2011年高考数学 最有可能考的20道非选择题

40 50 60 70 80 90 体重 kg 频率 组距 0 005 0 010 0 020 0 030 0 035 0 015 0 025 20112011年高考数学最有可能考的年高考数学最有可能考的2020道非选择题道非选择题 一 填空题 一 填空题 8 8 道 道 31 江西省师大附中等七校联考江西省师大附中等七校联考 若一个底面是正三角形 的三棱柱的正视图如图所示 其顶点都在一个球面上 则该 球的表面积为 32 安徽省宿州市安徽省宿州市 2010 20112010 2011 学年高三第三次教学质量检测学年高三第三次教学质量检测 已知抛物线的准线xy8 2 与双曲线相交于 A B 两点 双曲线的一条渐近线方程是 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 点 F 是抛物线的焦点 且 是直角三角形 则双曲线的标准方程是xy22 FAB 33 广东省广州六中广东省广州六中 20112011 届高三理科数学预测卷届高三理科数学预测卷 双曲线上一点 P 到右焦点 22 1 169 xy 的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项 则 P 点到左焦点的距离为 34 2011 2011 年江西省六校年江西省六校 3 3 月联考数学试卷月联考数学试卷 理科理科 已知的展开式的各项系数和 n x x 1 2 为 32 则展开式中的系数为 x 35 江西省抚州一中等八校下学期联考江西省抚州一中等八校下学期联考 已知 ABC 的面积是 30 其内角 A B C 所对边 的长分别为 且满足 则 a b c 12 cos 13 A 1cb a 36 2011 2011 年广州市一模试题数学理年广州市一模试题数学理 某所学校计划招聘男教师名 女教师名 和xyx 须满足约束条件则该校招聘的教y 25 2 6 xy xy x 师最多是 名 37 2011 2011 东城一模理东城一模理 从某地高中男生中随机 抽取 100 名同学 将他们的体重 单位 kg 数 据绘制成频率分布直方图 如图 由图中数据 可 知体重的平均值为 kg 若要从身高在 60 70 70 80 80 90 三组内的 男 生中 用分层抽样的方法选取 12 人参加一项活动 再从这 12 人选两人当正负队长 则这两人身高不 在同一组内的概率为 38 辽宁省东北育才学校辽宁省东北育才学校 20112011 届高三第六次模拟数学理届高三第六次模拟数学理 下表给出一个 直角三角形数阵 4 1 4 1 2 1 16 3 8 3 4 3 满足每一列成等差数列 从第三行起 每一行的数成等比数列 且每一行的公比相等 记第 i 行 第 j 列的数为等于 83 aNjijiaij则 二 解答题 二 解答题 1212 道 道 39 青岛市青岛市 20112011 届高三届高三 3 3 月质检月质检 数列 n a的前n项和记为 n S ta 1 点在直 1 nn Sa 线上 21yx Nn 当实数t为何值时 数列 n a是等比数列 在 的结论下 设 是数列的前项和 求的值 31 log nn ba n T 1 1 nn bb n 2011 T 40 2011 2011 届广东惠州一模届广东惠州一模 已知 为常数 且 设 logmf xx m0m 1m 是首项为 4 公差为 2 的等差数列 12 n f af af an N 1 求证 数列 是等比数列 n a 2 若 记数列的前 n 项和为 当时 求 nnn ba f a n b n S2m n S 3 若 问是否存在实数 使得中每一项恒小于它后面的项 lg nnn caa m n c 若存在 求出实数的取值范围 m 41 黑龙江省哈九中黑龙江省哈九中 20112011 届高三第二次模拟考试数学理届高三第二次模拟考试数学理 在中 分别是角ABC cba 的对边 向量 且 CBA 2 cabm cos cosCBn nm 1 求角的大小 B 2 设 且的最小正周期为 0 sin 2 cos x B xxf xf 求在区间上的最大值和最小值 xf 2 0 42 广东省揭阳市广东省揭阳市 20112011 年一模数学理年一模数学理 如图 某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的 水平面内沿南偏西 60 的方向以每小时 千米的速度步行了 分钟以后 在点 D 处 望见塔的底端 B 在东北方向上 已知沿途塔的仰角 的AEB 最大值为 60 1 求该人沿南偏西 60 的方向走到仰角最大时 走了几分钟 2 求塔的高 AB 43 深圳市深圳市 20112011 届高三第一次调研数学理届高三第一次调研数学理 第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行 为了搞好接待 工作 组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者 将这 30 名志愿者的身高编 成如右所示的茎叶图 单位 cm 若身高在 175cm 以上 包括 175cm 定义为 高个子 身高在 175cm 以下 不包括 175cm 定义为 非高个子 且只有 女高个子 才担任 礼仪小姐 1 如果用分层抽样的方法从 高个子 和 非高个子 中 提取 5 人 再从这 5 人中选 2 人 那么至少有一人是 高个子 的概率是多少 2 若从所有 高个子 中选 3 名志愿者 用 表示所选志愿者中能担任 礼仪小姐 的 人数 试写出 的分布列 并求 的数学期望 44 安徽省皖南八校安徽省皖南八校 2010 20112010 2011 学年高三第三次联考学年高三第三次联考 某地区甲校高二年级有 1100 人 乙校高二年级有 900 人 为了统计两个学校高二年级在学 业水平考试中的数学学科成绩 采用分层抽样的方法在两校共抽取了 200 名学生的数学成绩 如下表 已知本次测试合格线是 50 分 两校合格率均为 100 甲校高二年级数学成绩 分组 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 频数 10253530 x 乙校高二年级数学成绩 分组 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 频数 153025y5 P A D BC I 计算 x y 的值 并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分 精确到 1 分 II 若数学成绩不低于 80 分为优秀 低于 80 分为非优秀 根据以上统计数据写下面 2 2 列联表 并回答能否在犯错误的概率不超过 0 05 的前提下认为 两个学校的数学成绩有差 异 甲校乙校总计 优秀 非优秀 总计 附 2 0 P Kk 0 100 050 0250 0100 005 0 k2 7063 8415 0246 6357 879 2 2 n adbc k ab cd ac bd 45 北京市石景山区北京市石景山区 20112011 届期末数学理届期末数学理 已知直四棱柱ABCDA B C D 四边形 ABCD为正方形 AA22 AB E为棱C C 的中点 求证 A E 平面BDE 设F为AD中点 G为棱 BB上一点 且 1 4 BG BB 求证 FG 平面BDE 在 的条件下求二面角GDEB 的余弦值 46 福建省晋江市季延中学福建省晋江市季延中学 2010 20112010 2011 学年度高三第一次模拟数学理学年度高三第一次模拟数学理 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是一直角梯形 90 BAD aADABBCAD PDaBC 2 底面 ABCD 在 PD 上是否存在一点 F 使得 PB 平面 ACF 若存在 求出 FD PF 的值 若不存在 试说明理由 在 的条件下 若 PA 与 CD 所成的角为 600 求二面角 A CF D 的余弦值 47 山东省济宁一中山东省济宁一中 20112011 届高三一轮验收届高三一轮验收 如图 已知圆 经过椭圆的右焦 22 220G xyxy 22 22 1 0 xy ab ab 点及上顶点 过椭圆外一点 且倾斜角为FB 0m ma 的直线 交椭圆于两点 5 6 l C D I 求椭圆的方程 若求的值 0 FC FD m 48 河北省衡水中学河北省衡水中学 20112011 届高三下学期第一次调研考试届高三下学期第一次调研考试 设椭圆C1 的左 右焦点分别是F1 F2 下顶点为A 线段OA的中点为B O为 22 22 1 0 xy ab ab 坐标原点 如图 若抛物线C2 与y轴的交点为B 且经 2 1yx 过F1 F2点 求椭圆C1的方程 设M 0 N为抛物线C2上的一动点 过点N作抛物线 4 5 C2的切线交椭圆C1于P Q两点 求面积的最大值 MPQ 49 河北省衡水中学河北省衡水中学 20112011 届高三下学期第一次调研考试届高三下学期第一次调研考试 设函数 2 1 ln 2 f xxaxbx 1 当时 求的最大值 1 2 ab xf 2 令 其图象上任意一点处切线 2 1 2 a F xf xaxbx x 03x 00 P xy 的斜率 恒成立 求实数的取值范围 k 2 1 a 3 当 方程有唯一实数解 求正数的值 0a 1b 2 2 mf xx m 50 福建省福州市福建省福州市 20112011 届高中毕业班质检数学理届高中毕业班质检数学理 设函数f x ex sinx g x ax F x f x g x 若x 0 是F x 的极值点 求a的值 当 a 1 时 设P x1 f x1 Q x2 g x 2 x1 0 x2 0 且PQ x轴 求P Q两点间 x y O P Q A M F1 B F2 N 0 m F B x y D C O 的最短距离 若x 0 时 函数y F x 的图象恒在y F x 的图象上方 求实数a的取值范围 参考答案参考答案 一 填空题 一 填空题 8 8 道 道 31 32 33 34 1010 35 5 5 36 1010 37 38 19 3 1 162 22 yx 133 2 2 1 二 解答题 二 解答题 1212 道 道 39 参考答案参考答案 解 由题意得 1 21 nn aS 1 21 nn aS 2 n 两式相减得 2 3 2 11 naaaaa nnnnn 即 所以当2 n时 n a是等比数列 要使1 n时 n a是等比数列 则只需3 12 1 2 t t a a 从而1 t 由 得知 1 3n n a 31 log nn ban 1 1111 1 1 nn bbnnnn 2011 1 22011 2012 1111111 1 22320112012 T bbbb 2011 2012 40 参考答案参考答案 解 1 由题意即 42 1 22 n f ann log22 mn an 22n n am 且 为非零常数 2 1 2 2 1 22 n n n n am m am 0m 1m 2 m 数列 an 是以为首项 为公比的等比数列 4 m 2 m 2 由题意 222222 log 22 nnn nnnm ba f ammnm 当 12 2 22 2 1 2 nn n mbnn 时 3452 2 23 24 2 1 2n n Sn 式乘以 2 得 45623 22 23 24 22 1 2 nn n Snn 并整理 得 345623 2 22222 1 2 nn n Sn 334523 2 2222 1 2 nn n 3 33 2 1 2 2 1 2 1 2 n n n 333 22 1 2 1 2 nn n 3 2nn 3 由题意 要使对一切成立 22 lg 22 lg n nnn caanmm 1nn cc 2n 即对一切 成立 2 lg 1 lgnmnmm 2n 当时 有 则成立 1m lg0m 2 1 2nnmn 对 当时 有 则 01m lg0m 2 1 nnm 对一切成立 只需 2 2 1 m n m 2n 2 2 2 1 m m 解得 考虑到 66 33 m 01m 6 0 3 m 综上 当或时 数列中每一项恒小于它后面的项 6 0 3 m 1m n c 点评点评 新课标下对数列的考查要求降低 只对等差 等比数列通项和求和要求掌握 数 列求和的方法具有很强的模型 错位相减型 裂项相消型 倒序相加型 建议熟练掌握 将 恒成立问题转化为最值是常用的方法 需要注意 41 参考答案参考答案 解 1 由 得nm cos 2 cosBcaCb 由正弦定理 BaBcCbcos2coscos 得BABCCBcossin2cossincossin 3 2 1 cos cossin2 sin BBBACB 2 由题知 6 sin 3sin 2 3 cos 2 3 sin 6 cos xxxxxxf 由已知得 2 2 6 2sin 3 xxf 当时 2 0 x 1 2 1 6 2sin 6 7 6 6 2 xx 所以 当时 的最大值为 当时 的最大值为 6 x xf3 2 x xf 2 3 42 参考答案参考答案 解 1 依题意知在 DBC 中 30BCD 18045135DBC CD 6000 100 1 60 1801353015D 由正弦定理得 sinsin CDBC DBCD sin100 sin15 sinsin135 CDD BC DBC 62 100 50 62 4 50 31 22 2 在 Rt ABE 中 tan AB BE AB 为定长 当 BE 的长最小时 取最大值 60 这时 BECD 当时 在 Rt BEC 中BECD cosECBCBCE 3 50 31 25 33 2 设该人沿南偏西 60 的方向走到仰角最大时 走了 分钟 t 则 分钟 25 33 6060 60006000 EC t 33 4 2 由 知当取得最大值 60 时 BECD 在 Rt BEC 中 sinBEBCBCD m tan60sintan60ABBEBCBCD 1 50 31 325 33 2 即所求塔高为m 25 33 点评点评 高考三角类解答题无非就是两种 1 三角函数题 考查三角函数的性质或图 像 2 是解三角形 特别的有点省份爱解三角形的应用题 43 参考答案参考答案 解 1 根据茎叶图 有 高个子 12 人 非高个子 18 人 用分层抽样的方法 每个人被抽中的概率是 6 1 30 5 所以选中的 高个子 有2 6 1 12 人 非高个子 有3 6 1 18 人 用事件A表示 至少有一名 高个子 被选中 则它的对立事件A表示 没有一名 高个 子 被选中 则 P A 1 2 5 2 3 C C 10 7 10 3 1 因此 至少有一人是 高个子 的概率是 10 7 2 依题意 的取值为0 1 2 3 55 14 C C 0 3 12 3 8 P 55 28 C CC 1 3 12 2 8 1 4 P 55 12 C CC 2 3 12 1 8 2 4 P 55 1 C C 3 3 12 3 4 P 因此 的分布列如下 0 123 p 55 14 55 28 55 12 55 1 1 55 1 3 55 12 2 55 28 1 55 14 0 E 点评点评 本题主要考察茎叶图 分层抽样 随机事件的概率 对立事件的概率 随机变 量的分布列以及数学期望等基础知识 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力 数 据处理能力和应用意识 44 参考答案参考答案 解 依题意甲校应抽取 110 人 乙校应抽取 90 人 故 10 x 15y 估计甲校平均分为 110 10 95 30 85 35 75 25 65 1055 75 乙校平均分为 90 5 95 1585 25 75 30 65 1555 71 甲校乙校总计 优秀 402060 非优秀 7070140 总计 11090200 k 2 200 40 7020 70 4 714 110 90 60 140 又因为故能在犯错误的概率不超过的前提下认为 两个学校的数学成4 7143 841 0 05 绩有差异 点评点评 本题把概率 统计 统计案例等知识点结合在一起 综合性强 且把独立性检验 的概念贯穿其中 是个亮点 45 参考答案参考答案 解 四棱柱 DCBAABCD 为直四棱柱 ACBD AABD AAAAC AACE 面BD AACE 面EA EABD 512 22 B A 211 22 BE 3111 222 E A 222 EABEBA BEEA 又 BBEBD BDE面 E A 以D为原点 DA为x轴 DC为y轴 D D 为z 轴 建立空间直角坐标系 2 0 1 A 1 1 0 E 0 0 2 1 F 2 1 1 1 G 由 知 11 1 E A为面BDE的法向 量 2 1 1 2 1 FG 0 2 1 1 11 2 1 1 EAFG EAFG 又 FG 面BDE FG 面BDE 设平面DEG的法向量为 zyxn 则 1 1 0 DE 2 1 1 1 DG 0110 zyxDEn 即0 zy 0 2 1 11 zyxDGn 即0 2 z yx 令1 x 解得 2 y 2 z 2 2 1 n 9 35 33 2 1 2 11 1 cos EAn EAn EAn 二面角BDEG 的余弦值为 9 35 46 参考答案参考答案 解 I 建立如图所示的空间直角坐标系 0 0 0 D 0 0 aA 0 aaB 0 aaC 设 bPD 则 0 0 bP 假设存在点F使 PB 平面ACF 10 0 0 bF 设平面ACF的一个法向量为 zyxn 0 0 2 baFAaaAC baaPB 0 0 FAn ACn 1 2 b a n 所以 0 PBn 3 1 02 a aa 所以 2 DF PF 0 baPA 0 aaDC 因为PA与CD所成的角为 60 所以 2 1 2 cos 60cos 22 2 aba a DCPA DCPA DCPA 则 ba 由 1 知平面ACF的一个法向量为 3 1 2 n 因为 aADABBAD 90 aBC2 所以 2 2aBDaCD 所以 222 BDCDBC 所以 BCBD 又 PD 底面ABCD 则 BD 平面CDF 所以 0 aaDB 是平面CDF的一个法向量 所以 14 73 214 3 cos a a DBn DBn DBn 所以二面角的余弦值为 14 73 点评点评 空间几何体的解答题一般以柱体或锥体为背景 考查线面 面面关系 考查空间 角和距离 45 46 可作为其中代表 47 参考答案参考答案 解 I 圆 经过点 F B 022 22 yxyxG F 2 0 B 0 2 2 2 bc 故椭圆的方程为 6 2 a 1 26 22 yx 由题意得直线 的方程为l 6 3 3 mmxy 0 m F B x y D C O 由 0 622 3 3 1 26 22 22 mmxxy mxy yx 得消去 由 解得 0 6 84 22 mm 3232 m 又 326 6 mm 设则 2211 yxDyxC 2 6 2 2121 m xxmxx 3 33 1 3 3 3 3 2 21212121 m xx m xxmxmxyy 2 2 2211 yxFDyxFC 3 3 2 4 3 3 6 3 4 2 2 2 21212121 mmm xx m xxyyxxFDFC 0 3 3 2 0FDFC mm 即 解得 3 32630 mmmm 又或 48 参考答案参考答案 解 由题意可知B 0 1 则A 0 2 故b 2 令y 0 得即 则F1 1 0 F2 1 0 故c 1 2 10 x 1x 所以 于是椭圆C1的方程为 222 5abc 22 1 54 xy 设N 由于知直线PQ的方程为 2 1t t 2yx 即 2 1 2 ytt xt 2 21ytxt 代入椭圆方程整理得 22222 4 1 5 20 1 5 1 200txt txt 222222 400 1 80 1 5 1 4 tttt 42 80 183 tt x y O P Q A M F1 B F2 N 2 12 2 5 1 1 5 t t xx t 22 12 2 5 1 20 4 1 5 t x x t 故 222 121212 1414 4PQtxxtxxx x 242 2 514183 1 5 ttt t 设点M到直线PQ的距离为d 则 22 22 41 1 55 1414 tt d tt 所以 的面积SMPQ 1 2 PQ d 2 242 2 2 1 1514183 5 21 5 14 t ttt t t 42 5 183 10 tt 22 5 9 84 10 t 5105 84 105 当时取到 经检验此时 满足题意 3t 0 综上可知 的面积的最大值为 MPQ 105 5 点评点评 新课标考试大纲中 特别强调对 直线和椭圆的位置关系 要理解并能应用其解 决问题 对抛物线和双曲线却没有要求 个别省份除外 因此压轴题应该以椭圆为主 上 面两题可作参考 49 答案解析答案解析 1 依题意 知的定义域为 0 xf 当时 2 1 baxxxxf 2 1 4 1 ln 2 2 令 0 x xx x x xf 2 1 2 2 1 2 11 xf 解得 1 x0 x 因为有唯一解 所以 当时 0 xg0 2 xg10 x 此时单调递增 0 xf xf 当时 此时单调递减 1 x0 xf xf 所以的极大值为 此即为最大值 4 分 xf 4 3 1 f 2 x a xxF ln 3 0 x 则有 在上恒成立 2 0 0 0 x ax xFk 2 1 3 0 0 x 所以 8 a max0 2 0 2 1 xx 3 0 0 x 当时 取得最大值 1 0 x 0 2 0 2 1 xx 2 1 所以 8 分a 2 1 3 因为方程有唯一实数解 2 2xxmf 所以有唯一实数解 02ln2 2 mxxmx 设 mxxmxxg2ln2 2 则 令 x mmxx