2011年高考数学 第二章 第十节函数的综合运用

同步检测训练同步检测训练 一 选择题 1 若 A x Z 2 22 x1 则 A RB 的元素个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 A 0 1 B Error Error A RB 0 1 故选 C 2 2008 辽宁 设 f x 是连续的偶函数 且当 x 0 时 f x 是单调函数 则满足 f x f 的所有 x 之和为 x 3 x 4 A 3 B 3 C 8 D 8 答案 C 解析 由题意得 x 或 x 即 x2 5x 3 0 或 x2 3x 3 0 则 x 3 x 4 x 3 x 4 x1 x2 5 x3 x4 3 所求满足 f x f的所有 x 之和为 8 故选 C x 3 x 4 3 已知函数 y f x 的图象与函数 y ax a 0 且 a 1 的图象关于 y x 对称 记 g x f x f x f 2 1 若 y g x 在区间 2 上是增函数 则实数 a 的取值范围是 1 2 A 2 B 0 1 1 2 C 1 D 0 1 2 1 2 答案 D 解析 用特值法 f x logax 则 g x logax logax loga2 1 令 a 2 则 g x log2x 2 当 x 1 时 log2x 单调递增 但 1 log2x 0 g x log2x 2在上单调 1 2 1 2 1 递减 不满足 同理可验当 a 不符合题意 故选 D 3 4 4 已知偶函数 y f x 满足条件 f x 1 f x 1 且当 x 1 0 时 f x 3x 则 4 9 f log 5 的值等于 1 3 A 1 B 5 3 C D 1 5 9 答案 D 解析 f x 2 f x 1 1 f x 1 1 f x 2 是 f x 的一个周期 f log 5 f log 5 2 f log 1 3 1 3 1 3 5 9 f log f log3 1 3 5 9 5 9 1 log3 0 5 9 f log3 3log3 1 故选 D 5 9 5 9 4 9 6 2009 石家庄市一测 已知 F x f x 1 是 R 上的奇函数 an f 0 f f 1 2 1 n 2 n f f 1 n N 则数列 an 的通项公式为 n 1 n A an n 1 B an n C an n 1 D an n2 答案 C 解析 因为 F x F x 0 所以 f x f x 2 即若 a b 1 则 f a f b 1 2 1 2 2 于是由 an f 0 f f f f 1 得 2an f 0 f 1 f f 1 n 2 n n 1 n 1 n n 1 n f f f 1 f 0 2n 2 所以 an n 1 故选 C n 1 n 1 n 7 2009 石家庄二测 已知定义在 R 上的偶函数 f x 的图象关于直线 x 1 对称 且当 0 x 1 时 f x x2 若直线 y x a 与曲线 y f x 恰有两个交点 则 a 等于 A 0 B 2k k Z C 2k 或 2k k Z D 2k k Z 1 4 1 4 答案 C 解析 依题意知 f x 为周期函数 数形结合 周期函数 f x 的图象如下图 由图象可 知符合条件的直线有两类 选 C 8 2009 东北三校联考 设函数 f x Error Error 则 a b 的值为 a b a b f a b 2 A a B b C a b 中较小的数 D a b 中较大的数 答案 C 解析 对 a b 进行讨论 当 a b 0 时 f a b 1 a b a b f a b 2 b 当 a b0 则给出下列 f x1 f x2 x1 x2 命题 f 2008 2 函数 y f x 图象的一条对称轴为 x 6 函数 y f x 在 9 6 上为减函数 方程 f x 0 在 9 9 上有 4 个根 其中所有正确命题的序号为 答案 解析 f x 6 f x f 3 f 3 0 则 f x 6 f x 6 为函数的一个周期 又函数 y f x 是 R 上的偶函数 且 f 4 2 则 f 4 2 当 x1 x2 0 3 且 x1 x2时 都有 0 函数在区间 0 3 f x1 f x2 x1 x2 上为增函数 对于 f 2008 f 4 6 334 f 4 2 正确 对于 由奇偶性和周 期性得函数 y f x 图象的一条对称轴为 x 6 则 正确 对于 由周期性知函数 y f x 在 6 3 上为增函数 又函数 y f x 图象的一条对称轴为 x 6 则函数 y f x 在 9 6 上为减函数 正确 对于 由于 f 3 0 根据奇偶性和周期性得 f 3 0 f 9 0 f 9 0 则方程 f x 0 在 9 9 上有 4 个根 正确 综上所述 正确 故填 三 解答题 12 2009 重庆市一测 某厂家拟在 2009 年举行促销活动 经调查测算 该产品的年销 售量 即该厂的年产量 x 万件与年促销费用 t t 0 万元满足 x 4 k 为常数 如果不 k 2t 1 搞促销活动 则该产品的年销售量只能是 1 万件 已知 2009 年生产该产品的固定投入为 6 万元 每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品 平均成本的 1 5 倍 产品成本包括固定投入和再投入两部分 1 将该厂家 2009 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数 2 该厂家 2009 年的促销费用投入多少万元时 厂家利润最大 解 1 由题意可知 1 4 得 k 3 故 x 4 k 1 3 2t 1 y 1 5 x 6 12x t 3 6x t 3 6 4 t 27 t t 0 6 12x x 3 2t 1 18 2t 1 2 y 27 t 27 5 t 27 5 2 21 5 18 2t 1 9 t 1 2 1 29 当且仅当 t 即 t 2 5 时 y 取得最大值 18 2t 1 1 2 故 2009 年的促销费用投入 2 5 万元时 厂家利润最大 13 2008 北京海淀 今有一长 2 米 宽 1 米的矩形铁皮 如右图 在四个角上分别截去一个边长为 x 米的正 方形后 沿虚线折起 做成一个无盖的长方体水箱 接口连接问题不考虑 1 求水箱容积的表达式 f x 并指出函数 f x 的定义域 2 若要使水箱容积不大于 4x3立方米的同时 又使得底面积最大 求 x 的值 解 1 由已知该长方体水箱高为 x 米 底面矩形长为 2 2x 米 宽 1 2x 米 该水箱容积为 f x 2 2x 1 2x x f x 4x3 6x2 2x 其中正数 x 满足Error Error 0 x 1 2 所求函数 f x 的定义域为 Error Error 2 由 f x 4x3 得 x 0 或 x 1 3 函数 f x 的定义域为Error Error x 1 3 1 2 此时底面积为 S x 2 2x 1 2x 4x2 6x 2 x 1 3 1 2 由 S x 4 2 x 3 4 1 4 可知 S x 在上是减函数 1 3 1 2 x 1 3 答 满足条件的 x 为 米 1 3 14 2008 山东师大附中 已知 f x 是定义在 0 上的单调递增函数 对于任意的 m n m n 0 满足 f m f n f mn 且 a b 0 a b 满足 f a f b 2 f a b 2 1 求 f 1 2 若 f 2 1 解不等式 f x 2 3 求证 3 b 2 2 解 1 令 m n 1 由 f m f n f mn 得 f 1 f 1 f 1 f 1 0 2 f 2 1 f x 2 1 1 f 2 f 2 f 4 又 f x 在 0 上单调递增 0 x 4 f x 2 的解集为 0 4 3 f 1 0 f x 在 0 上单调递增 x 0 1 时 f x 0 又 f a f b f a f b 或 f a f b 0 a b f a f b f a f b f ab 0 ab 1 0 a 11 1 a b 2ab f b 2f a b 2 4b a2 2ab b2 4b b2 2 a2 考虑到 0 a 1 0 4b b2 21 3 b 2 2 15 2008 宁夏 海南 设函数 f x ax a b Z 曲线 y f x 在点 2 f 2 处的 1 x b 切线方程为 y 3 1 求 f x 的解析式 2 证明 函数 y f x 的图象是一个中心对称图形 并求其对称中心 3 证明 曲线 y f x 上任一点的切线与直线 x 1 和直线 y x 所围三角形的面积为定 值 并求出此定值 1 解 f x a 1 x b 2 于是Error Error 解得Error Error 或Error Error 因 a b Z 故 f x x 1 x 1 2 证明 已知函数 y1 x y2 都是奇函数 1 x 所以函数 g x x 也是奇函数 其图象是以原点为中心的中心对称图形 1 x 而 f x x 1 1 1 x 1 可知 函数 g x 的图象按向量 a 1 1 平移 即得到函数 f x 的图象 故函数 f x 的图象 是以点 1 1 为中心的中心对称图形 3 证明 在曲线上任取一点 x0 x0 1 x0 1 由 f x0 1 知 过此点的切线方程为 1 x0 1 2 y x x0 x2 0