2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（新课标卷解析版）

20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 新课标卷 解析年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 新课标卷 解析 版 版 第第 I I 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 合题目要求的 1 复数 2 1 2 i i 的共轭复数是 A 3 5 i B 3 5 i C i D i 解析 2 1 2 i i 2 12 5 ii i 共轭复数为 C 2 下列函数中 既是偶函数又在 0 单调递增的函数是 A 3 yx B 1yx C 2 1yx D 2 x y 解析 由图像知选 B 3 执行右面的程序框图 如果输入的N是 6 那么输出的p是 A 120 B 720 C 1440 D 5040 解析 框图表示 1nn an a 且 1 1a 所求 6 a 720 选 B 4 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每 位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 解析 每个同学参加的情形都有 3 种 故两个同学参加一组的情形有 9 种 而参加同一组 的情形只有 3 种 所求的概率为 p 31 93 选 A 5 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线2yx 上 则 cos2 解析 由题知tan2 222 222 cossin1tan3 cos2 cossin1tan5 选 B A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 6 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如右图所示 则相应的侧视图可以为 解析 条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半 径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的 故选 D 7 设直线L过双曲线 C 的一个焦点 且与C的一条对称轴垂直 L与 C 交于A B两点 AB为C的实轴长的 2 倍 则C的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 3 解析 通径 AB 2 2 2 b a a 得 22222 22baaca 选 B 8 5 1 2 a xx xx 的展开式中各项系数的和为 2 则该展开式中常数项为 A 40 B 20 C 20 D 40 解析 1 令 x 1 得 a 1 故原式 5 11 2 xx xx 5 11 2 xx xx 的通项 5 2155 2 155 2 1 2 rrrrrrr r TCxxCx 由 5 2r 1 得 r 2 对应的常数项 80 由 5 2r 1 得 r 3 对应的常数项 40 故所求的常数项为 40 选 D 解析 2 用组合提取法 把原式看做 6 个因式相乘 若第 1 个括号提出 x 从余下的 5 个括 号中选 2 个提出 x 选 3 个提出 1 x 若第 1 个括号提出 1 x 从余下的括号中选 2 个提出 1 x 选 3 个提出 x 故常数项 22332233 5353 111 2 2 X CXCCCX XXX 40 80 40 9 由曲线yx 直线2yx 及y轴所围成的图形的面积为 A 10 3 B 4 C 16 3 D 6 解析 用定积分求解 43 24 2 0 0 2116 2 2 323 sxxdxxxx 选 C 10 已知 a a 与b b均为单位向量 其夹角为 有下列四个命题 1 2 10 3 Pab 2 2 1 3 Pab 3 10 3 Pab 4 1 3 Pab 其中的真命题是 A 14 P P B 13 P P C 23 P P D 24 P P 解析 22 2cos22cos1ababab 得 1 cos 2 2 0 3 由 22 2cos22cos1ababab 得 1 cos 2 3 选 A 11 设函数 sin cos 0 2 f xxx 的最小正周期为 且 fxf x 则 A f x在0 2 单调递减 B f x在 3 44 单调递减 C f x在0 2 单调递增 D f x在 3 44 单调递增 解析 2sin 4 f xx 所以2 又 f x 为偶函数 424 kkkz 2sin 2 2cos2 2 f xxx 选 A 12 函数 1 1 y x 的图像与函数2sin 24 yxx 的图像所有交点的横坐标之和等于 A 2 B 4 C 6 D 8 解析 图像法求解 1 1 y x 的对称中心是 1 0 也是2sin 24 yxx 的中心 24x 他们的图像在 x 1 的左侧有 4 个交点 则 x 1 右侧必有 4 个交点 不妨把他们的 横坐标由小到大设为 1 2345678 x x x x x x x x 则 18273645 2xxxxxxxx 所以选 D 第第 卷卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 若变量 x y满足约束条件 329 69 xy xy 则2zxy 的最小值为 解析 画出区域图知 当直线2zxy 过 23 9 xy xy 的交点 4 5 时 min 6z 14 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的中心为原点 焦点 12 F F在x轴上 离心率为 2 2 过 1 F的直线L交C于 A B两点 且 2 ABFV的周长为 16 那么C的方程为 解析 由 2 2 416 c a a 得 a 4 c 2 2 从而 b 8 22 1 168 xy 为所求 15 已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上 且6 2 3ABBC 则棱 锥OABCD 的体积为 解析 设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M 则 AM 22 1 2 3 62 3 2 OM 22 4 2 3 2 1 62 328 3 3 O ABCD V 16 在ABCV中 60 3BAC 则2ABBC 的最大值为 解析 00 120120ACCA 0 0 120 A 22sin sinsin BCAC BCA AB 0 22sin2sin 120 3cossin sinsin ABAC ABCAAA CB 2ABBC 3cos5sin28sin 2 7sin AAAA 故最大值是2 7 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 等比数列 n a的各项均为正数 且 2 12326 231 9 aaaa a 求数列 n a的通项公式 设 31323 loglog log nn baaa 求数列 1 n b 的前n项和 解析 设数列 an 的公比为 q 由 2 326 9aa a 得 32 34 9aa 所以 2 1 9 q 由条件可知 a 0 故 1 3 q 由 12 231aa 得 12 231aa q 所以 1 1 3 a 故数列 an 的通项式为 an 1 3n 31323n loglog log n baaa 12 1 2 n n n 故 1211 2 1 1 n bn nnn 12 111111112 2 1 22311 n n bbbnnn 所以数列 1 n b 的前 n 项和为 2 1 n n 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为平行四 边形 DAB 60 AB 2AD PD 底面ABCD 证明 PA BD 若PD AD 求二面角A PB C的余弦值 解析 1 因为60 2DABABAD 由余弦定理得3BDAD 从而 BD2 AD2 AB2 故BD AD 又PD 底面ABCD 可得BD PD 所以BD 平面PAD 故 PA BD 如图 以 D 为坐标原点 AD 的长为单位长 射线 DA 为x轴的正半轴建立空间直 角坐标系 D xyz 则 z x P C BA D y 1 0 0A 03 0B 1 3 0C 0 0 1P 1 3 0 0 3 1 1 0 0 ABPBBC uu u vuuvuu u v 设平面 PAB 的法向量为 n n x y z 则 0 0 n AB n PB 即 30 30 xy yz 因此可取 n n 3 1 3 设平面 PBC 的法向量为 m m 则 0 0 m PB m BC 可取 m m 0 1 3 42 7 cos 72 7 m n 故二面角A PB C的余弦值为 2 7 7 19 本小题满分 12 分 某种产品的质量以其质量指标值衡量 质量指标值越大表明质量越好 且质量指标值 大于或等于 102 的产品为优质品 现用两种新配方 分别称为 A 配方和 B 配方 做试验 各 生产了 100 件这种产品 并测量了每件产品的质量指标值 得到下面试验结果 分别估计用 A 配方 B 配方生产的产品的优质品率 已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y 单位 元 与其质量指标值 t 的关系式为 从用 B 配方生产的产品中任取一件 其利润记为X 单位 元 求X的分布列及数学 期望 以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的 概率 解析 由试验结果知 用 A 配方生产的产品中优质的平率为 228 0 3 100 所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0 3 由试验结果知 用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 32 10 0 42 100 所以用 B 配方 生产的产品的优质品率的估计值为 0 42 用 B 配方生产的 100 件产品中 其质量指标值落入区间 90 94 94 102 102 110的频率分别为 0 04 054 0 42 因此 X 的可能值为 2 2 4 P X 2 0 04 P X 2 0 54 P X 4 0 42 即 X 的分布列为 X 的数学期望值 EX 2 0 04 2 0 54 4 0 42 2 68 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系xOy中 已知点 A 0 1 B 点在直线 y 3 上 M 点满足 MBOA uuu ruur MA ABMB BA uuu r uu u ruuu r uu r M点的轨迹为曲线C 求C的方程 P为C上的动点 l为C在P点处得切线 求 O 点到l距离的最小值 解析 设 M x y 由已知得 B x 3 A 0 1 所以MA uuu r x 1 y MB uuu r 0 3 y AB uu u r x 2 再由题意可知 MA uuu r MB uuu r AB uu u r 0 即 x 4 2y x 2 0 所以曲线 C 的方程式为 y 1 4 x 2 2 设 P x0 y0 为曲线 C y 1 4 x 2 2 上一点 因为 y 1 2 x 所以l的斜率为 1 2 x0 因此直线l的方程为 000 1 2 yyx xx 即 2 000 220 x xyyx X 224 P0 040 540 42 则 o 点到l的距离 2 00 2 0 2 4 yx d x 又 2 00 1 2 4 yx 所以 2 0 2 0 22 00 1 4 14 2 4 2 2 44 x dx xx 当 2 0 x 0 时取等号 所以 o 点到l距离的最小值为 2 21 本小题满分 12 分 已知函数 ln 1 axb f x xx 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程为 230 xy 求a b的值 如果当0 x 且1x 时 ln 1 xk f x xx 求k的取值范围 解析 22 1 ln 1 x x b x fx xx 由于直线230 xy 的斜率为 1 2 且过点 1 1 故 1 1 1 1 2 f f 即 1 1 22 b a b 解得1a 1b 由 知 ln1 f 1 x x xx 所以 2 2 ln1 1 1 2ln 11 xkkx f xx xxxx 考虑函数 2lnh xx 2 1 1 kx x 0 x 则 2 2 1 1 2 kxx h x x i 设0k 由 22 2 1 1 k xx h x x 知 当1x 时 0h x h x 递减 而 1 0h 故当 0 1 x 时 0h x 可得 2 1 0 1 h x x 当 x 1 时 h x 0 从而当 x 0 且 x 1 时 f x 1 ln x x x k 0 即 f x 1 ln x x x k ii 设 0 k0 故 h x 0 而 h 1 0 故当 x 1 k 1 1 时 h x 0 可 得 2 1 1 x h x 0 而 h 1 0 故当 x 1 时 h x 0 可得 2 1 1 x h x 0 与题设矛盾 综合得 k 的取值范围为 0 点评 求参数的范围一般用离参法 然后用导数求出最值进行求解 若求导后不易得到极值 点 可二次求导 还不行时 就要使用参数讨论法了 即以参数为分类标准 看是否符合题 意 求的答案 此题用的便是后者 请考生在第请考生在第 2222 2323 2424 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答 时请写清题号 时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲如图 D E分别为ABC 的边AB AC上的点 且不与ABC 的顶点 重合 已知AE的长为m AC 的长为 n AD AB的长是关于 x的方程 2 140 xxmn 的两个根 证明 C B D E四点共圆 若90A 且4 6mn 求C B D E所在圆的半径 解析 I 连接 DE 根据题意在 ADE 和 ACB 中 ADABmnAEAC 即 AB AE AC AD 又 DAE CAB 从而 ADE ACB 因此 ADE ACB 所以 C B D E 四点共圆 m 4 n 6 时 方程 x2 14x mn 0 的两根为 x1 2 x2 12 故 AD 2 AB 12 取 CE 的中点 G DB 的中点 F 分别过 G F 作 AC AB 的垂线 两垂线相交于 H 点 连接 DH 因为 C B D E 四点共圆 所以 C B D E 四点所在圆的圆心为 H 半径为 DH 由于 A 900 故 GH AB HF AC HF AG 5 DF 2 1 12 2 5 故 C B D E 四点所在圆的半径为 52 23