2011年高考数学原创预测题 专题五 立体几何 理 大纲人教版

专题五专题五 立体几何立体几何 一 选择题 1 设地球半径为R 若A地位于北纬 45 度东经 110 度 B地位于北纬 45 度东经 20 度 则 AB 两地的球面 距离为 R 2 R 6 R 6 5 R 3 2 一个圆柱的轴截面为正方形 其体积与一个球的体积之比是 3 2 则这个圆柱的表面积与这个球的表 面积之比为 1 1 1 2 2 3 3 2 3 已知两条不同的直线m n 两个不同的平面 则下列命题中的真命题是 A 若 m n 则mn 若 m n 则mn 若m n 则m n 若m n 则m n 4 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BC CA 点 D1 F1分别是 A1B1 A1C1的中点 若 BC CA CC1 则异面直线 BD1 与 AF1成的角的余弦值为 10 15 15 30 2 1 10 30 DCBA 5 某个数学活动小组为了测量学校操场上国旗旗杆 DC 的高度 在旗杆的正西方向的点 A 测得旗杆顶端 D 的仰角为 30 度 沿点 A 向北偏东 60 度前进 18 米到达点 B 测得旗杆顶端 D 的仰角为 45 度 经目测 AB 小于 AC 则旗杆的高度为 米 9 16 18 9 或 18 6 在长方体 1111 ABCDABC D 中 底面是边长为2的正方形 高为4 则点 1 A到截面 11 AB D的距离为 8 3 4 3 3 8 3 4 7 等边三角形ABC的边长为 4 M N分别为AB AC的中点 沿MN将 AMN折起 使得平面AMN与平面 MNCB所成的二面角为 30 则四棱锥A MNCB的体积为 2 3 2 3 3 3 8 二面角 l的平面角为 在 内 lAB 于B AB 2 在 内 lCD 于D CD 3 BD 1 M 是棱l上的一个动点 则AM CM的最小值为 52 22 26 是 的函数 9 设 为两两不重合的平面 nml 为两两不重合的直线 给出下列四个命题 若 则 若 nmnm 则 若 l 则 l 若 lnml 则nm 其中真命题个数是 1 2 3 4 10 矩形 ABCD 中 AB 4 BC 2 E F 分别为 AB CD 的中点 沿 EF 把 BCFE 折起后与 ADFE 垂直 P 为矩 形 ADFE 内一动点 P 到面 BCFE 的距离与它到点 A 的距离相等 设动点 P 的轨迹是曲线 L 则曲线 L 是 的一部分 圆 椭圆 抛物线 双曲线 二 填空题 11 若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3 4 5 从长方体的一条体对角线的一个端点出发 沿表面 运动到另一个端点 其最短路程是 12 用一个半径为 10 厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥 放在水平桌面上 被一阵风吹倒 如图 则它的最高点到桌面的距离为 13 在一个棱长为 6 厘米的密封的正方体盒子中 放一个半径为 1 厘米的小球 任意摇动盒子 小球在盒 子中不能到达的空间为 G 则这个正方体盒子中的一点属于 G 的概率为 14 直角三角形 ABC 中 AD 是斜边 BC 上的高 则 AB 是 BD 与 BC 的等比中项 请利用类比推理给出 三棱锥 P ABC 中 侧棱 PA PB PC 两两垂直 点 P 在底面上的射影为 O 则 三 解答题 15 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD PC AD 底面 ABCD 为梯形 AB DC AB BC PA AB BC 1 点 E 在棱 PB 上 且 PE 2EB 1 求证 平面 PAB 平面 PCB 2 求证 PD 平面 EAC 3 求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值 16 在 ABC 中 AB CA 6 BC 8 点 D E F 分别是 BC AB CA 的中点 以三条中位线为折痕 折成一 个三棱锥 P DEF 求 1 异面直线 PD 与 EF 所成的角 2 PD 与底面 DEF 所成的角的正弦值 3 二面角 P DE F 的正弦值 17 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AA1 AD 1 点 E F G 分别是棱 AA1 C1D1 BC 的中点 1 在直线 A1D1上是否存在点 Q 使得 EQ 平行于平面 FB1G 2 求二面角 B1 EF G 的大小 3 求四面体 EFGB1的体积 18 如图 圆柱的轴截面 ABCD 是正方形 点 E 在底面圆周上 点 F 在 DE 上 且 AF DE 若圆柱的侧面积 与 ABE 的面积之比等于 4 1 求证 AF BD 2 求二面角 A BD E 的正弦值 19 如图 平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直 AB 1 AD 2 ADC 60 AF a a 0 1 求证 AC BF 2 若二面角 F BD A 的大小为 60 求 a 的值 20 如图 AB 为圆O的直径 点 E F 在圆上 已知 AB EF AB BC 4 AE EF BF 2 AD 2 直角梯形 ABCD 所在的平面与圆O所在的平面互相垂直 1 求证 平面 CBE 平面 DAE 2 求平面 CDF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值 3 在 DB 上是否存在一点 G 使 GF 平面 DAE 若不存在 请说明理由 若存在 请找出这一点 并证 明 答案解析 专题五 答案解析 专题五 1 解析 选 设 AB 两地所在的小圆圆心为O1 地球的球心为O 则由已知得 ABO1为等腰直角三角形 斜 边 AB R 所以三角形 ABO为等边三角形 球心角 AOB 的大小为 3 由弧长公式得 AB 两地的球面距离为 R 3 故选 2 解析 选 设圆柱的底面半径为r 球的半径为R 由于圆柱的轴截面为正方形 因此圆柱的母线长 为r2 所以 2 3 3 4 2 3 2 R rr V V 球 圆柱 即Rr 球 圆柱表 2 3 4 222 2 2 R rrr S S 故选 3 解析 选 A 因为两个平面垂直 所以这两个平面的法向量就垂直 所以 A 对 在 B 中有 m 与 n 不垂直 的情况 在 C 中 还有 m 与 n 相交 异面的情况 在 D 中 还有 m 与 n 相交 异面的情况 故选 A 4 解析 选 A 如图 设 BC 2 取 BC 的中点 E 连接 EF1 D1F1 AE 所以 D1F1与 BE 平行且相等 四边形 BEF1D1是平行四边形 BD1 EF1 所以 EF1与 AF1所成的角等于所求的 角 在三角形 EF1A 中 EF1 6 AE F1A 5 由余弦定理得 cos EF1A 10 30 所以异面直线 BD1与 AF1成的角的余弦值为 10 30 故选 A 5 解析 选 C 设hDC 则hACDAC3 30 hBCDBC 45 所以在BAC 中 18 30 ABBAC 应用余弦定理得 30cos3182318 2 22 hhh 解这个方程得9 18 hh或 当9 h时 ABhAC 393 与已知矛盾 故舍去 18 h 时 ABAC 318 成立 所以选 C 6 解析 选 B 利用三棱锥 111 AAB D 的体积变换 1111 11 AAB DA A B D VV 则 11 62 4 33 h 3 4 h 故 选 B 7 解析 选 A 在平面图中 过A作AL BC 交MN于K 交BC于L 则AK MN KL MN AKL是面AMN与面MNCB所成的二面角的平 面角 即有 AKL 30 由条件知3AB 4 3 AM 2 3 AK 则四棱锥A MNCB的高h 30sinAK 2 3 KL 2 42 SMNCB 33 2 3 33 3 1 V MNCBA 2 3 故选 A 8 解析 选 C 如图 把平面 展开到 内 成一个平面 当 M 位于 1 M处时AM CM最小 此时 AM CM AC 过 C 作 CN 垂直于 AB 的延长线 垂足为 N 则 26132 2 2 22 CNANAC 故选 C 9 解析 选 B 也有相交的情况 要保证nm 相交 才有 由面面平行性质定理可知 对 因mllml 同样nl 从而nm 故 对 故选 B 10 解析 选 C 如图 过点 P 作 PQ 垂直于 FE 则 PQ 垂直于平面 BCFE 所以 PQ PA 所以动点 P 的轨迹即曲线 L 为以 A 为焦点 以 FE 为准线的抛物线在矩形ADFE内的部 分 故选 C 11 解析 从长方体的一条体对角线的一个端点出发 沿表面运动到另一个端点 有三种方案 2222 4 35 80 5 34 74 或 或 90543 2 2 故最短路径是74 答案 74 12 解析 要抓住两点 1 半圆纸片的半径成了圆锥的母线 2 半圆弧长成了圆锥的底面周长 设 圆锥的底面半径为r 母线为l 则102 10 rl 5 r 所以轴截面顶角的一半为 30 轴截面为正三角形 故被吹倒后圆锥的最高点离桌面的距离为 3560sin l厘米 答案 35厘米 13 解析 在正方体盒子中 不能到达的八个角的空间即为图一中的内切于正方体的小球不能到达的空 间 其体积为 3 4 8 3 4 23 小球沿每条棱运动不能到达的空间 除去两端的两个角 的体积 即为 高为 4 的一个正四棱柱的体积减去其内接圆柱体积的四分之一 如图二 即 44142 4 1 22 正方体有 12 条棱 所以在盒子中小球不能到达的空间 G 的体积为 3 4 8 3 40 56412 又正方体盒子的体积为 63 216 所以这个正方体盒子中的一点属于 G 的概率为 81 521 216 3 40 56 答案 81 521 14 解析 连接 CO 并延长交 AB 于 D 连接 PD 则 PD PC CD AB 所以 PD2 DO DC 所以 ABCAOBPAB SSS 2 即三角形 PAB 的面积是三角形 AOB 的面积 与三角形 ABC 的面积的等比中项 答案 三角形 PAB 的面积是三角形 AOB 的面积与三角形 ABC 的面积的等比中项 15 解析 1 PA 平面 ABCD PA BC 又 AB BC PA AB A BC 平面 PAB 又 BC 平面 PCB 所以平面 PAB 平面 PCB 2 PA 底面 ABCD PA AD 又 PC AD AD 平面 PAC AC AD 在梯形 ABCD 中 由 AB BC AB BC 得 BAC 45 DCA BAC 45 又 AC AD 故 DAC 为等腰直角三角形 DC 2AC 2 2AB 2AB 连接 BD 交 AC 于点 M 则 2 AB DC MB DM 连接 EM 在 BPD 中 2 MB DM EB PE PD EM 又 EM 在平面 AEC 内 PD 平面 EAC 3 过 A 作 PB 的垂线 垂足为 G 过 A 作 AH 垂直于 EC 垂足为 H 连接 GH 又 BC AG PB BC B 则 AG 平面 PBC 所以 AHG 就是所求二面角的平面角 在三角形 AEC 中 3 11 2 3 5 ECACAE 所以由余弦定理得 11 22 3 11 22 9 5 9 11 2 cos ACE 所以 11 6 11 3 2sin ACEACAH 所以 11 3 sin ACE 又 2 2 AG 所以 12 11 sin AH AG AHG 6 3 12 1 cos AHG 平面 AEC 和平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值为 6 3 16 解析 1 取 EF 的中点 N 连接 DN PN 因为 DF DE PF PE 所以 PN EF DN EF PN DN 5 所以 EF 平面 PDN EF PD 所以异面直线 PD 与 EF 所成的角为 90 度 2 过点 P 作 PO DN 垂足为O 由前面知 EF 平面 PDN 所以平面 PDN 平面 DEF 所以 PO 平面 DEF DO是 PD 在平面 DEF 上的射影 PDO 就是直线 PD 与平面 DEF 所成的角 由图知 PDO 为锐角 因为 PN DN 5 PD 4 所以 5 2 2 cos 222 PDDN PNPDDN PDO 所以 5 5 cos1sin 2 PDOPDO 3 过 O 作 OM DE 垂足为 M 连接 PM 所以由三垂线定理知道 PM DE PMO 就是二面角 P DE F 的平面角 因为 sinPMO sinPDM sinPDO sinPDM 3 5 所以 sinPMO 5 3 17 解析 1 如图取 AD 中点 M 连接 A1M 则 A1M B1G 延长 QE 交 AD 于 N 所以 EQ 平行于平面 FB1G 须满足 A1M EQ 因为 E 为 AA1中点 所以 N 为 AM 的中点 所以 4A1Q AD 所以在线段 D1A1延长线上存在点 Q 使得 EQ 平行于平面 FB1G 2 四面体 EFB1G 的六条棱长分别为 2 5 2 2 17 2 2 3 2 3 111 GBFBEBEGFGEF 所以FGEFFBEF 1 所以 GFB1就是二面角 B1 EF G 的平面角 45 2 2 2 3 22 4 5 4 9 2 cos 11 FGBFGB 所以二面角 B1 EF G 的大小为 45 度 3 由前面可知 EF平面GFB1 4 3 2 2 2 3 2 2 1 1 GFB S 所以 8 3 2 3 4 3 3 1 3 1 1 EFSV GFB 18 解析 1 因为 AD 平面 ABE 所以 AD BE 又 AE BE AD AE A 所以 BE 平面 ADE 因为 AF 平面 ADE 所以 BE AF 又 AF DE 所以 AF 平面 BDE 故 AF BD 2 取 BD 的中点 M 连接 AM FM 因为 AB AD 则 AM BD 又因为 AF BD 所以 BD 平面 AFM 从而 FM BD 所以 AMF 为二面角 A BD E 的平面角 过点 E 作 EO AB 垂足为 O 设圆柱的底面圆的半径为 r 因为圆柱的轴截面 ABCD 是正方形 则圆柱的母线长为 2r 所以其侧面积为 2 224rrr 又 ABE 的面积为 1 2 2 r OEr OE 由已知 2 4 4 r r OE 则 OE r 所以点 O 为圆柱底面圆的圆心 在 Rt AOE 中 22 2AEOAOEr 在 Rt DAE 中 22 6DEADAEr 2 22 63 AD AErr AF DE 又sin452AMABr 在 Rt AFM 中 26 sin 332 AFr AMF AMr 故二面角 A BD E 的正弦值为 6 3 19 解析 1 如图 在 ABC 中 AB 1 BC 2 ABC 60 由余弦定理得 60cos2 22 BCABBCABAC 3 2 1 21241 222 BCACAB BAC 90 即 AC AB 又在矩形 ACEF 中 AC AF 且 AF AB A AC 平面 ABF 又 BF 平面 ABF AC BF 2 平面 ACEF 平面 ABCD 平面 ACEF 平面 ABCD AC FA AC FA 平面 ABCD 过点 A 作 AG BD 于点 G 连接 FG 则 FG BD AGF 就是二面角 F BD A 的平面角 AGF 60 在 ABD 中 由余弦定理得 7 2 1 21221120cos2 222