导数习题及答案

课时作业 十三 第 13 讲 变化率与导数 导数的运算 时间 45 分钟 分值 100 分 基础热身 1 函数 y x2ln x 的导数为 A y 2x ln ex B y x ln ex2 C y xln ex2 D y 2xln ex2 2 已知函数 y f x 的图像在点 1 f 1 处的切线方程是 x 2y 1 0 则 f 1 2f 1 A B 1 1 2 C D 2 3 2 3 2014 郑州测试 已知曲线 y 3ln x 的一条切线的斜率为 则切点的横坐标 x2 4 1 2 为 A 3 B 2 C 1 D 1 2 4 2014 济南质检 设曲线 y 在点 3 2 处的切线与直线 ax y 1 0 垂直 x 1 x 1 则 a A 2 B 2 C D 1 2 1 2 5 已知曲线 y1 2 与 y2 x3 x2 2x 在 x x0处切线的斜率的乘积为 3 则 x0的值 1 x 为 6 2014 江西 红色六校 联考 若曲线 y kx2 ln x 在点 1 k 处的切线过点 2 3 则 k 能力提升 7 P0 x0 y0 是曲线 y 3ln x x k k R 上一点 过点 P0的切线的方程为 4x y 1 0 则实数 k 的值为 A 2 B 2 C 1 D 4 8 已知 f x x2 2xf 1 则 f 0 等于 A 0 B 4 C 2 D 2 9 2014 济宁模拟 已知 f x x 2012 ln x f x0 2013 则 x0 A e2 B 1 C ln 2 D e 10 已知函数 f x x3 2ax2 3x a 0 的导数 f x 的最大值为 5 则函数 f x 的图像 2 3 上点 1 f 1 处的切线方程是 A 3x 15y 4 0 B 15x 3y 2 0 C 15x 3y 2 0 D 3x y 1 0 11 2014 湛江调研 曲线 y e 2x 1 在点 0 2 处的切线与直线 y 0 和 y x 围成 的三角形的面积为 A B 1 3 1 2 C D 1 2 3 12 若曲线 y x 1 R 在点 1 2 处的切线经过坐标原点 则 13 若点 P 是曲线 y x2 ln x 上任意一点 则点 P 到直线 y x 2 的距离的最小值为 14 10 分 已知函数 f x x3 1 a x2 a a 2 x b a b R 1 若函数 f x 的图像过原点 且在原点处的切线斜率为 3 求 a b 的值 2 若曲线 y f x 存在两条垂直于 y 轴的切线 求 a 的取值范围 15 13 分 已知函数 f x x3 ax2 10 1 当 a 1 时 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 若在区间 1 2 内至少存在一个实数 x0 使得 f x0 0 成立 求实数 a 的取值范围 难点突破 16 12 分 设函数 f x ax 曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 b x 7x 4y 12 0 1 求 f x 的解析式 2 证明 曲线 y f x 上任一点处的切线与直线 x 0 和直线 y x 所围成的三角形的面 积为定值 并求此定值 课时作业 十四 第 14 讲 第 1 课时 导数与函数的单调性 时间 45 分钟 分值 100 分 基础热身 1 函数 f x x 3 ex的单调递增区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 2 函数 f x x 的单调递减区间为 9 x A 3 0 B 0 3 C 3 0 0 3 D 3 0 0 3 3 设 a R 函数 f x ex e ax的导数是 f x 若 xf x 是偶函数 则 a A 1 B 0 C 1 D 1 4 2014 抚顺二模 设函数 f x x3 12x b 则下列结论正确的是 A 函数 f x 在区间 1 上单调递增 B 函数 f x 在区间 1 上单调递减 C 函数 f x 在区间 2 2 上单调递增 D 函数 f x 在区间 2 2 上单调递减 5 若 f x x3 ax2 1 在区间 0 2 上单调递减 则实数 a 的取值范围是 A 0 a0 则实数 m 的取值范围是 A B 1 3 1 3 C D 1 3 1 3 8 设 f x ax3 bx2 cx d a 0 则 f x 为增函数的充要条件是 A b2 4ac 0 B b 0 c 0 C b 0 c 0 D b2 3ac 0 9 下列区间中 使函数 y xsin x cos x 为增函数的区间是 A B 2 2 3 2 C D 2 3 3 2 5 2 10 若函数 f x x3 ax2 a 1 x 1 在区间 1 4 上为减函数 在区间 6 上 1 3 1 2 为增函数 则实数 a 的取值范围为 A 0 B 1 3 C 3 5 D 5 7 11 函数 f x ax3 ax2 2ax 2a 1 的图像经过四个象限 则实数 a 的取值范围是 1 3 1 2 A a B a D a 6 5 6 5 3 16 12 2014 郑州调研 若函数 f x x3 x2 ax 4 的单调递减区间为 1 4 则实 1 3 3 2 数 a 的值为 13 2014 漳州质检 若函数 f x 2x2 ln x 在区间 k 1 k 1 上有定义且不是单调 函数 则实数 k 的取值范围为 14 10 分 2014 商丘三模 已知函数 f x ln x ax2 2x a R 若函数 f x 在定义 1 2 域内单调递增 求 a 的取值范围 15 13 分 2014 河南新乡三模 直线 y kx 1 与曲线 f x x3 ax b 相切于点 A 1 3 1 求 f x 2 若 g x f x ln x t 1 x x3 x t R 讨论函数 g x 的单调性 难点突破 16 12 分 2014 吉林三模 已知函数 f x ln x 其中 a R a x 1 当 a 1 时 判断 f x 的单调性 2 若 g x f x ax 在其定义域内为减函数 求实数 a 的取值范围 课时作业 十四 第 14 讲 第 2 课时 导数与函数的极值 最值 时间 45 分钟 分值 60 分 基础热身 1 12 分 2014 黄冈中学模拟 已知函数 f x x3 ax2 4 在 x 2 处取得极值 若 m n 1 1 求 f m f n 的最小值 2 12 分 2014 银川一中四模 已知函数 f x m R 1 m ln x x 1 若 m 1 判断函数在定义域内的单调性 2 若函数在区间 1 e 内存在极值 求实数 m 的取值范围 能力提升 3 12 分 2014 河南长葛三模 设函数 f x ln x x2 x 1 4 1 2 1 求函数 f x 的极值 2 若 g x x f x x2 1 当 x 1 时 g x 在区间 n n 1 内存在极值 求整数 n 的 1 4 值 4 12 分 2015 山西四校联考 已知函数 f x ln x 其中 a 为常数 且 a 0 x a x 1 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与直线 y x 1 垂直 求函数 f x 的单调递减 区间 2 若函数 f x 在区间 1 3 上的最小值为 求 a 的值 1 3 难点突破 5 12 分 2014 兰州模拟 已知函数 f x x2 ax ln x a R 1 当 a 3 时 求函数 f x 在区间上的最大值和最小值 1 2 2 2 当函数 f x 在区间 2 上单调时 求 a 的取值范围 1 2 课时作业课时作业 十三十三 1 C 解析 由导数的计算公式得 y x2 ln x x2 ln x 2xln x x 2ln x 1 x2 x x ln x2 1 xln ex2 2 D 解析 因为点 1 f 1 在直线 x 2y 1 0 上 所以 1 2f 1 1 0 得 f 1 1 又 f 1 所以 f 1 2f 1 1 2 2 1 2 1 2 3 A 解析 设切点的横坐标为 x0 因为曲线 y 3ln x 在 x x0处的切线的斜率 x2 4 为 所以 解得 x0 3 舍去 x0 2 即切点的横坐标为 3 1 2 4 B 解析 y x 1 x 1 x 1 2 2 x 1 2 y Error a 2 即 a 2 x 3 2 3 1 2 1 2 5 1 解析 由题知 y 1 y 2 3x2 2x 2 所以两曲线在 x x0处切线的斜率分 1 x2 别为 3x 2x0 2 所以 3 解得 x0 1 2 0 6 解析 y 2kx 当 x 1 时 有 y Error 2k 1 即过 1 k 和 2 3 两点 2 3 1 x x 1 的切线的斜率为 2k 1 即 2k 1 于是得 k 3 k 2 1 2 3 7 A 解析 y 1 1 4 得 x0 1 代入切线方程得 y0 3 即 P0点坐标 3 x 3 x0 为 1 3 代入曲线方程得 3 1 k 解得 k 2 8 B 解析 f x 2x 2f 1 f 1 2 2f 1 即 f 1 2 f x 2x 4 f 0 4 9 B 解析 由题意可知 f x 2012 ln x x 2013 ln x 由 f x0 2013 得 ln 1 x x0 0 解得 x0 1 10 B 解析 易知 f x 2x2 4ax 3 因为 f x 的最大值为 5 所以 5 解得 a 1 舍去 a 1 所以 f x x3 2x2 3x f 1 4 2 3 16a2 4 2 2 3 f 1 5 所以切线方程为 y 5 x 1 即 15x 3y 2 0 13 3 13 3 11 A 解析 y Error 2e 2x Error 2 故曲线 y e 2x 1 在点 0 2 x 0 x 0 处的切线方程为 y 2x 2 易得切线与直线 y 0 和 y x 的交点分别为 1 0 2 3 2 3 故围成的三角形的面积为 1 1 2 2 3 1 3 12 2 解析 y x 1 y Error 所以切线方程为 y 2 x 1 该切线 x 1 过原点 得 2 13 解析 y 2x 令 y 1 得方程 2x2 x 1 0 解得 x 舍 或 x 1 2 1 x 1 2 故与直线 y x 2 平行的曲线 y x2 ln x 的切线的切点坐标为 1 1 该点到直线 y x 2 的距离 d 即为所求 2 14 解 f x 3x2 2 1 a x a a 2 1 由题意得 f 0 b 0 f 0 a a 2 3 解得 b 0 a 3或1 2 曲线 y f x 存在两条垂直于 y 轴的切线 关于 x 的方程 f x 3x2 2 1 a x a a 2 0 有两个不相等的实数根 4 1 a 2 12a a 2 0 即 4a2 4a 1 2a 1 2 0 a 1 2 a 的取值范围是 1 2 1 2 15 解 1 当 a 1 时 f 2 14 f x 3x2 2x 曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线斜率 k f 2 8 曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 14 8 x 2 即 8x y 2 0 2 由 f x0 x0 设 g x x 1 x 2 g x 1 10 x2 20 x3 1 x 2 g x 9 2 9 2 即实数 a 的取值范围是 9 2 16 解 1 易知方程 7x 4y 12 0 可化为 y x 3 当 x 2 时 y 又 f x 7 4 1 2 a 所以 2a 且 a 解得 a 1 b 3 故 f x x b x2 b 2 1 2 b 4 7 4 3 x 2 证明 设 P x0 y0 为曲线上任一点 由 f x 1 知 曲线在点 P x0 y0 处的切线方程为 y y0 1 x x0 即 3 x2 y x0 1 x x0 3 x0 令 x 0 得 y 从而得切线与直线 x 0 的交点坐标为 0 6 x0 6 x0 令 y x 得 y x 2x0 从而得切线与直线 y x 的交点坐标为 2x0 2x0 所以点 P x0 y0 处的切线与直线 x 0 y x 所围成的三角形的面积为 2x0 6 1 2 6 x0 故曲线 y f x 上任一点处的切线与直线 x 0 和直线 y x 所围成的三角形的面积为定 值 此定值为 6 课时作业课时作业 十四十四 第第 1 课时课时 1 D 解析 f x x 3 ex x 3 ex x 2 ex 令 f x 0 解得 x 2 2 C 解析 f x 1 令 f x 0 解得 3 x 0 或 0 x 3 故 f x 的单调 9 x2 x2 9 x2 递减区间为 3 0 和 0 3 3 A 解析 f x ex ae ax 所以 g x xf x xex axe ax为偶函数 所以 g x g x 即 xex axe ax xe x axeax对任意的实数 x 恒成立 从而 a 1 故选 A 4 D 解析 由 f x 3x2 12 3 x 2 x 2 可知函数在区间 2 2 上单调递增 在区间 2 2 上单调递减 5 D 解析 令 f x 3x2 2ax0 时 得 0 x a 当 a 0 时 得 a x0 所以 a 2 即 a 3 2 3 6 1 a0 当 x 0 时 有 0 x0 且 a 1 3 解得 1 a0 恒成立 所以有 4b2 12ac 0 即 b2 3ac 0 9 C 解析 y xcos x 当 x 时 cos x 0 所以 y xcos x 0 此时函数 3 2 5 2 y xsin x cos x 为增函数 10 D 解析 f x x2 ax a 1 由 f x 0 得 x 1 或 x a 1 当 a 1 1 即 a 2 时 f x 在区间 1 上为增函数 不合题意 当 a 1 1 即 a 2 时 f x 在区间 1 上为增函数 在区间 1 a 1 上为减函数 在区间 a 1 上为增函数 函数在区间 1 4 上为减函数 在区间 6 上为增 函数 4 a 1 6 解得 5 a 7 11 B 解析 f x ax2 ax 2a a x 1 x 2 若 a 0 则当 x 2 或 x 1 时 f x 0 当 2 x 1 时 f x 0 要使 f x 的图像经过四个象限 须有 f 2 0 且 f 1 0 即解得 a 8a 24a 3 0 6 5 3 16 12 4 解析 f x x3 x2 ax 4 f x x2 3x a 又函数 f x 的单调递减 1 3 3 2 区间为 1 4 1 4 是 f x 0 的两根 a 1 4 4 13 1 k 解析 由 f x 4x 0 得 x x 舍去 当 3 2 1 x 2x 1 2x 1 x 1 2 1 2 x 0 时 f x 0 即函数 f x 在区间 0 上单调递减 在 1 2 1 2 1 2 区间 上单调递增 所以 x 为函数 f x 的极值点 函数在区间 k 1 k 1 上有 1 2 1 2 定义且不是单调函数 即在区间 k 1 k 1 内有极值点 所以 0 k 1 k 1 得 1 2 1 k0 ax2 2x 1 x 依题意 f x 0 在 x 0 时恒成立 即 ax2 2x 1 0 在 x 0 时恒成立 则 a 12 1 在 x 0 时恒成立 1 2x x2 1 x 即 a x 0 1 x 12 1 min 当 x 1 时 12 1 取最小值 1 1 x a 的取值范围是 1 15 解 1 将点 A 1 3 的坐标代入直线 y kx 1 得 3 k 1 k 2 f x 3x2 a f 1 3 a 2 a 1 将点 A 1 3 的坐标代入 f x x3 x b 得 f 1 13 1 b 3 b 3 f x x3 x 3 2 g x f x ln x t 1 x x3 x ln x t 1 x 3 g x t 1 x 0 1 x 当 t 1 0 即 t 1 时 g x 0 g x 在区间 0 上单调递增 当 t 1 0 即 t0 得 0 x 由 g x 1 1 t 1 1 t g x 在区间 0 上单调递增 在区间 上单调递减 1 1 t 1 1 t 综上所述 当 t 1 时 g x 在区间 0 上单调递增 当 t 1 时 g x 在区间 0 上单调递增 在区间 上单调递减 1 1 t 1 1 t 16 解 1 f x 的定义域为 0 当 a 1 时 f x x 1 x2 当 0 x 1 时 f x 1 时 f x 0 所以 f x 在区间 0 1 上为减函数 在区间 1 上为增函数 2 g x f x ax ln x ax g x 的定义域为 0 所以 g x a x ax2 x a x2 因为 g x 在其定义域内为减函数 所以对任意 x 0 g x 0 所以 ax2 x a 0 a x2 1 x a 故 a min x x2 1 x x2 1 又 所以 x x2 1 1 x 1 x 1 2 x x2 1 1 2 当且仅当 x 1 时取等号 所以 a 1 2 课时作业课时作业 十四十四 第第 2 课时课时 1 解 对函数 f x 求导得 f x 3x2 2ax 由函数 f x 在 x 2 处取得极值知 f 2 0 即 3 4 2a 2 0 a 3 由此可得 f x x3 3x2 4 f x 3x2 6x 3x x 2 易知 f x 在区间 1 0 上单调递减 在区间 0 1 上单调递增 当 m 1 1 时 f m min f 0 4 又 f x 3x2 6x 的图像开口向下 且对称轴为 x 1 当 n 1 1 时 f n min f 1 9 故 f m f n 的最小值为 13 2 解 1 显然函数的定义域为 0 若 m 1 则 f x 1 ln x x2 令 f x 0 得 x e 当 x 0 e 时 f x 0 f x 单调递增 当 x e 时 f x 0 f x 单调递增 当 x em 时 f x 0 f x 单调递减 故当 x em时 f x 有极大值 根据题意得 1 em e 即 0 m0 1 x 1 2 1 2 x2 x 2 2x 令 f x 0 解得 x 1 x 2 舍去 根据 x f x f x 的变化情况 列出表格 x 0 1 1 1 f x 0 f x 单调递增 极大值 3 4 单调递减 由上表可知函数 f x 在 x 1 处取得极大值 无极小值 3 4 2 g x xf x x2 1 xln x x2 x 1 4 1 2 g x ln x 1 x 1 ln x x 2 令 h x ln x x 2 则 h x 1 1 x 1 x x 因为 x 1 所以 h x 0 h 2 ln 2 0 h 3 ln 3 1 0 h 4 ln 4 20 1 x x x a x2 x a x2 1 因为曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与直线 y x 1 垂直 所以 f 1 1 即 1 a 1 解得 a 2 当 a 2 时 f x ln x f x x 2 x x 2 x2 令 f x 0 解得 0 x