2011年高考数学试题分类汇编 专题直线与圆 理

用心 爱心 专心1 20112011 年高考试题数学 理科 直线与圆年高考试题数学 理科 直线与圆 一 选择题一 选择题 1 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 9 9 若曲线 与曲线 1 C 22 20 xyx 2 C 有四个不同的交点 则实数 m 的取值范围是 0y ymxm A B 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 c D 3 3 3 3 3 3 3 3 答案 B 解析 曲线表示以为圆心 以 1 为半径的圆 曲线02 22 xyx 0 1 表示过定点 0 mmxyy0 0 mmxyy或 0 1 与圆有两个交点 故也应该与圆有两个0 y0 mmxy 交点 由图可以知道 临界情况即是与圆相切的时候 经计算 可得 两种相切分别对应 由图可知 m 3 3 3 3 mm和 的取值范围应是 3 3 0 0 3 3 2 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 8 8 8 在圆内 过点的最长弦 22 260 xyxy 0 1E 和最短弦分别为 AC 和 BD 则四边形 ABCD 的面积为 A B C D 5 210 215 220 2 二 填空题二 填空题 用心 爱心 专心2 1 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 15 15 在平面直角坐标系中 如果与都是整数 就称点xy 为整点 下列命题中正确的是 写出所有正确命题的编号 x y 存在这样的直线 既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果与都是无理数 则直线不经过任何整点kbykxb 直线 经过无穷多个整点 当且仅当 经过两个不同的整点ll 直线经过无穷多个整点的充分必要条件是 与都是有理数ykxb kb 存在恰经过一个整点的直线 命题意图 本题考查直线方程 直线过定点 充分必要条件 存在性问题 命题 真假的判定 考查学生分析 判断 转化 解决问题能力 此类问题正确的命题要给出证 明 错误的要给出反例 此题综合性较强 难度较大 答案 解析 正确 设 当是整数时 是无理数 必不是 1 2 2 yx xyxy 整点 不正确 设 则直线 过整点 1 0 k2b2y2 1 x 正确 直线 经过无穷多个整点 则直线 必然经过两个不同整点 显然成立 反ll 之成立 设直线 经过两个整点 则 的方程为l 111 P x y 222 P xyl 令 则 Z 且 211211 xxyyyyxx x 121 xk xx kZ xy 也是整数 故 经过无穷多个整点 211 k yyy l 不正确 由 知直线 经过无穷多个整点的充要条件是直线经过两个不同的整点 l 设为 则 的方程为 111 P x y 222 P xyl 211211 xxyyyyxx 直线方程为的形式 ykxb 12 xx y 211221 2121 yyy xy x x xxxx Q 反之不成立 如 则 若 Z 则kb 11 34 yx 3 3 4 xy y Z 即 Q 得不到经过无穷个整点 3 3 4 xy kbykxb 正确 直线 只过整点 1 0 y2 1 x 2 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 15 15 设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域C 2 2yx 3x 包含边界 内 则圆的半径能取到的最大值为 C 解析 为使圆的半径取到最大值 显然圆心应该在 x 轴上且与直线相61 C3x 切 设圆的半径为 则圆的方程为 将其与联立得 CrC 2 22 3xryr 2 2yx 令 并由 得 2 22960 xrxr 2 224 960rr 0r 61r 用心 爱心 专心3 三 解答题三 解答题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 22 22 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知动直线已知动直线 与椭圆与椭圆 C C 交于交于 P P Q Q两不同点 且两不同点 且 OPQ OPQ 的面的面l 22 1 32 xy 11 x y 22 xy 积积 其中其中 O O 为坐标原点为坐标原点 OPQ S 6 2 证明 证明和和均为定值均为定值 22 12 xx 22 12 yy 设线段 设线段 PQPQ 的中点为的中点为 M M 求 求的最大值 的最大值 OMPQ 椭圆 椭圆 C C 上是否存在点上是否存在点 D E GD E G 使得 使得 若存在 判断若存在 判断 6 2 ODEODGOEG SSS DEGDEG 的形状 若不存在 请说明理由的形状 若不存在 请说明理由 解析 I 解 1 当直线 的斜率不存在时 P Q 两点关于 x 轴对称 l 所以因为在椭圆上 因此 2121 xx yy 11 P x y 22 11 1 32 xy 又因为所以 由 得 6 2 OPQ S 11 6 2 xy 11 6 1 2 xy 此时 2222 1212 3 2 xxyy 2 当直线 的斜率存在时 设直线 的方程为ll ykxm 由题意知 m 将其代入 得 0 22 1 32 xy 222 23 63 2 0kxkmxm 其中即 2222 3612 23 2 0 k mkm 22 32km 又 2 1212 22 63 2 2323 kmm xxx x kk 所以 22 222 1212 2 2 6 32 1 41 23 km PQkxxx xk k 因为点 O 到直线 的距离为所以l 2 1 m d k 1 2 OPQ SPQ d 用心 爱心 专心4 又 22 2 2 2 12 6 32 1 223 1 kmm k k k 22 2 6 32 23 mkm k 6 2 OPQ S 整理得且符合 式 22 322 km 此时 2 2222 121212 22 63 2 2 23 2323 kmm xxxxx x kk 222222 121212 222 3 3 4 2 333 yyxxxx 综上所述 结论成立 2222 1212 3 2 xxyy II 解法一 1 当直线 的斜率存在时 由 I 知l 11 6 2 2 2 OMxPQy 因此 6 26 2 OMPQ 2 当直线 的斜率存在时 由 I 知l 12 3 22 xxk m 222 1212 22 222 1212 2222 222 22 2222 332 2222 916211 3 22442 24 32 2 21 1 1 2 2 23 yyxxkkm kmm mmm xxyykm OM mmmm kmm PQk kmm 所以 22 22 111 3 2 2 2 OMPQ mm 22 11 3 2 mm 22 2 11 32 25 24 mm 所以 当且仅当时 等号成立 5 2 OMPQ 22 11 32 2m mm 即 综合 1 2 得 OM PQ 的最大值为 5 2 解法二 因为 222222 12122121 4 OMPQxxyyxxyy 用心 爱心 专心5 2222 1212 2 10 xxyy 所以 22 4 10 2 5 25 OMPQ OMPQ 即当且仅当时等号成立 5 2 OMPQ 2 5OMPQ 因此 OM PQ 的最大值为 5 2 III 椭圆 C 上不存在三点 D E G 使得 6 2 ODEODGOEG SSS 证明 假设存在 1122 6 2 ODEODGOEG D u v E x yG xySSS 满足 由 I 得 222222222222 12121212 222222 1212 1212 3 3 3 2 2 2 3 1 2 5 1 2 uxuxxxvyvyyy uxxvyy u x xv y y 解得 因此只能从中选取只能从中选取 因此 D E G 只能在这四点中选取三个不同点 6 1 2 而这三点的两两连线中必有一条过原点 与矛盾 6 2 ODEODGOEG SSS 所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D E G 2 2 2011 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 19 19 设圆设圆 C C 与两圆与两圆中的中的 2222 54 54xyxy 一个内切 另一个外切一个内切 另一个外切 1 1 求 求 C C 的圆心轨迹的圆心轨迹 L L 的方程的方程 2 2 已知点 已知点且且 P P 为为 L L 上动点 求上动点 求的最大值及的最大值及 3 5 4 5 5 55 MF 0 MPFP 此时点此时点 P P 的坐标的坐标 解析解析 1 解 设 C 的圆心的坐标为 由题设条件知 x y 2222 5 5 4 xyxy 用心 爱心 专心6 化简得 L 的方程为 2 2 1 4 x y 2 解 过 M F 的直线 方程为 将其代入 L 的方程得l2 5 yx 2 1532 5840 xx 解得 1212 6 514 56 52 514 5 2 5 515551515 xxlLTT 故与交点为 因 T1在线段 MF 外 T2在线段 MF 内 故 11 2 MTFTMF 若 P 不在直线 MF 上 在中有 22 2 MTFTMF MFP 2 MPFPMF 故只在 T1点取得最大值 2 MPFP 3 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 17 17 本小题满分 13 分 已知直线 l y x m m R I 若以点 M 2 0 为圆心的圆与直线 l 相切与点 P 且点 P 在 y 轴上 求该圆的方 程 II 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 问直线与抛物线 C x2 4y 是否相切 说 l l 明理由 命题意图 本题考查圆的方程 直线与圆相切知识 两直线的位置关系 直线与抛物线 位置关系等基础知识 考查函数与方程思想 数形结合思想 分类与整合思想 是中档题 解析 I 由题意知 0 以点 2 0 为圆心的圆与直线 相切与点 PmMlP 解得 2 圆的半径 PM k 0 02 m 1 mM 22 20 02 r 2 2 所求圆的方程为 M 22 2 8xy II 直线 关于轴对称的直线为 l lxlyxm mR 用心 爱心 专心7 代入得 l yxm 2 4xy 2 440 xxm 2 44 4 m 16 16m 当 1 时 0 直线与抛物线 C 相交 m l 当 1 时 0 直线与抛物线 C 相切 m l 当 1 时 0 直线与抛物线 C 相离 m l 综上所述 当 1 时 直线与抛物线 C 相切 当 1 时 直线与抛物线 C 不相切 m l m l 点评 本题考查内容和方法很基础 考查面较宽 是很好的一个题 4 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 23 23 18 分 已知平面上的线段 及点 在 上任取一点 lPlQ 线段长度的最小值称为点到线段 的距离 记作 PQPl d P l 1 求点到线段的距离 1 1 P 30 35 l xyx d P l 2 设 是长为 2 的线段 求点集所表示图形的面积 l 1 DP d P l 3 写出到两条线段距离相等的点的集合 其中 12 l l 12 P d P ld P l 12 lAB lCD 是下列三组点中的一组 对于下列三组点只需选做一种 满分分别是 A B C D 2 分 6 分 8 分 若选择了多于一种的情形 则按照序号较小的解答计分 1 3 1 0 1 3 1 0 ABCD 1 3 1 0 1 3 1 2 ABCD 0 1 0 0 0 0 2 0 ABCD 解 设是线段上一点 则 3 Q x x 30 35 l xyx 当时 222 59 1 4 2 35 22 PQxxxx 3x min 5d P lPQ 设线段 的端点分别为 以直线为轴 的中点为原点建立直角坐标l A BABxAB 系 则 点集由如下曲线围成 1 0 1 0 AB D 1 1 11 y x O BA 用心 爱心 专心8 12 1 1 1 1 lyxlyx