1 t A 位于点 F 处 队员 B 在边 FG 上距 F 点 3 米处 队员 D 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 5 米处 你能确定此时队员 C 的位置吗 E F G HH G F E 图 2 图 1 8 m 1 0 m D C B A D C BA 1 0 m 8 m 说明说明 此时队员 C 在位于距 EF 边 5 米距 FG 边 5 米处 这个图形比较特殊 学生很快 就会得到答案 这时教师引入第二个问题 2 若在某时刻 四名队员 A B C D 保持如图 2 所示的平行四边形队形 队员 2 t A 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 1 米处 队员 B 在距 EF 边 6 米距 FG 边 3 米处 队员 D 位于距 EF 边 4 米距 FG 边 5 米处 你能确定此时队员 C 的位置吗 说明说明 不要求学生写出结果 只引导学生思考 这个图形更为一般一些 学生解决的 可能不是很顺 这时 教师就可以说 这一节我们就来学习一个新的内容 向量的坐标表 示及其运算 学习了这个内容之后 同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以 解决这个问题了 引起学生学习的兴趣与探究的欲望 二 学习新课二 学习新课 1 1 向量的正交分解向量的正交分解 我们称在平面直角坐标系中 方向与 x 轴和 y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫 做基本单位向量基本单位向量 分别记为 如图 称以原点 O 为起点的向量为位置向量位置向量 如下图左 i j 即为一个位置向量 OA 思考思考 1 1 对于任一位置向量 我们能用基本单位向量来表示它吗 OA i j 如上图右 设如果点 A 的坐标为 它在小 x 轴 y 轴上的投影分别为 M N 那 x y 么向量能用向量与来表示吗 依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON 与能用基本单位向量来表示吗 依向量与实数相OAOMON OM ON i j 乘的几何意义可得 于是可得 OMxi ONy j OAOMONxiy j 由上面这个式子 我们可以看到 平面直角坐标系内的任一位置向量都能表示成OA 两个相互垂直的基本单位向量的线性组合 这种向量的表示方法我们称为向量的正交 i j 分解 2 2 向量的坐标表示向量的坐标表示 思考思考 2 2 对于平面直角坐标系内的任意一个向量 我们都能将它正交分解为基本单a 位向量的线性组合吗 如下图左 i j 显然 如上图右 我们一定能够以原点 O 为起点作一位置向量 使 于OA OAa 是 可知 在平面直角坐标系内 任意一个向量都存在一个与它相等的位置向量 a OA 由于这一点 我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现 由于任意一个 位置向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合 所以平面内任意的一个向量 i j 都可以正交分解为基本单位向量的线性组合 即 a i j a OA xiy j 上式中基本单位向量前面的系数 x y 是与向量相等的位置向量的终点 A 的 i j a OA 坐标 由于基本单位向量是固定不可变的 为了简便 通常我们将系数 x y 抽取出来 i j 得到有序实数对 x y 可知有序实数对 x y 与向量的位置向量是一一对应的 a OA 因而可用有序实数对 x y 表示向量 并称 x y 为向量的坐标 记作 a a x y a 说明说明 x y 不仅是向量的坐标 而且也是与相等的位置向量的终点 A 的a a OA 坐标 当将向量的起点置于坐标原点时 其终点 A 的坐标是唯一的 所以向量的坐标a a 也是唯一的 这样 我们就将点与向量 向量与坐标统一起来 使复杂问题简单化 显然 依上面的表示法 我们有 1 0 0 1 0 0 0 ij 例例 1 1 课本例题 如图 写出向量的坐标 a b c 解 解 由图知 1 2a 与向量相等的位置向量为 b OA 可知 1 2bOA 与向量相等的位置向量为 c OB 可知 1 2cOB 说明说明 对于位置向量 它的终点的坐标就是向量的坐标 对于起点不在原点的向a 量 我们是通过先找到与它相等的位置向量 再利用位置向量的坐标得到它们的坐标 b c 那么 有没有不通过位置向量 直接就写出任意向量的坐标的方法呢 答案是肯定的 而 且很简便 但我们需几分钟后再来解决这个问题 让我们先学习向量坐标表示的运算 3 3 向量的坐标表示的运算向量的坐标表示的运算 我们学过向量的运算 知道向量有加法 减法 实数与向量的乘法等运算 那么 在 学习了向量的坐标表示以后 我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢 设是一个实数 1122 ax ybxy 由于 1111 ax yx iy j 2222 bxyx iy j 所以 1122 abx yxy 1122 x iy jx iy j 1212 1212 1212 x ix iy jy j xxiyyj xxyy 11111111 ax yx iy jx iy jxy 于是有 1122 x yxy 1212 xxyy 1111 x yxy 说明说明 上面第一个式子用语言可表述为 两个向量的和 差 的横坐标等于它们对应的 横坐标的和 差 两个向量的和 差 的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和 差 可笼统 地简称为 两个向量和 差 的坐标等于对应坐标的和 差 同样 第二个式子用语言可表述为 数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的 积 数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积 也可笼统地简称为 数与向量积 的坐标等于数与向量对应坐标的积 4 4 应用与深化应用与深化 下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量 如何直接写出任意向量的坐标的问题 例例 2 2 如下图左 设 是平面直角坐标系内的任意两点 如何 11 P x y 22 Q xy 用 P Q 的坐标来表示向量 PQ 解 解 如上图右 向量PQOQOP 2211 2121 xyx y xx yy 从而有 2121 PQxx yy 说明说明 上面这个式子告诉我们 平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的 横坐标与它起点的横坐标的差 纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差 可 简称为 任意向量坐标 终点坐标 起点坐标 例例 3 3 课本例题 如图 平面上 A B C 三点的坐标 分别为 2 1 3 2 1 3 1 写出向量的坐标 AC BC 2 如果四边形 ABCD 是平行四边形 求 D 的坐标 解 解 1 12 3 13 2AC 13 322 1BC 2 在上图中 因为四边形 ABCD 是平行四边形 所以DCAB 设点 D 的坐标为 于是有 DD xy 1 3 DD xyAB 又 32 215 1AB 故 1 35 1 DD xy 由此可得 解得 15 31 D D x y 4 2 D D x y 因此点 D 的坐标为 4 2 练习 练习 1 请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻 健 2 t 美操队员 C 的位置问题 即 在某时刻 四名队员 A B C D 保持如图所示的平行四边 2 t 形队形 如下图左 队员 A 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 1 米处 队员 B 在距 EF 边 6 米距 FG 边 3 米处 队员 D 位于距 EF 边 4 米距 FG 边 5 米处 你能确定此时队员 C 的位置吗 D C 1 3 A 2 1 B 3 2 y xO E F G H D C B A 1 0 m 8 m y x O F A 2 1 B 6 3 C D 4 5 H G E 解 解 以点 F 为坐标原点 以边 FG 为 x 轴 以边 FE 为 y 轴 建立如上图右所示直角坐 标系 则依题意有 A 2 1 B 6 3 D 4 5 设 C x y 则由 ABCD 是平行四边形可得 4 2 2 4 6 6 ACABAD 又 2 1 2 1 ACx yxy 故 2 1 6 6 xy 于是 x 8 y 7 即 C 8 7 答 队员 C 位于距 EF 边 8 米 距 FG 边 7 米处 2 在某时刻 四名队员 A B C D 保持平行四边形队形 已知队员 A 位于距 EF 3 t 边 2 米距 FG 边 1 米处 队员 B 在距 EF 边 6 米距 FG 边 3 米处 队员 C 位于如下图左所示的 矩形阴影部分区域内 包括边界 某一位置 你能确定此时队员 D 可能的位置区域吗 4 m 5 m 8 m 1 0 m A B C D H G F E B 6 3 A 2 1 O E FG H D C 1 0 m 8 m 5 m 4 m y x 解 解 以点 F 为坐标原点 以边 FG 为 x 轴 以边 FE 为 y 轴 建立如上图右所示直角坐 标系 依题意有 A 2 1 B 6 3 设 D x y 则由 ABCD 是平行四边形可得 又 D x y 所以可得 C x 4 y 2 4 2 DCAB 由题意 541016 42826 xx yy 于是可得队员 D 可能的位置区域如图所示阴影部分 除去点 B 6 2 61 y x O F A B C D H G E 例例 4 4 已知向量与 求的坐标 4 1a 5 2b 23ab 解 因为 28 2a 315 6b 所以 23815 2623 4ab 三 巩固练习三 巩固练习 1 如图 写出向量的坐标 a b c 2 已知 若其终点坐标是 2 1 则其起 1 2 a 点的坐标是 若其起点坐标是 2 1 则其终 点的坐标是 3 已知向量与 求 2 3a 1 5b 及的坐标 3ab 3ba 解 1 由题意 2 1 1 1 2 11 121 1 1 1 2abc 2 设起点的坐标是 x y 则 2 1 x y 1 2 解得 x y 3