中北大学概率统计练习册答案

概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 1 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1 1 3 4 18 4 6 18 A 2 正 反 正 正 反 正 反 反 正 反 正 正 B 2 1 表示三门炮中至少有一门炮击中目标 2 表示三门炮中至少有两门炮击中目标 3 表示三门炮都击不中目标 4 表示三门炮中至少有一门击不中目标 或表示三门炮中至多有两门炮击中目标 5 ABCABCABC 6 ABCABCABC 7 ABC 8 ABC 3 1 1 8 2 1 6 3 7 24 4 3 4 4 m n 5 1 2 0 005390 03795 6 122114 6252212 PC C C C CC 33 16 2 33 17 7 854 1 999 nnn nnn 8 17 25 9 0 25 10 1 0 2 2 0 4 3 0 8 4 0 7 11 1 0 85 2 0 941 12 17 80 13 或 2 112 m mMmm C C CC 2 22 m MMm C CC 14 1 2 3 2 2 pp 2 1 p p 2 3 22 pp 15 1 2 5 12 8 25 16 0 042 0 023 17 设 甲机床需要看管 乙A B 机床需要看管 丙机床需要看管 C 相互独立 ABC 1 0 003 2 0 388 18 独立 19 0 994 20 1 D 2 D 3 C 4 B 21 提示 先求出击不沉的概率 1283 1296 22 1500 1 0 9980 95 第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 2 1 X0123 p 1 32 94 278 27 2 1 2 1 7 C 6 7 3 1 0 1 1 3 14 1 2 46 5 6 610 1 10 x x F xx x x 2 26 PX 1 2 4 P X 1 3 15 PX 1 2 4 1 11 1 1 2 3 kk P Xkqpppk 2 1 1 1 rrk r k P XkCp qkr r 3 21 11 11 2 0 45 0 55 31 k kk P Xk 5 1 4k 2 0 8 0 1296P X 6 1 1A 2 1 3 3 01 1 arcsin 11 2 11 x F xxx x 7 1 2 1 1 0 xe f xx else ln52ln2 8 1 80816 0 20 30 10 4 2 125 0 30 30 4 9 1 2 11 1 2 0 Y y yfy 他他 2 Y fy 1 01 2 0 y y 他他 10 1 在放回抽样的情况下 的联合分布列为 X Y 01 0 2 2 a ab 2 ab ab 12 ab ab 2 2 b ab 随机变量的边缘分布律为 X X01 p a ab b ab 随机变量的边缘分布律为 Y X01 Y X 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 3 p a ab b ab 与是相互独立的XY 2 在不放回抽样的情况下 的联合分布列为 X Y 01 0 1 1 a a ab ab 1 ab ab ab 1 1 ab ab ab 1 1 b b ab ab 随机变量的边缘分布律为 X X01 p a ab b ab 随机变量的边缘分布律为 Y X01 p a ab b ab 因为 0 0 0 0 P XYP XP Y 所以与是不独立的 XY 11 1234 1 1 4000 2 1 81 800 3 1 121 121 120 4 1 161 161 161 16 12 1 1 8 k 2 3 8 3 27 32 4 2 3 13 1 6A 2 22 1 1 0 0 0 xy eexy F x y 其它 3 2 2 0 0 0 x X ex fx x 2 3 0 0 0 y Y ey fy y 4 6 1 70 983e 14 X 2 01 0 xx fx 其它 1 10 1 01 0 Y yy fyyy 其它 15 1 2 11 24 ab 13 128 ab 16 1 01 1 1 0 z z Z ez fzeez 其它 17 01 0 250 75 Y X Y X 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 4 18 2 040PP XY 4 1 4 3 4 12 l l l l 第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1 易知的分布列为X X4810 p 0 10 20 7 所以 9E X 3 4D X 2 1 1 1 N n n 3 1212 2 1 1 P Xp ppp 3 P X 21112 1 1 p pp p p 4 P X 112 1 1 p pp 则 E X 112 2 1 2 ppp 4 2 1 1 p pp 5 0E X 2D X 6 7 4k 3a 8 1 1 2 c 2 1 11 4 Px 3 4 3 E X 4 2 9 D X 9 1 5212EX 2 25 20DX 10 1 0E Y 2 1D Y 11 9 8 12 1 9 6 2 14 1 13 2 YX 14 1 2 3 E X 1 3 E Y 2 1 18 D X 1 18 D Y 3 1 cov 36 X Y 1 2 XY 4 E XY 1 4 22 E XY 2 3 15 设进货量为 a 利润为 Y 则 500300 30 500100 10 aXaXa Y XaXXa 10 1 500100 20 a E Yxaxdx 30 1 500300 9280 20 a aXadx 最少为 21 2 3026 3 aa 16 1 2 3 2 1 3 18 2 1 3 18 d 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 5 D X 17 1 1 2 P X 1 1 2 2 3 P X 1 2 1 3 2 3 4 P X 1 2 31111 2 3 411 k P Xk kkk k 11 111 11 kk E Xk k kk 故的数学期望不存在 X 第四章第四章 几类重要的概率分布几类重要的概率分布 1 设表示提出正确意见的顾问人数 X 则 3 0 8 XB 2 2 3 P XP XP X 0 896 2 设表示同时开动机床数的台数 X 则 2 5 3 XB 1 80 4 243 P X 2 2 P X 17 81 3 210 5 33 E Xnp 4 1010 93 D X 3 0 95957 4 1 4 则 4E X 2 4 8 2 0 1465P X e 5 16a 6 1 10 0 5P X 2 010 0 3PX 3 0 2 0 P X 7 1 2E Z 97D Z 27 97 X Z 2 2 4Cov X Y 2E Z D Z82 6 8 最多装 39 袋水泥 9 1 3 1 0 2231 e 2 9 1 0 0111 e 10 1 0 2 P X 0 4 2 0E X 11 1 1 01 03 3 0 xy f x y 其他 2 P XY 5 6 3 V U 01 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 6 05 60 11 121 12 U V0 1 2 p5 6 1 12 1 12 第五章第五章 基本极限定理基本极限定理 1 2 2 3 12 122 4 设表示晚间同时去图书馆上自习的人X 数 650750 PX 0 916 5 设表示掷次铜币正面出现的次数 n n 则 0 40 6 n P n 0 9 250n 6 0 6826 7 1 0 5436 2 0 98169 8 1 0 1802 2 最多只能有 443 个 9 0 7062 10 1 0 0003 2 0 5 11 因服从参数为 的指数分布 故 i X 111 lim nnn iii n iii PXE XD Xx 1 lim n i n i PXnnx x 第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布 1 1 1121 nn P Xx XxXx 11 1 nn ii ii xnx pp 2 1 1 1 0 1 n kkk in i PXkC ppkn 3 E Xp 1 pp D X n 2 1 E Spp 2 样本均值 13 42 xmm 样本方差 22 0 01221 smm 2 2 0 01215 Bmm 3 1 2 3 40 n1537 n 255 n 4 证 略 5 0 9544 6 1 1 pp E Xp D X n 2 2 1 E Spp 7 提示 1 2 0 1 1 n XX UN n n 2 22 2 1 1 nS n 8 1 2 3 2 2 n 1 2 nnF 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 7 4 5 nt 2 t 9 DAC 10 12 10 932 62 082 11 2 706 2 n 12 11 2 20100 ab 13 1 21 2 01 0 n Z nzz fz 他他 2 1210 1 min 2 PXXX 1210 111 222 P XXX 第七章第七章 参数估计参数估计 1 1147x 22 s 7578 9 2 1 3 2 X 5 8 2 53 2 1 L 5 8 3 1 1 X 2 1 1 n i i nXX 4 无偏估计 22 1 1 n i i X n 5 443 5 448 5 6 68 2 71 8 7 12 49 118 34 8 1 1 221 191245 220 6 x 2 22 s 662 4 3 193 0 247 0 4 258 1 3985 6 9 1 0 3545 2 5545 2 0 1767 1 6136 10 1 的极大似然估计量为 12 min n XXX 的概率密度函数为 12 min n XXX 0 n z Z nez fz z E 1 n 1 E 2 的矩估计量为 2 1X 2 1 1EE XE X 3 2 11 1 DD XD XD X nn 1 2 1 D n 当时 故比有效 1n 12 DD 1 2 11 证略 是的最有效估计量 3 u u 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 8 12 证略 12 1212 nn ab nnnn 第八章第八章 假设检验假设检验 1 按题意 要检验的假设是 0 32 0H 1 32 0H 因为已知 所以选取统计量 2 1 21 0 0 1 X UN n 拒绝域为 1 2 Wuu 当时 0 05 0 975 1 2 1 96uu 故拒绝域为 1 96 Wu 计算样本均值 1 32 630 031 6 31 6 6 x 统计量的观测值为 0 31 632 0 60 89 1 1 x u n 没有落入拒绝域 故接受原假设 即可以认 为 32 0 2 按题意 要检验的假设是 0 10H 1 10H 因为已知 所以选取统计量 22 0 1 0 0 1 X UN n 拒绝域为 1 Wuu 当时 0 05 10 95 1 645uu 故拒绝域为 1 645 Wu 统计量的观测值为 0 10 1 10 52 24 0 1 x u n 落入拒绝域 故拒绝原假设 即可以认为这 批新摩托车的平均寿命有显著提高 3 未知时 对的假设检验 2 所选用的统计量为 0 1 X Tt n Sn 拒绝域为 1 2 1 Wttn 当时 0 05 0 975 1 2 1 19 2 093tnt 故拒绝域为 2 093 Wt 样本均值 样本均方差0 6605x 0 0925s 于是统计量的观测值为 0 0 66050 618 202 055 0 0925 x t sn 没有落入拒绝域 故在显著性水平 下接受原假设 0 05 0 618 4 1 按题意 要检验的假设是 0 30H 1 30H 这是未知时 对的假设检验 2 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 9 所选用的统计量为 0 1 X Tt n Sn 拒绝域为 1 2 1 Wttn 当时 0 05 0 975 1 2 1 6 2 447tnt 故拒绝域为 2 447 Wt 样本均值 样本方差29x 2 3s 于是统计量的观测值为 0 2930 71 528 3 x t sn 没有落入拒绝域 故接受原假设 即可以认 为 30 2 按题意 要检验的假设是 2 0 4H 2 1 4H 这是未知时 对的假设检验 2 所选用的统计量 2 22 2 0 1 1 nS n 拒绝域为 22 2 1 Wnor 22 1 2 1 n 当时 0 05 22 0 975 1 2 1 6 14 449n 22 0 025 2 1 6 1 237n 故拒绝域为 22 14 4491 237 Wor 统计量的观测值为 2 2 2 0 1 6 3 4 5 4 nS 没有落入拒绝域 故接受原假设 即可以认 为 2 4 5 设第一批电子元件的电阻 2 11 XN 第二批电子元件的电阻 由已 2 22 YN 给数据分别计算两批电子元件电阻的样本均 值与样本方差的观测值 得 0 1405 x 262 1 7 5 10 s 0 1385 y 262 2 7 1 10 s 1 按题意 要检验的假设是 22 012 H 22 112 H 因为 均未知 所以选取统计量 1 2 2 1 12 2 2 1 1 S FF nn S 拒绝域为 12 2 1 1 WFFnnor 12 1 2 1 1 FFnn 当时 0 05 120 975 1 2 1 1 5 5 7 15FnnF 120 025 0 9752 1 1 1 5 5 5 5 FnnF F 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 10 1 0 140 7 15 故拒绝域为 7 150 14 WFor F 统计量的观测值为 26 1 26 2 7 5 10 1 06 7 1 10 s F s 没有落入拒绝域 故接受原假设 即可以认 为两批电子元件电阻的方差无显著差异 2 按题意 要检验的假设是 22 012 H 22 112 H 因为 均未知 由 1 的结论知 2 1 2 2 所以选取统计量 22 12 1212 22 12 1122 1 1 1 n n nnXY T nn nSnS 12 2 t nn 拒绝域为 12 1 2 2 Wttnn 当时 0 05 120 975 1 2 2 10 2 23tnnt 故拒绝域为 2 23 Wt 统计量的观测值为 1212 22 12 1122 1 1 1 xyn n nn t nn nsns 66 0 14050 1385 331 34 5 7 5 107 1 10 没有落入拒绝域 故接受原假设 即可以认 为两批电子元件电阻的均值无显著差异 故接受原假设 即可以认为两批电子元件电 阻的方差无显著差异 概率统计模拟题一概率统计模拟题一 一 一 单项选择题 本题满分 15 分 每题 3 分 1 B 2 A 3 D 4 D 5 C 二 二 填空题 本题满分 15 分 每空 3 分 1 4 7 2 0 1 3 1 ln 3 0 00 y Y fyy fy y 4 5 2 2 1 0 2542 1 2542 三 三 本题满分 12 分 解 设 电路不能正常工作 D 电池损坏 电池损坏 AA BB 电池 C 损坏 C 1 CBAPDP 1CBAP 1CBAP 1CPBPAP 552 0 2 CBAPDP CBAPCBPAP CPBPAPCPBPAP 328 0 四 四 本题满分 12 分 解 1 1f x dx 从而 2 1000 1 k dx x 1000k 2 当时 1000 x 0F x 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 11 当时 1000 x 2 1000 10001000 1 x F xdt tx 3 设随机变量表示任取 5 只中寿命大于Y 1500 小时的电子管的只数 又设事件 1500 A 电子管寿命大于小时 令 则所求概率归结为计算服从二 pP A 项分布的随机变量的概率 2Y 5 5 5 2 2 kkk k P YC p q 如能求出 即可求得上面的概率 p 1500 pP APX 2 15001500 10002 3 f x dxdx x 故 2 1 0 1 P YP YP Y 005114 55 2121 1 3333 CC 55 232 11 1 10 33 243 五五 本题满分 14 分 解 1 区域的面积 D 2 2 1 1 1 ln2 e e D Sdxx x y 01 e2 x y 1 x D 的概率密度为 X Y 1 2 0 x yD f x y 其它 2 X fxf x y dy 1 2 0 1 1 2 0 x dyxe 其它 2 1 1 2 0 xe x 其它 Y fyf x y dx 2 2 1 1 2 1 1 0 2 1 1 2 0 e y dxye dxey 其它 22 2 1 1 0 2 11 1 22 0 其它 eye ey y 因 所以不独 XY f x yfxfy X Y 立 3 2 P XY 2 1 2 1 x y P XYf x y dxdy 1113 110 75 2244 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 12 六六 本题满分 12 分 解 1 因为 x EXxf x dxxedx 0 1 t te dt 令 得是的矩估计量 XEX 1X 1 1E XE X 2 作似然函数 1 0 i n x i i ex L 其它 取对数得 1 ln n i i Lxn 求导得ln dLdn 所以似然函数关于是单调递增函数 要使 似然函数取最大值 只能在其参数空间中 取最大 故是的极大似然估计 min i x 量 七七 本题满分 12 分 解 由样本得 1267 X 65 3 3 40 3 1 4 1 2 i i XXS 1 要检验的假设为 1260 1260 10 HH 检验用的统计量 1 0 nt nS X T 拒绝域为 2 0 975 1 1 3 3 1824Ttnt 落1824 3 836 3 4 65 3 12601267 0 T 在拒绝域内 故拒绝原假设 即不能认为 0 H 结果符合公布的数字 12600C 2 要检验的假设为 22 01 4 4HH 检验用的统计量 2 2 2 0 1 nS 拒绝域为 222 10 95 1 3 7 815n 落在拒绝域内 815 7 104 40 2 0 故拒绝原假设 即不能认为测定值的方 0 H 差不超过 4 八八 本题满分 8 分 解 设预备组织货源吨 国家收入为万yY 元 国际市场的需求量为吨 则X 3 3 yyX Y XyXyX 令 Yg X 4000 2000 1 2000 E Yg x f x dxg xdx 4000 2000 11 3 3 20002000 y y xyx dxy dx 26 1 70004 10 1000 yy 所以当时 取到最大值 3500y E Y 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 13 概率统计模拟题二概率统计模拟题二 一一 填空题填空题 本题满分 15 分 每小题 3 分 1 2 3 2 4 0 3 012 0 30 50 2 5 1 4 4 775 5 225 二 单项选择题二 单项选择题 满分 15 分 每小题 3 分 1 D 2 A 3 C 4 B 5 B 三 三 本题满分 12 分 解 设 被调查的客户信用确实可靠 A 被调查的客户被评为信用可靠 由题B 设知 0 95 0 05 0 05 0 03 1 0 97 1 0 95 P AP A P B AP B A P B AP B A P B AP B A 问题 1 要求 由全概率公式 有 P B 0 95 0 050 05 0 97 0 096 P BP B A P AP B A P A 问题 2 要求 由贝叶斯公式 有 P A B 0 95 0 95 0 95 0 950 05 0 03 0 998 P B A P A P A B P B A P AP B A P A 四 四 本题满分 14 分 解 由 1 0 1 1 p x dxkxx dx 得 1 2 0 6kxxdxk 6k 因此密度函数为 6 1 01 0 xxx f x 其它 所以 1 0 30 3 0 3 6 1 0 784P Xf x dxxx dx 分布函数为 23 0 0 32 01 1 1 x F xxxx x 五 五 本题满分 10 分 解 1 由于误差服从均匀分布 因此只X 要确定误差的取值区间 就可以得到它的X 概率密度函数 f x 当小数点后第三位数字小于等于时 要4 舍去 这时产生的误差 当小数点0 005X 后第三位数字大于等于时 要入 这时产生5 的误差 这说明误差的取值区0 005X X 间为 所以误差的概率密 0 005 0 005 X 度函数为 100 0 005 0 005 0 x f x 其它 2 0 005 0 005 1000E xxf x dxxdx 六六 本题满分 10 分 解 将两封信投到个信箱的总投法3 而和的可能取值均为 2 39n XY 于是0 1 2 概率统计习题册参考答案概率统计习题册参考答案 2010 2011 2 14 1 9 0 0 P XY 0 1 P XY 1 1 9C 1 2 2 C 9 1 9 0 2 2 0 P XYP XY 同理可得 1 0 1 1 1 2 2 1 2 2 P XYP XY P XYP XYP XY 22 99 0 故的联合分布律及边缘分布律为 X Y 012 01 92 91 94 9 12 92 904 9 21 9001 9 4 94 91 91 七 七 本题满分 12 分 解 E Xxf xdx 1 1 0 1 1 2 xdx 而样本的一阶原点矩为 1 1 n i i XX n 由矩估计得 1 2 X 所以 1 2 1 X X 似然函数为 12 1 01 0 n ni x xxx L 其它 取对数似然函数 ln ln 1 ln n i i Lnx 则有 ln ln0 1 n i i dLn x d 因此参数的似然估计量为 1 1 ln n i i n X 八八 本题满分 12 分 解 这是检验这块土地面积即测量数据构 成的正态总体数学期望是否为 则 2 124m 假设 01 124 124HH 由样本值可得 22 125 2 71xS 因为方差未知 所以构造统计量 1 X Tnt n S 则 125 124 60 976 2 71 x tn S 且拒绝域为 1 943 Wt t 则 的值不在拒绝域内 所以接受原假设 即这t 块土地的面积显著为是成立的 2 124m 概率统计模拟题三概率统计模拟题三 一一 填空题填空题 本题满分 15 分 每小题 3 分 1 0 18 2 0 8 3 2 4 6 5 2 二 单项选择题二 单项选择题 本题满分 15 分 每小题 3 分 2 D 2 A 3