安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学(文)试题(解析版)

1 合肥市合肥市 20192019 届高三第一次教学质量检测届高三第一次教学质量检测 数学试题数学试题 文科文科 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的目要求的 1 若集合 则 A B C D 答案 C 解析 分析 直接根据并集的定义求解即可 详解 因为 所以 根据并集的定义 是属于 或属于 的元素所组成的集合 可得 故选 C 点睛 研究集合问题 一定要抓住元素 看元素应满足的属性 研究两集合的关系时 关键是将两集合的 关系转化为元素间的关系 本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的集合 2 设 是虚数单位 复数为纯虚数 则实数 为 A 2 B 2 C D 答案 B 解析 分析 利用复数代数形式的乘除运算化简复数 再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求得 值 详解 为纯虚数 解得 故选 B 点睛 复数是高考中的必考知识 主要考查复数的概念及复数的运算 要注意对实部 虚部的理解 掌握 纯虚数 共轭复数 复数的模这些重要概念 复数的运算主要考查除法运算 通过分母实数化转化为复数的 乘法 运算时特别要注意多项式相乘后的化简 防止简单问题出错 造成不必要的失分 3 设双曲线 的虚轴长为 4 一条渐近线为 则双曲线 的方程为 2 A B C D 答案 A 解析 分析 由虚轴长求 再由渐近线方程求 从而可得到结果 详解 因为双曲线 的虚轴长为 4 所以 因为双曲线 的一条渐近线为 所以 双曲线的方程为 故选 A 点睛 本题考査双曲线的方程与简单性质 考査双曲线的渐近线 是基础题 若双曲线方程为 则渐近线方程为 4 执行如图所示的程序框图 则输出 的值为 A 63 B 47 C 23 D 7 3 答案 C 解析 分析 本道题不断的代入 i n 直到 退出循环 即可 详解 n 15 i 2 不满足条件 继续循环 得到 n 11 i 3 不满足条件 继续循环 n 23 i 4 满足条件 退出循 环 输出 n 即可 故选 C 点睛 本道题考查了程序框图的意义 关键找出当对应的 n 输出 即可 难度较容易 5 设向量 向量 与向量 方向相反 且 则向量 的坐标为 A B C D 答案 D 解析 分析 设 利用求出 从而可得结果 详解 因为向量 与向量 方向相反 所以可设 故选 D 点睛 本题主要考查平面向量的线性运算以及向量模的坐标表示 意在考查对基础知识的掌握与应用 属 于中档题 6 设 则 A B C D 答案 D 解析 分析 根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围 从而可得结果 详解 由指数函数的性质可得 由对数函数是性质可得 所以 故选 D 点睛 本题主要考查对数函数的性质 指数函数的单调性及比较大小问题 属于难题 解答比较大小问题 4 常见思路有两个 一是判断出各个数值所在区间 本题是看三个区间 二是利用函数的 单调性直接解答 数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用 7 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计 得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90 后从事互联 网行业者岗位分布条形图 则下列结论中不一定正确的是 注 90 后指 1990 年及以后出生 80 后指 1980 1989 年之间出生 80 前指 1979 年及以前出生 A 互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20 C 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 答案 D 解析 分析 本道题分别将各个群体的比例代入 即可 详解 A 选项 可知 90 后占了 56 故正确 B 选项 技术所占比例为 39 65 故正确 C 选项 可知 90 后明显比 80 多前 故正确 D 选项 因为技术所占比例 90 后和 80 后不清楚 所以不一定 多 故错误 故选 D 点睛 本道题考查了统计方面的知识 关键抓住各个群体的比例 逐一分析 得出结论 即可 难度较容 易 8 已知 则 A B C D 答案 C 解析 分析 将两边平方 求出 利用诱导公式可得结果 5 详解 因为 所以 所以 故选 C 点睛 三角函数求值有三类 1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角 从表面上来看是很难的 但 仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系 解题时 要利用观察得到的关系 结合公式转化为特殊角并且消 除非特殊角的三角函数而得解 2 给值求值 给出某些角的三角函数式的值 求另外一些角的三角函数值 解题关键在于 变角 使其角相同或具有某种关系 3 给值求角 实质是转化为 给值求值 先求角的某 一函数值 再求角的范围 确定角 9 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某三棱锥的三视图 则该三棱锥的外接球的表面积为 A B C D 答案 B 解析 分析 由三视图可知 三棱锥的直观图是底面为直角边为 4 与 2 的直角三角形形 高为 2 的三棱锥 将三棱锥补成 长方体 利用长方体的外接球与棱锥的外接球相同求解即可 详解 由三视图画出三棱锥的直观图 如图 图中矩形的长为 4 宽为 2 棱锥的高为 所以棱锥的外接球就是以为长 宽 高的长方体的外接球 外接球的直径就是长方体的体对角线 即 6 所以外接球的表面积为 故选 B 点睛 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力 属于难题 三视图问 题是考查学生空间想象能力最常见题型 也是高考热点 观察三视图并将其 翻译 成直观图是解题的关键 不但要注意三视图的三要素 高平齐 长对正 宽相等 还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位 置对几何体直观图的影响 对简单组合体三视图问题 先看俯视图确定底面的形状 根据正视图和侧视图 确定组合体的形状 10 已知函数 对于实数 是 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 分析 先判断出函数为奇函数 且为 的单调增函数 结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即 可 详解 因为 所以为奇函数 时 在上递增 所以函数在 上为单调增函数 对于任意实数 和 若 则 函数为奇函数 充分性成立 若 则 函数在 上为单调增函数 必要性成立 对于任意实数 和 是 的充要条件 故选 C 点睛 本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义 属于综合题 判断充分条件 与必要条件应注意 首先弄清条件 和结论 分别是什么 然后直接依据定义 定理 性质尝试 对于 带有否定性的命题或比较难判断的命题 除借助集合思想化抽象为直观外 还可利用原命题和逆否命题 逆 7 命题和否命题的等价性 转化为判断它的等价命题 对于范围问题也可以转化为包含关系来处理 11 已知过抛物线焦点 的直线与抛物线交于点 抛物线的准线 与 轴交于点 于点 则四边形的面积为 A B C D 答案 A 解析 分析 设直线的方程为 与抛物线方程联立 利用韦达定理 结合可求出 点坐标 再由焦 半径公式以及抛物线的性质求出梯形的上下底边长 利用梯形面积公式可得结果 详解 设直线的方程为 与联立可得 则 可得 四边形的面积为 故选 A 点睛 本题主要考查抛物线的定义与性质以及直线与抛物线的位置关系 属于综合题 直线与圆锥曲线的 位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的 关系建立方程 解决相关问题 12 若关于 的方程没有实数根 则实数 的取值范围是 A B C D 答案 A 解析 分析 方程化为 令 求出函数的值域 只需令 属于所求值域的补集即可得结果 详解 因为不满足方程 8 所以原方程化为化为 令 时 时 令 0 递增递减 当 即时 综上可得 的值域为 要使无解 则 即使关于 的方程没有实数根的实数 的取值范围是 故选 A 点睛 本题主要考查利用导数研究方程的根 以及转化与划归思想的应用 属于难题 已知函数有零点 方 程有根 求参数值 取值范围 常用的方法 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数的值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 进而构造两个函数 然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象 利用数形结合的方法求解 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分 第第 1313 题题 第第 2121 题为必考题 每个试题考生都必须作答题为必考题 每个试题考生都必须作答 第第 2222 题 第题 第 2323 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分分 把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置 9 13 设满足约束条件 则的取值范围为 答案 1 6 解析 分析 由约束条件作出可行域 化目标函数为直线方程的斜截式 数形结合得到最优解 联立方程组求得最优解的 坐标 把最优解的坐标代入目标函数得结论 详解 画出表示的可行域 如图 将变形为 平移直线 由图可知当直经过点时 直线在 轴上的截距分别最小 最大 则分别有最大与最小值 最大值为 最小值 所以 的取值范围为 故答案为 点睛 本题主要考查线性规划中 利用可行域求目标函数的最值 属于简单题 求目标函数最值的一般步 骤是 一画 二移 三求 1 作出可行域 一定要注意是实线还是虚线 2 找到目标函数对应的 最优解对应点 在可行域内平移变形后的目标函数 最先通过或最后通过的顶点就是最优解 3 将最优 解坐标代入目标函数求出最值 14 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形 谢尔宾斯基三角形是一种分形 由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出 具体操作是取一个实心三角形 沿三角形的三边中点连线 将它分成 4 个小三角形 去掉中间的 那一个小三角形后 对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形 如图 10 现在上述图 3 中随机选取一个点 则此点取自阴影部分的概率为 答案 解析 分析 设图 3 中最小黑色三角形面积为 求出最大三角形的面积以及阴影部分的面积 利用几何概型概率公式 求解即可 详解 设图 3 中最小黑色三角形面积为 由图可知图 3 中最大三角形面积为 图 3 中 阴影部分的面积为 根据几何概型概率公式可得 图 3 中随机选取一个点 则此点取自阴影部分的概率为 故答案为 点睛 本题主要考查 面积型 的几何概型 属于中档题 解决几何概型问题常见类型有 长度型 角度 型 面积型 体积型 求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积 几何概型问 题还有以下几点容易造成失分 在备考时要高度关注 1 不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导 致错误 2 基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 3 利用几何概型的概率公式时 忽视验证 事件是否等可能性导致错误 15 设等差数列满足 则数列的前 项的和等于 答案 解析 分析 由 求出等差数列的通项公式 可得 利用裂项相消法可得结果 详解 是等差数列 即 11 前 项和为 故答案为 点睛 本题主要考查等差数列的通项公式 以及裂项相消法求数列的和 属于中档题 裂项相消法是最难 把握的求和方法之一 其原因是有时很难找到裂项的方向 突破这一难点的方法是根据式子的结构特点 常 见的裂项技巧 1 2 3 4 此外 需注意裂项之后相消 的过程中容易出现丢项或多项的问题 导致计算结果错误 16 设的内角的对边长成等比数列 延长至 若 则 面积的最大值为 答案 解析 分析 由 可得 由成等比数列 结合正弦定理 可得 两式相减 可求得 从而得为正三角形 设正三角形边长为 利用基本不等式可得结果 详解 又成等比数列 由正弦定理可得 得 解得 由 12 得 为正三角形 设正三角形边长为 则 时等号成立 即面积的最大值为 故答案为 点睛 本题主要考查对比中项的应用 正弦定理的应用以及基本不等式求最值 属于难题 利用基本不等 式求最值时 一定要正确理解和掌握 一正 二定 三相等 的内涵 一正是 首先要判断参数是否为正 二定是 其次要看和或积是否为定值 和定积最大 积定和最小 三相等是 最后一定要验证等号能否成 立 主要注意两点 一是相等时参数是否在定义域内 二是多次用或时等号能否同时成立 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 将函数的图象向左平移 个单位后得到函数的图像 设函数 求函数的单调递增区间 若 求的值 答案 解析 分析 由已知可得 则 由 解不等 式即可得结果 由得 从而可得 详解 由已知可得 则 令 解得 13 函数的单调递增区间为 由得 即 点睛 本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的单调性 属于中档题 函数的单调 区间的求法 若 把看作是一个整体 由 求得函数的减区间 求得增区间 18 如图 在四棱锥中 为等边三角形 若点 为的中点 求证 平面 求四棱锥的体积 答案 详见解析 解析 分析 取的中点为 连结 先利用线面平行的判定定理可证明 平面 平面 从 而可得平面 平面 进而可得结果 连结交于 连结 先证明 结合 可得 平面 即四棱锥的高为 利用棱锥的体积公式可得结果 详解 取的中点为 连结 为等边三角形 14 又 平面 平面 平面 为的中点 为的中点 又 平面 平面 平面 平面 平面 又 平面 平面 连结交于 连结 为的中点 又 又 又 平面 即四棱锥的高为 四棱锥的体积 点睛 本题主要考查线面平行的判定定理 面面平行的判定与性质以及三棱锥体积 属于中档题 证明线 面平行的常用方法 利用线面平行的判定定理 使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线 平行的直线 可利用几何体的特征 合理利用中位线定理 线面平行的性质或者构造平行四边形 寻找比例 式证明两直线平行 利用面面平行的性质 即两平面平行 在其中一平面内的直线平行于另一平面 19 某学校九年级三个班共有学生人 为了了解学生的睡眠情况 现通过分层抽样的方法获得这三个班部 分学生学生周一至五睡眠时间的数据 单位 小时 甲班 乙班 丙班 试估算每一个班的学生数 设抽取的这位学生睡眠时间的平均数为 若在丙班抽取的 名学生中 再随机选取 人进一步地调查 求选取的这 名学生睡眠时间既有多于 又有少于 的概率 答案 甲乙丙人数分别为 49 49 42 解析 分析 根据每个班级抽取的人数 可得到抽取的比例 从而可得每个班级的人数 利用平均数公式求出平 15 均数 从这 6 名学生中随机选取 3 人的基本事件共有 20 种 列举出不满足条件的基本事件 3 人睡眠时间都 低于 有共 4 种情况 可得满足条件的基本事件数为 16 种 由古典概型概率公式可得结果 详解 甲班 人 乙班 人 丙班 人 因为 所以 设事件 3 名学生睡眠时间既有多于 又有少于 的学生 丙班睡眠时间少于 的有 4 人 设为 多于 的有 2 人 设为 从这 6 名学生中随机选取 3 人的基本事件共有 20 种 而不满 足条件的基本事件 3 人睡眠时间都低于 有共 4 种情况 所以满足条件的基 本事件数为 16 种 即在丙班被抽取的 6 名学生中 再随机地选取 3 人作进一步地调查 选取 的 3 人睡眠时间既有多于 又有少于 学生的概率为 点睛 本题主要考查分层抽样与古典概型概率公式的应用 属于中档题 利用古典概型概率公式求概率时 找准基本事件个数是解题的关键 基本亊件的探求方法有 1 枚举法 适合给定的基本事件个数较少且易一 一列举出的 2 树状图法 适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求 在找基本事件个数时 一定要按顺 序逐个写出 先 再 依次 这 样才能避免多写 漏写现象的发生 20 设椭圆 的左 右焦点分别为 过的直线交椭圆于 两点 若椭圆 的 离心率为 的周长为 求椭圆 的方程 设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆 于点 设弦 的中点分别为 证明 三点共线 答案 详见解析 解析 分析 由的周长为求得 由离心率求得 从而可得 的值 进而可得结果 易知 当直线 的斜率不存在时 三点共线 当直线的斜率存在时 由点差法可得 16 即 同理可得 从而可得结论 详解 由题意知 又 椭圆 的方程为 易知 当直线的斜率不存在时 由椭圆的对称性知 中点在 轴上 三点共线 当直线的斜率存在时 设其斜率为 且设 联立方程得相减得 即 同理可得 所以三点共线 点睛 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法 根据条件确定关于的方程组 解出 从而写出椭 圆的标准方程 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦中点的问题常常用 点差法 解决 往往会 更简单 21 已知函数 是自然对数的底数 设 其中是的导数 求的极小值 若对 都有成立 求实数 的取值范围 答案 解析 分析 求出 分别令求得 的范围 可得函数增区间 求得 的范围 可得函数的减 17 区间 结合单调性可求得函数的极值 由 知 在上单调递增 在 0 1 上单调递减 讨论当时 当时两种情况 分别利用对数以及函数的单调性 求出函数最值 从而 可筛选出符合题意的实数 的取值范围 详解 令 在上为增函数 当时 当时 的单调递减区间为 0 1 单调递增区间为 由 知 在上单调递增 在 0