2011年高考数学 导数单元测试卷

1 导数单元测试卷导数单元测试卷 满分 150 分 时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 曲线 y ex在点 2 e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A e2 B 2e2 C e2 D 9 4 e2 2 答案 D 解析 y ex y x 2 e2 k 切线为 y e2 e2 x 2 y e2x e2的图象与坐标轴围成的图形如图所示 OA 1 OB e2 S AOB e2 1 故选 D 1 2 e2 2 2 2008 福建文 如果函数 y f x 的图象如图所示 那么导函数 y f x 的图象可能是 答案 A 解析 由 y f x 的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减 所以其导数 y f x 的 函数值依次为正负正负 由此可排除 B C D 故选 A 3 设 f x x2 2 x 则 f x 的单调增区间是 A 0 B 4 3 4 3 C 0 D 0 4 3 答案 A 解析 f x 2x2 x3 f x 4x 3x2 由 f x 0 得 4x 3x2 0 0 xg x 则当 a xg x B f x g x f a D f x g b g x f b 答案 C 解析 f x g x f x g x 0 函数 f x g x 为增函数 又 a xf a g a 移项得 f x g a g x f a 故选 C 5 已知函数 y f x x3 px2 qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点 且 y极小值 4 那 么 p q 的值分别为 A 6 9 B 9 6 C 4 2 D 8 6 答案 A 解析 y 3x2 2px q 令切点为 a 0 a 0 则 f x x x2 px q 0 有两个不相等 实根 a 0 a 0 x2 px q x a 2 f x x x a 2 f x x a 3x a 令 f x 0 得 x a 或 x a 3 当 x a 时 f x 0 4 f y极小值 4 即 a 3 a3 4 a 3 x2 px q x 3 2 p 6 q 9 故选 A 4 27 6 已知 x 0 y 0 x 3y 9 则 x2y 的最大值为 A 36 B 18 C 25 D 42 答案 A 解析 由 x 3y 9 得 y 3 0 0 x 9 x 3 将 y 3 代入 u x2y x 3 得 u x2 3 3x2 x 3 x3 3 u x2 6x x x 6 令 u 0 得 x 6 或 x 0 当 0 x0 6 x 9 时 u 0 的解集是 x 0 x0 2x x2 ex 0 2x x2 0 0 x 2 故 正确 f x ex 2 x2 由 f x 0 得 x 2 由 f x 或 x0 得 x f x 的单调减区间为 单调增区间为 2222 22 f x 的极大值为 f 极小值为 f 故 正确 22 x 时 f x 0 恒成立 2 f x 无最小值 但有最大值 f 2 3 不正确 故选 D 8 函数 f x 的图象如图所示 下列数值排序正确的是 A 0 f 2 f 3 f 3 f 2 B 0 f 3 f 3 f 2 f 2 C 0 f 3 f 2 f 3 f 2 D 0 f 3 f 2 f 2 f 3 答案 B 解析 f 2 f 3 为 x 分别为 2 3 时对应图象上点的切线斜率 f 3 f 2 f 3 f 2 为图象上 x 为 2 和 3 时对应两点连线的斜率 所以选 B f 3 f 2 3 2 9 设 a R 若函数 y ex ax x R 有大于零的极值点 则 A a 1 C a 1 e 1 e 答案 A 解析 函数 y ex ax 的导数为 y ex a 令 y ex a 0 显然 a 0 时无解 故可否定 B D 由 ex a 当 a0 ln a 0 且 a1 a 1 故选 A 10 函数 f x x3 ax2 bx a2 在 x 1 时有极值 10 则 a b 的值为 A a 3 b 3 或 a 4 b 11 B a 4 b 11 C a 3 b 3 D 以上都不正确 答案 B 解析 f x 3x2 2ax b 令 f x 0 得 f 1 0 3 2a b 0 又 f x 极值 10 f 1 1 a b a2 10 即 a2 a b 9 0 由 得 a2 a 12 0 a 3 或 a 4 Error Error 或Error Error 当 a 3 b 3 时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 此时 x 1 不是 f x 的极值点 不符合条件 舍去 当 a 4 b 11 时 f x 3x2 8x 11 3x 11 x 1 可知 x 1 为 f x 的极小值点 符合条件 故选 B 11 设 f x g x 对任意 x1 x2 0 若有 恒成立 x e 2 x2 ex x f x1 k g x2 k 1 则正数 k 的取值范围是 A 0 1 B 0 C 1 D 1 2e2 1 答案 C 解析 f x x e 1时 f x 最大 g x 1 x 1 e2x ex x ex x2 ex x 1 x2 x 1 为 g x 在 0 上的极小值点 也是最小值点 4 由题意知 即 k 1 故选 C f e 1 k g 1 k 1 e 2k e k 1 12 定义在 R 上的可导函数 f x 已知 y ef x 的图象如图所示 则 y f x 的增区间是 A 1 B 2 C 0 1 D 1 2 答案 B 解析 由题意知 x 2 时 y 1 即 f x 0 x 2 时 y 1 即 f x 0 对于任意实数 a b 如 果 a b 0 则 f a f b f a f b 和该命题的逆命题 否命题 逆否命题 这四个 命题中正确的命题的个数为 答案 4 15 若函数 f x 在区间 m 2m 1 上是单调递增函数 则实数 m 的取值范围是 4x x2 1 答案 1 0 解析 f x 4 4 x2 1 x 2x x2 1 2 1 x2 x2 1 2 f x 的单调增区间为 1 1 Error Error 16 已知函数 f x 的导函数为 f x 且满足 f x 3x2 2xf 2 则 f 5 答案 6 解析 f x 6x 2f 2 f 2 12 2f 2 f 2 12 f 5 30 24 6 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 本小题满分 10 分 已知函数 f x x3 x2 bx c 1 2 1 若 f x 在 上是增函数 求 b 的取值范围 2 若 f x 在 x 1 处取得极值 且 x 1 2 时 f x c2恒成立 求 c 的取值范围 解 1 f x 3x2 x b 因 f x 在 上是增函数 则 f x 0 即 3x2 x b 0 b x 3x2在 恒成立 设 g x x 3x2 当 x 时 g x max b 1 6 1 12 1 12 2 由题意知 f 1 0 即 3 1 b 0 b 2 x 1 2 时 f x c2恒成立 只需 f x 在 1 2 上的最大值小于 c2即可 因 f x 3x2 x 2 令 f x 0 得 x 1 或 x f 1 c 2 3 3 2 f c f 1 c f 2 2 c 2 3 22 27 1 2 f x max f 2 2 c 2 c2 或 c0 解得 x 2 或 x 0 f x 在区间 2 和 0 上单调递增 若 f x 在 m 1 m 1 上单调递增 则 m 1 m 1 2 或 m 1 m 1 0 m 1 2 或 m 1 0 m 3 或 m 1 m 的取值范围是 m 3 或 m 1 19 本小题满分 12 分 设函数 f x ax a 1 ln x 1 其中 a 1 求 f x 的单调区 间 解 由已知 得函数 f x 的定义域为 1 且 f x a 1 ax 1 x 1 1 当 1 a 0 时 f x 0 时 由 f x 0 解得 x 1 a f x f x 随 x 的变化情况如下表 x 1 1 a 1 a 1 a f x 0 f x 极小值 从上表可知 当 x 1 时 f x 0 函数 f x 在 上单调递增 1 a 1 a 综上所述 当 1 a 0 时 函数 f x 在 1 上单调递减 当 a 0 时 函数 f x 在 1 上单调递减 函数 f x 在 上单调递增 1 a 1 a 20 本小题满分 12 分 2009 河北唐山模拟 已知函数 f x x2 a 4 x 2a 5 ex 1 a R 1 讨论 f x 的单调性 2 若 a 1 当 x 0 2 时 求 f x 的取值范围 解 1 f x 2x a 4 ex 1 x2 a 4 x 2a 5 ex 1 x2 a 2 x a 1 ex 1 x a 1 x 1 ex 1 若 a 0 则 f x x 1 2ex 1 0 当且仅当 x 1 时取 f x 在 上 单调递增 若 a 0 则当 x 变化时 f x 的变化如下 6 x 1 a 1 a 1 a 1 1 1 f x 0 0 此时 f x 在 1 a 和 1 上分别单调递增 在区间 1 a 1 上单调递减 若 a 0 则当 x 变化时 f x 的变化如下 x 1 1 1 1 a 1 a 1 a f x 0 0 此时 f x 在 1 和 1 a 上分别单调递增 在区间 1 1 a 上单调递减 2 若 a 1 则 1 a 0 则由 1 知 f x 在 0 1 上单调递减 在 1 2 上单调递增 此时 f x 的极小值为 f 1 2 a 又 f 0 5 2a e 1 f 2 e 而 5 2a e 1 e 则 f 0 0 设两曲线 y f x y g x 有公共点 且在该点处的切线相同 1 用 a 表示 b 并求 b 的最大值 2 求证 f x g x x 0 1 解 设 y f x 与 y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 f x x 2a g x 3a2 x 由题意 f x0 g x0 f x0 g x0 即Error Error 由 x0 2a 得 x0 a 或 x0 3a 舍去 3a2 x0 即有 b a2 2a2 3a2lna a2 3a2lna 1 2 5 2 令 h t t2 3t2lnt t 0 则 h t 2t 1 3lnt 5 2 于是当 t 1 3lnt 0 即 0 t0 当 t 1 3lnt e 时 h t 0 则 F x x 2a 1 2 3a2 x x 0 x a x 3a x 故 F x 在 0 a 上为减函数 在 a 上为增函数 于是函数 F x 在 0 上的最小 值是 F a F x0 f x0 g x0 0 故当 x 0 时 有 f x g x 0 即当 x 0 时 f x g x 22 本小题满分 12 分 已知函数 f x ex kx x R 1 若 k e 试确定函数 f x 的单调区间 2 若 k 0 且对于任意 x R f x 0 恒成立 试确定实数 k 的取值范围 7 3 设函数 F x f x f x 求证 F 1 F 2 F n en 1 2 n N n 2 1 解 由 k e 得 f x ex ex 所以 f x ex e 由 f x 0 得 x 1 故 f x 的单调递增区间是 1 由 f x 0 得 x0 对任意 x R 成立等价于 f x 0 对任意 x 0 成立 由 f x ex k 0 得 x lnk 当 k 0 1 时 f x ex k 1 k 0 x 0 此时 f x 在 0 上单调递增 故 f x f 0 1 0 符合题意 当 k 1 时 lnk 0 当 x 变化时 f x f x 的变化