导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法

导数切线及含参问题讨论 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一 函数 y f x 在点 x 处的导数的几何意义是曲 0 线 y f x 在点 p x f x 处的切线的斜率 也就是说 曲线 y f x 在点 00 p x f x 处的切线的斜率是 f x 相应地 切线方程为 y y f x 00000 x x 0 切线问题分类及解法 题型一 已知切点 求曲线的切线方程题型一 已知切点 求曲线的切线方程 此类题较为简单 只须求出曲线的导数 并代入点斜式方程即可 fx 曲线在点处的切线方程为 32 31yxx 11 34yx 32yx 43yx 45yx 题型二 已知斜率 求曲线的切线方程题型二 已知斜率 求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点 再用点斜式方程加以解决 与直线的平行的抛物线的切线方程是 240 xy 2 yx 230 xy 230 xy 210 xy 210 xy 题型三 已知过曲线上一点 求切线方程题型三 已知过曲线上一点 求切线方程 过曲线上一点的切线 该点未必是切点 故应先设切点 再求切点 待定切点法 求过曲线上的点 1 1 的切线方程 xxy2 3 题型四 已知过曲线外一点 求切线方程题型四 已知过曲线外一点 求切线方程 此类题可先设切点 再求切点 即用待定切点法来求解 求过点且与曲线相切的直线方程 2 0 1 y x 变式 1 已知函数的图象在点处的切线方程是 则 yf x 1 1 Mf 1 2 2 yx 1 1 f f 变式 2 导数含参问题讨论导数含参问题讨论 题型一 求导后 考虑函数为零是否有实根 进行分类讨论 题型一 求导后 考虑函数为零是否有实根 进行分类讨论 1 讨论 讨论 函数函数 F x 的单调性 的单调性 2 设设 a 0 讨论函数讨论函数的单调性的单调性xaxaaxxf 1 2 1 ln 2 3 已知函数已知函数求单调区间求单调区间axxxf ln 4 已知函数已知函数 求单调区间 求单调区间xaxxf 2 2 1 题型二 求导后 不知道导数为零的根是否落在定义域内 进行分类讨论 题型二 求导后 不知道导数为零的根是否落在定义域内 进行分类讨论 用导数解决函数问题若求导后 研究函数的导数问题时能转化为研究二次函数问题时 二 次项的系数含参数按系数大于零 等于零 小于零分类 再按在二次项的系数不等于零时 对判别式按 0 0 0 在 0 时 求导函数的零点再根据零点是否在在定义 域内进行套论 若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论 1 设函数设函数 求其单调区间 求其单调区间 2 2 ln 1 x a xaxf 2 已知已知 a 是实数 函数是实数 函数 axxxf 1 求单调区间 求单调区间 2 设 设 g a 为 为 f x 在区间 在区间 0 2 上的最小值 上的最小值 写出写出 g a 表达式 表达式 求求 a 的取值范围 使的取值范围 使2 6 ag 3 已知函数已知函数 求单调区间 求单调区间xaxx a xf 1 2 1 3 23 题型三 题型三 求导后 导数为零的根有参数且落在定义域内 但不知实根大小关系求导后 导数为零的根有参数且落在定义域内 但不知实根大小关系 进行分类讨论 进行分类讨论 用导数解决函数问题若求导后 研究函数的导数问题时能转化为研究二次函数问题时 二 次项的系数含参数按系数大于零 等于零 小于零分类 再按在二次项的系数不等于零时 对判别式按 0 0 0 在 0 时 求导函数的零点再根据零点是否在在定义 域内进行套论 若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论 1 求单调区间 求单调区间axxaxxf2 2 2 1 3 1 23 2 当 当时 求单调区间时 求单调区间 1 12 2 2 Rx x aax xf 0 a 题型四 题型四 求参数的范围时由于不能分离出参数而引起的对参数进行的讨论求参数的范围时由于不能分离出参数而引起的对参数进行的讨论 1 已知已知 当 当 a 0 时 时 恒成立 求实数恒成立 求实数 axaaxxxf 223 96 axfx 3 0 有 的取值范围的取值范围 2 设函数设函数 求极值点 求极值点 1ln 2 xbxxf 3 3 已知函数已知函数 32 1f xxaxxaR 1 讨论 讨论的单调区间 的单调区间 f x 2 2 若函数 若函数在区间在区间内单调递减 求内单调递减 求的取值范围 的取值范围 f x 21 33 a 题型五 结合函数的图像与性质求参数的取值范围题型五 结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题问题 1 设设a为实数 函数为实数 函数 32 f xxxxa 1 求 求 f x的极值 的极值 2 当 当a在什么范围内取值时 曲线在什么范围内取值时 曲线 yf x 与与x轴仅有一个交点 轴仅有一个交点 2 已知函数已知函数 432 19 42 f xxxxcx 有三个极值点 证明 有三个极值点 证明 275c 解题方法 解题方法 结合函数图像求解参数问题 题目中一般出现零点 根 等关键 21 xfxf和 词 利用二次函数图像或数轴穿根的方法 将利用导数所求的极值点标在图像上 根据题 意求解问题 题型六 题型六 导数解决不等式问题导数解决不等式问题 1 1 对于函数对于函数 322 0 32 ab f xxxa x a 1 若函数 若函数 f x在在2x 处的切线方程为处的切线方程为720yx 求求 a b的值 的值 2 设 设 12 x x是函数是函数 xf的两个极值点的两个极值点 且且 12 2xx 证明 证明 4 3 9 b 2 函数函数 f x 解不等式解不等式 f x 1 2 x1ax a0 3 已知函数已知函数 对对 f x 定义域内任意的定义域内任意的 x 的值 的值 f x 27 恒恒 a 9 f x x aR x 成立 求成立 求 a 的取值范围的取值范围 解题方法 解题方法 题中出现不等式符号时 一般利用不等式构造函数方程 将所含参数代数式移 到不等式一侧 构造函数方程并求导 利用极大值大于最大值 极小值小于最小值解题 题型题型七 已知区间单调或不单调 求解参变量的范围七 已知区间单调或不单调 求解参变量的范围 1 1 设函数设函数 0 kx f xxek 1 1 求曲线求曲线在点在点处的切线方程 处的切线方程 yf x 0 0f 2 2 求函数 求函数的单调区间的单调区间 f x 3 3 若函数 若函数在区间在区间内单调递增 求内单调递增 求的取值范围 的取值范围 f x 1 1 k 2 已知函数已知函数 32 1f xxaxxaR 1 讨论 讨论的单调区间 的单调区间 f x 2 2 若函数 若函数在区间在区间内单调递减 求内单调递减 求的取值范围 的取值范围