2011年高考一轮数学复习 6-3不等式的证明 理 同步练习（名师解析）

用心 爱心 专心 第第 6 6 章章 第第 3 3 节节 知能训练知能训练 提升提升 考点一 比较法证明不等式 1 设 a b 0 求证 a2 b2 a2 b2 a b a b 证明 证法一 a b 0 左边 右边 a b a b 2 a2 b2 a2 b2 a b 0 2ab a b a2 b2 a b 故原不等式成立 证法二 a2 b2 a2 b2 a b a b a2 b2 a2 b2 a b a b a b 2 a2 b2 1 1 2ab a2 b2 且由 a b 0 知 0 a b a b a2 b2 a2 b2 a b a b 2 设 m n m n N a lgx m lgx m b lgx n lgx n x 1 求证 a b 证明 a b lgx m lgx m lgx n lgx n lgmx lgnx lgmx lgnx 1 lgnx 1 lgmx lgmx lgnx 1 lgmx lgnx lgmxlgnx 1 lgmxlgnx m n m n N x 1 lgmx lgnx lgmxlgnx 1 1 0 1 lgmxlgnx a b 考点二 分析法证明不等式 3 已知 a 0 求证 a 2 a2 1 a22 1 a 证明 要证 a 2 a2 1 a22 1 a 只要证 2 a a2 1 a2 1 a2 a 0 用心 爱心 专心 故只要证 2 2 a 2 a2 1 a2 1 a2 即 a2 4 4 a2 2 2 a 2 1 a2 a2 1 a2 1 a22 1 a 从而只要证 2 a a2 1 a22 1 a 只要证 4 a2 2 a2 2 1 a2 1 a2 即 a2 2 而上述不等式显然成立 故原不等式成立 1 a2 考点三 综合法证明不等式 4 已知 a b c 是不全相等的正数 求证 lg lg lg lga lgb lgc a b 2 b c 2 c a 2 证明 a b c R a b 2ab b c 2bc c a 2ca lg lga lgb lg lgb lgc a b 2 1 2 b c 2 1 2 lg lgc lga c a 2 1 2 以上三式相加 且注意到 a b c 不全相等 故得 lg lg lg lga lgb lgc a b 2 b c 2 c a 2 5 已知 a b c 都是实数 求证 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 1 3 证明 a b R a2 b2 2ab b c R b2 c2 2bc c a R c2 a2 2ca 将以上三个不等式相加得 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 即 a2 b2 c2 ab bc ca 在不等式 的两边同时加 a2 b2 c2 得 3 a2 b2 c2 a b c 2 即 a2 b2 c2 a b c 2 1 3 在不等式 的两边同时加 2 ab bc ca 得 a b c 2 3 ab bc ca 即 a b c 2 ab bc ca 1 3 由 得 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 1 3 考点四 反证法证明不等式 用心 爱心 专心 6 设 a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 中至少有一个不小于 1 4 证明 假设Error 则Error 1 a b 1 b c 1 c a 3 2 而 1 a b 1 b c 1 c a 1 a b 2 1 b c 2 1 c a 2 3 2 二者矛盾 假设不成立 故原不等式成立 考点五 放缩法证明不等式 7 已知 n k 均为大于 1 的整数 求证 1 2 1 2k 1 3k 1 nk 证明 n 1 k 1 n k 均为整数 1 nk 1 n2 1 1 1 1 2k 1 3k 1 nk 1 22 1 32 1 n2 1 1 2 1 2 3 1 n 1 n 1 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 1 n 2 2 1 n 即 1 2 n k N n 2 k 2 1 2k 1 3k 1 nk 考点六 构造函数法证明不等式 8 已知 ABC 的三边长分别是 a b c 且 m 为正数 求证 a a m b b m c c m 证明 构造函数 f x x 0 x x m f x 0 m x m 2 f x 在 0 上为增函数 x x m c a b f c f a b 即 c c m a b a b m a a b m b a b m a a m b b m 故 成立 a a m b b m c c m 1 2006 重庆 若 a b c 0 且 a a b c bc 4 2 则 2a b c 的最小值为 3 用心 爱心 专心 A 1 B 1 33 C 2 2 D 2 2 33 解析 由 a a b c bc 4 2得 a c a b 4 2 33 a b c 0 a c a b 2 2a b c 2 当且仅当 a c b a 即 b c 时取 号 2a b c 2 2 1 2 2 故选 D 4 2 333 答案 D 2 2007 上海春 设 a b 是正实数 以下不等式 a a b b a2 b2 4ab 3b2 ab 2 恒成立的序号为 ab 2ab a b 2 ab A B C D 解析 对于 0 ab 2ab a b ab a b 2ab a b ab a b 2 r ab a b ab r a r b 2 a b 不合题意 则应排除 A B 对于 a2 b2 4ab 3b2 a2 4ab 4b2 a 2b 2 0 即 a2 b2 4ab 3b2 不合题意 排除 C 故选 D 答案 D 3 2008 陕西 已知数列 an 的首项 a1 an 1 n 1 2 3 5 3an 2an 1 1 求 an 的通项公式 2 证明 对任意的 x 0 an x n 1 2 1 1 x 1 1 x 2 2 3n 3 证明 a1 a2 an n2 n 1 解 1 an 1 3an 2an 1 1 an 1 2 3 1 3an 1 1 1 an 1 1 3 1 an 又 1 1 是以 为首项 为公比的等比数列 1 a1 2 3 1 an 2 3 1 3 1 1 an 2 3 1 3n 1 2 3n an 3n 3n 2 2 证明 由 1 知 an 0 3n 3n 2 用心 爱心 专心 x 1 1 x 1 1 x 2 2 3n 1 1 x 1 1 x 1 1 x 2 2 3n 1 x 1 1 x 1 1 x 2 1 an 1 an 1 1 x 2 2 1 x an 2 an an 1 an 1 1 x 原不等式成立 3 证明 由 2 知 对任意的 x 0 有 a1 a2 an x x 1 1 x 1 1 x 2 2 3 1 1 x 1 1 x 2 2 32 x 1 1 x 1 1 x 2 2 3n nx n 1 x 1 1 x 2 2 3 2 32 2 3n 取 x 1 1 n 2 3 2 32 2 3n 2 3 1 f 1 3n n 1 f 1 3 1 n 1 3n 则 a1 a2 an n 1 1 n 1 f 1 3n n2 n 1 1 3n n2 n 1 原不等式成立 4 2009 山东 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知对任意的 n N 点 n Sn 均在函 数 y bx r b 0 且 b 1 b r 均为常数 的图象上 1 求 r 的值 2 当 b 2 时 记 bn 2 log2an 1 n N 证明 对任意的 n N 不等式 成立 b1 1 b1 b2 1 b2 bn 1 bnn 1 1 解 由题意 Sn bn r 当 n 2 时 Sn 1 bn 1 r 所以 an Sn Sn 1 bn 1 b 1 由于 b 0 且 b 1 所以 n 2 时 an 是以 b 为公比的等比数列 又 a1 b r a2 b b 1 b 即 b 解得 r 1 a2 a1 b b 1 b r 2 证法一 由 1 知 an 2n 1 因此 bn 2n n N 用心 爱心 专心 所证不等式为 2 1 2 4 1 4 2n 1 2nn 1 当 n 1 时 左式 右式 3 22 左式 右式 所以结论成立 假设 n k 时结论成立 即 2 1 2 4 1 4 2k 1 2kk 1 则当 n k 1 时 2 1 2 4 1 4 2k 1 2k 2k 3 2 k 1 k 1 2k 3 2 k 1 2k 3 2 k 1 要证当 n k 1 时结论成立 只需证 即证 2k 3 2 k 1k 2 2k 3 2 k 1 k 2 由均值不等式 成立 2k 3 2 k 1 k 2 2 k 1 k 2 故 成立 2k 3 2 k 1k 2 所以 当 n k 1 时 结论成立 由 可知 n N 时 不等式 成立 b1 1 b1 b2 1 b2 bn 1 bnn 1 证法二 由 1 知 an 2n 1 因此 bn 2n n N 所证不等式为 3 2 5 4 7 6 2n 1 2nn 1 事实上 3 2 5 4 7 6 2n 1 2n 2 4 2 2 4 6 2 4 6 8 2 6 2n 2n 2 2 2n 2 4 2 4 6 4 6 8 6 2n 2n 2 2n 2 22n 2n 1 故对一切 n N 不等式 成立 b1 1 b1 b2 1 b2 bn 1 bnn 1 设 f x 3ax2 2bx c 若 a b c 0 f 0 f 1 0 求证 1 方程 f x 0 有实根 2 2 1 b a 3 设 x1 x2是方程 f x 0 的两个实根 则 x1 x2 3 3 2 3 用心 爱心 专心 证明 1 若 a 0 则 b c f 0 f 1 c 3a 2b c c2 0 与已知矛盾 所以 a 0 方程 3ax2 2bx c 0 的判别式 4 b2 3ac 由条件 a b c 0 消去 b 得 4 a2 c2 ac 4 a 2 c2 0 c 2 3 4 故方程 f x 0 有实根