导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

1 导数及其应用导数及其应用 考纲说明考纲说明 1 了解导数概念的某些实际背景 如瞬时速度 加速度 光滑曲线切线的斜率等 掌握函数在一点处的导数的定 义和导数的几何意义 理解导函数的概念 2 熟记八个基本导数公式 掌握两个函数和 差 积 商的求导法则 了解复合函数的求导法则 会求某些简单函 数的导数 3 理解可导函数的单调性与其导数的关系 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 导数在极值点两侧 异号 会求一些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小值 知识梳理知识梳理 一 导数的概念一 导数的概念 函数 y f x 如果自变量 x 在 x0处有增量 那么函数 y 相应地有增量 f x0 f x0 比值叫做函 x y x x y 数 y f x 在 x0到 x0 之间的平均变化率 即 如果当时 有极限 我 x x y x xfxxf 00 0 xx y 们就说函数 y f x 在点 x0处可导 并把这个极限叫做 f x 在点 x0处的导数 记作 f x0 或 y 0 xx 即 f x0 0 lim xx y 0 lim xx xfxxf 00 说明 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义 物理意 义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 2 1 函数 f x 在点 x0处可导 是指时 x y 有极限 如果不存在极限 就说函数在点 x0处不可导 0 xx y 或说无导数 2 是自变量 x 在 x0处的改变量 时 而是函数值的改变量 可以是零 x 0 x y 由导数的定义可知 求函数 y f x 在点 x0处的导数的步骤 1 求函数的增量 f x0 f x0 y x 2 求平均变化率 x y x xfxxf 00 3 取极限 得导数 f x0 x y x 0 lim 二 导数的几何意义二 导数的几何意义 函数 y f x 在点 x0处的导数的几何意义是曲线 y f x 在点 p x0 f x0 处的切线的斜率 也就是说 曲线 y f x 在点 p x0 f x0 处的切线的斜率是 f x0 相应地 切线方程为 y y0 f x0 x x0 三 几种常见函数的导数三 几种常见函数的导数 0 C 1 nn xnx sin cosxx cos sinxx xx ee ln xx aaa 1 ln x x 1 l glog aa oxe x 四 两个函数的和 差 积的求导法则四 两个函数的和 差 积的求导法则 法则 1 两个函数的和 或差 的导数 等于这两个函数的导数的和 或差 即 vuvu 法则 2 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘以第二个函数 加上第一个函数乘以第二个函数的导数 即 uvvuuv 若 C 为常数 则 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数 0 CuCuCuuCCu CuCu 法则 3 两个函数的商的导数 等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积 再除以分母的平方 v0 v u 2 v uvvu 形如 y f的函数称为复合函数 复合函数求导步骤 分解 求导 回代 法则 y x y u u x x 五 导数应用五 导数应用 1 单调区间 一般地 设函数在某个区间可导 xfy 3 如果 则为增函数 f x 0 xf 如果 则为减函数 f0 x xf 如果在某区间内恒有 则为常数 f0 x xf 2 极点与极值 曲线在极值点处切线的斜率为 0 极值点处的导数为 0 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极 小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 3 最值 一般地 在区间 a b 上连续的函数 f x 在 a b 上必有最大值与最小值 求函数 x 在 a b 内的极值 求函数 x 在区间端点的值 a b 将函数 x 的各极值与 a b 比较 其中最大的是最大值 其中最小的是最小值 4 定积分 1 概念 设函数 f x 在区间 a b 上连续 用分点 a x0 x1 xi 1 xi xn b 把区间 a b 等分成 n 个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上取任一点 i i 1 2 n 作和式 In i x 其中 x 为小区间长度 把 n i f 1 n 即 x 0 时 和式 In 的极限叫做函数 f x 在区间 a b 上的定积分 记作 即 b a dxxf b a dxxf i x n i n f 1 lim 这里 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限 区间 a b 叫做积分区间 函数 f x 叫做被积函数 x 叫做积分变量 f x dx 叫做被积式 基本的积分公式 C C m Q m 1 dx0 dxxm 1 1 1 m x m dx ln C C x 1 x dxe x x e C sinx C cosx C 表中 C 均为常数 dxa x a a x ln xdxcos xdxsin 2 定积分的性质 k 为常数 b a b a dxxfkdxxkf b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf 其中 a c b b a c a b c dxxfdxxfdxxf 3 定积分求曲边梯形面积 4 由三条直线 x a x b a b x 轴及一条曲线 y f x f x 0 围成的曲边梯的面积 b a dxxfS 如果图形由曲线 y1 f1 x y2 f2 x 不妨设 f1 x f2 x 0 及直线x a x b a0 且 x 1 时 f x 求 k 的取值范围 x k x Inx 1 解析解析 1 f x 由于直线 x 2y 3 0 的斜率为 且过点 1 1 22 1 1 x b x Inx x x a 2 1 故 即 解得 a 1 b 1 2 由 1 知 所以 ln1 1 x xx 2 2 ln1 1 1 2ln 11 xkkx f xx xxxx 考虑函数 则 2lnh xx 2 1 1 kx x 0 x 2 2 1 1 2 kxx h x x i 设 由知 当时 而 故0k 22 2 1 1 k xx h x x 1x 0h x 1 0h 当时 可得 0 1 x 0h x 2 1 0 1 h x x 当 x 1 时 h x 0 2 1 1 x f x 1 f 1 2 1 b 1 b a 22 1 5 从而当 x 0 且 x1 时 f x 0 即 f x 1 ln x x x k 1 ln x x x k ii 设 0 k0 故 h x 0 而 h 1 0 故当 x 1 k 1 1 时 h x 0 可得h x 0 而 h 1 0 故当 x 1 时 h x 0 可得 h x 0 与题设 2 1 1 x 矛盾 综合得 k 的取值范围为 0 例例 4 2012 山东 山东 已知函数 f x x e kx ln k 为常数 e 2 71828 是自然对数的底数 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与 x 轴平行 求 k 的值 求 f x 的单调区间 设 g x x2 x fx 其中 fx为 f x 的导函数 证明 对任意 x 0 2 1 exg 解析解析 由 f x x e kx ln 可得 xf x e xk x ln 1 而0 1 f 即0 1 e k 解得1 k xf x e x x ln1 1 令0 x f可得1 x 当10 x时 0ln1 1 x x xf 当1 x时 0ln1 1 x x xf 于是 xf在区间 1 0 内为增函数 在 1 内为减函数 xx e xxxx e x x xxxg ln 1 ln1 1 22 2 当1 x时 0 0 0ln 01 22 x exxxx 2 10 exg 当10 x时 要证 2 22 2 1 ln 1 ln1 1 e e xxxx e x x xxxg xx 只需证 222 1 ln 1 x xxxxee 然后构造函数即可证明 例例 5 2012 北京 北京 已知函数 2 1 a x f x x 其中 0a 求函数 f x 的单调区间 若直线 10 xy 是曲线 yf x 的切线 求实数a的值 设 2 ln g xxxx f x 求 g x 在区间 1 e 上的最大值 其中e为自然对数的底数 6 解析解析 3 2 ax fx x 0 x 在区间 0 和 2 上 0fx 在区间 0 2 上 0fx 所 以 f x 的单调递减区间是 0 和 2 单调递增区间是 0 2 设切点坐标为 00 xy 则 0 0 2 0 00 0 3 0 1 10 2 1 a x y x xy ax x 解得 0 1x 1a g x ln 1 xxa x 则 ln1g xxa 解 0g x 得 1 eax 所以 在区间 1 0 e a 上 g x 为递减函数 在区间 1 e a 上 g x 为递增函数 当 1 e1 a 即0 1a 时 在区间 1 e 上 g x 为递增函数 所以 g x 最大值为 e eegaa 当 1 ee a 即 2a 时 在区间 1 e 上 g x 为递减函数 所以 g x 最大值为 1 0g 当 1 1 e0 当 x时 f x 0 所以 f x 在 x 处取得极大值 在 x 处取得极小值 2 3 2 1 2 3 2 若为上的单调函数则 f x 恒大于等于零或 f x 恒小于等于零 f xR 因为 a 0 所以 2a 2 4a 0 解得 00 令 F x xf x 讨论 F x 在 0 内的单调性并求极值 求证 当 x 1 时 恒有 x ln2x 2a ln x 1 课后作业课后作业 一 选择题一 选择题 10 1 2005 全国卷全国卷 文 文 函数 已知在时取得极值 则 93 23 xaxxxf xf3 xa A 2B 3C 4D 5 2 2008 海南 宁夏文 海南 宁夏文 设 若 则 lnf xxx 0 2fx 0 x A B C D 2 ee ln2 2 ln2 3 2005 广东 广东 函数是减函数的区间为 13 23 xxxf A B C D 0 2 2 2 0 4 2008 安徽文 安徽文 设函数 则 1 21 0 f xxx x f x A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数D 是减函数 5 2007 福建文 理 福建文 理 已知对任意实数 x 有 f x f x g x g x 且 x 0 时 f x 0 g x 0 则 x0 g x 0 B f x 0 g x 0 C f x 0 D f x 0 g x 0 有极大值 9 322 1f xxmxm x 求 m 的值 若斜率为 5 的直线是曲线的切线 求此直线方程 yf x 12 参考答案参考答案 课堂练习课堂练习 一 选择 1 10AADBD DDCCC 2 填空 1 3 12 13 2 14 球的体积函数的导数等于球的表面积函数16 23 R4R 3 4 三 解答题 15 解 每月生产 x 吨时的利润为 20050000 5 1 24200 2 xxxxf 200 200024000 5 3 0 5000024000 5 1 21 2 3 舍去解得由 xxxxf xxx 故它就是最大值点 且最大值为 0 200 0 xfxxf使内只有一个点在因 31500005000020024000 200 5 1 200 3 元 f 答 每月生产 200 吨产品时利润达到最大 最大利润为 315 万元 16 解 因为 所 即当 22 91f xxaxx 2 329fxxax 2 2 3 9 33 aa x 因斜率最小的切线与平行 即该切线的斜率为 12 所以 2 9 33 aa xfx 时 取得最小值126xy 解得 2 2 912 9 3 a a 即3 0 3 aaa 由题设所以 由 知 32 3 391 af xxxx 因此 2 12 3693 3 1 0 1 3 1 0 1 1 3 0 13 0 3 13 fxxxxx fxxx xfxf x xfxf x fxf x f x 令解得 当时 故在 上为增函数 当时 故在 上为减函数 当x 3 时 故在 上为增函数 由此可见 函数的单调递增区间为 和 单调递减区13 间为 13 17 解 1 求导 32 1f xxaxx 2 321fxxax 当时 在上递增 2 3a 0 0fx f xR 当 求得两根为 2 3a 0fx 2 3 3 aa x 即在递增 递减 递增 f x 2 3 3 aa 22 33 33 aaaa 2 3 3 aa 2 要使 f x 在在区间内是减函数 当且仅当 在恒成立 21 33 0 x f 21 33 由的图像可知 只需 即 解得 a 2 所以 的取值范围 x f 0 3 1 0 3 2 f f 0 3 2 3 4 0 3 4 3 7 a a a 2 18 解 因为 所以切线 的斜率为故切线 的方程为即 xx eexf l t el txeey tt 0 1 teyxe tt 令 y 0 得 x t 1 x 0 得 1 tey t 所以 S t 从而 1 1 2 1 tet tt et 2 1 2 1 1 1 2 1 ttetS t 当 0 1 时 0 当 1 时 0 所以 S t 的最大值为 S 1 t t S t t S e 2 19 解 的定义域为 f x 3 2 值 2 24622 21 1 2 232323 xxxx fxx xxx 当时 当时 当时 3 1 2 x 0fx 1 1 2 x 0fx 1 2 x 0fx 从而 分别在区间 单调增加 在区间单调减少 f x 3 1 2 值 1 2 值 1 1 2 值 由 知在区间的最小值为 f x 3 1 4 4 值 11 ln2 24 f 14 又 31397131149 lnlnln1 ln 442162167226 ff 0 所以在区间的最大值为 f x 3 1 4 4 值 117 ln 4162 f 20 解 根据求导法则得 0 2In2 1 x x a x x xf 故 于是 0 2In2 xaxxxxfxF 0 22 1 x x x x xF 列表如下 x 0 2 2 2 F x 0 F x 极小值 F 2 故知 F x 在 0 2 内是减函数 在 2 内是增函数 所以 在 x 2 处取得极小值 F 2 2 2In2 2a 证明 由 0 22In22 2 0 aFxFa 值值值值值值 于是由上表知 对一切 0 0 xxfxFx 恒有 从而当 0 0 0 内单调增加在 故时 恒有 xfxfx 所以当 0 In2In1 0 1 1 2 xaxxfxfx 即时 故当 1 In2In1 2 xaxxx 时 恒有 课后作业课后作业 1 选择 1 10 DBDAB ACABD 1 填空 11 12 13 32 14 2 2 520 xy 3 8 三 解答题 15 解 I f x 3x2 6x 9 令 f x 0 解得 x3 所以函数 f x 的单调递减区间为 1 3 II 因为 f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a 所以 f 2 f 2 因为在 1 3 上 f x 0 所以 f x 在 1 2 上单调递增 又由于 f x 在 2 1 上单调递减 因此 f 2 和 f 1 分别是 f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 于是有 22 a 20 解得 a 2 故 f x x3 3x2 9x 2 因此 f 1 1 3 9 2 7 即函数 f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 16 解 从而 32 f xxbxcx 2 32fxxbxc 是一个奇函数 所以 322 32 g xf xfxxbxcxxbxc 32 3 2 xbxcb xc 得 由奇函数定义得 0 0g 0c 3b 15 由 知 从而 由此可知 3 6g xxx 2 36g xx 和是函数是单调递增区间 是函数是单调递减区间 2 2 g x 2 2 g x 在时 取得极大值 极大值为 在时 取得极小值 极小值为 g x2x 4 2 g x2x 4 2 1 解 由的图象过点 P 0 2 d 2 知 所以 x 32 f xxbxcxd 32 2f xxbxcx f 3x2 2bx c 由在 1 1 处的切线方程是 6x y 7 0 知 6 f 1 7 0 即 f 1 1 1 6 f 即解得 b c 3 故所求的解析式为 f x x3 3x2 3x 2 326 121 bc bc 0 23 bc bc x 3x2 6x 3 令 3x2 6x 3 0 即 x2 2x 1 0 解得 x1 1 x2 1 f 22 当 x1 时 x 0 当 1 x 1 时 x 022 f 22 f f x x3 3x2 3x 2 在 1 内是增函数 在 1 内是增函数 在 1 1 内是减函数 2222 18 解 设长方体的宽为 x m 则长为 2x m 高为 2 3 0 m 35 4 4 1218 值值 xx x h 故长方体的体积为 2 3 0 m69 35 4 2 3322 值值 xxxxxxV 从而令 V x 0 解得 x 0 舍去 或 x 1 1 18 35 4 1818 2 xxxxxxV 因此 x 1 当 0 x 1 时 V x 0 当 1 x 时 V x 0 3 2 故在 x 1 处 V x 取得极大值 并且这个极大值就是 V x 的最大值 从而最大体积 V V x 9 12 6 13 m3 此时长方体的长为 2 m 高为 1 5 m 答 当长方体的长为 2 m 时 宽为 1 m