定积分计算方法总结

1 摘 要 定积分是数学分析中的一个基本问题 而计算定积分是最基本最重要的问题 它 在许多实际问题有着广泛的应用 下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总 结 常见的包括分项积分 分段积分法 换元积分法 分部积分法 但对于不能直接找出原函数的定积分 或者被积函数比较复杂时 往往是比较 难求出原函数的 从而无法用牛顿 莱布尼兹公式求解 针对这样的情形 本文总结用 欧拉积分求解定积分 留数在定积分上的运用 巧用二重积分求解定积分 反函数求 解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 并列举相应的例子进行 说明 关键词 定积分 被积函数 原函数 牛顿 莱布尼兹公式 2 目目 录录 1 1 引言引言 2 2 定计算的计算方法定计算的计算方法 2 1 分项积分 法 1 2 2 分段积分 法 2 2 3 换元积分法 3 2 4 分部积分法 5 2 5 欧拉积分在定积分计算中的应 用 9 2 6 留数在定积分计算上的应 用 10 2 7 巧用二重积分求解定积 分 10 3 2 8 反函数法求解定积 分 10 2 9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应 用 11 3 3 总总 结结 12 浅谈定积分的计算浅谈定积分的计算 1 1 引言引言 定积分的计算是微积分学的重要内容 其应用十分广泛 它是包括数学及其其 他学科的基础 本文归纳总结了常见的定积分计算方法 如 1 4 其中包括分项积 分法 分段积分法 换元积分法以及分部积分法 另外对于找不出原函数的定积分 或者被积函数十分复杂时 往往是很难求出 其原函数 从而无法用牛顿 莱布尼兹公式求解 针对这样的情形 我们有必要在此 基础上研究出新的计算方法 对此本文总结了一些另外的方法 如 5 9 其中包括 4 欧拉积分求解定积分 运用留数计算定积分 巧用二重积分求解定积分 反函数法 求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 进行了一一列举 并 通过例子加以说明 2 2 定积分的计算方法定积分的计算方法 2 1 分项积分法分项积分法 我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和 若右端的积分会求 则应用法则 1122 f xk g xk gx 其中 是不全为零的任意常数 就可求 1122 bbb aaa f x dxkg x dx kgx dx 1 k 2 k 出积分 这就是分项积分法 b a f x dx 例例 2 1 1 计算定积分 4 1 42 2 1 1 dxxx 解解 利用加减一项进行拆项得 4 1 42 2 1 1 dxxx 22 4 1 42 2 1 1 xx dx xx 4 1 4 2 1 dx x 22 4 1 22 2 1 1 xx dx xx 4 1 4 2 1 dx x 4 1 2 2 1 dx x 4 1 2 2 1 1 dx x 3 1 3x 4 1 2 4 1 2 1 x arctan x 4 1 2 3 64415 arctan 323 例例 2 2 计算定积分 2 1 1 x dx xx 解解 记 J 2 1 1 x dx xx 2 22 1 1 1 xxx dx xx 3 2 2 1 x dx 2 1 1x xdx 再将第二项拆开得 J 3 2 2 1 x dx 3 2 2 1 1 xdx 1 2 2 1 1 xdx 5 2 2 1 2 5 x 5 2 2 1 2 1 5 x 3 2 2 1 2 1 3 x 5 2 2 2 5 2 3 5 2 2 分段积分法分段积分法 分段函数的定积分要分段进行计算 这里重要的是搞清楚积分限与分段 函数的分界点之间的位置关系 以便对定积分进行正确的分段 被积函数中含有绝对值时 也可以看成分段函数 这是因为正数与负数的绝 对值是以不同的方式定义的 0 就是其分界点 例例 2 3 2 计算定积分 2 2 1 1 min cos 2 xx dx 解 由于为偶函数 在上的分界点为 所以 1 min cos 2 x 0 2 3 2 2 1 1 min cos 2 xx dx 2 2 1 min cos 2 xx dx 2 0 1 2min cos 2 x dx 0 32 0 3 1 2 cos 2dx xdx 23 3 例例 2 4 计算定积分 其中 2 0 1 f xdx 1 0 1 1 0 1 x x x x e f x 解解 由于函数的分界点为 所以 令后 有 f x01tx 2 0 1 f xdx 1 1 f t dt 0 1 1 1 xdx e 1 0 1 1 dx x 0 11 x x e dx e 1 0 ln 1 x 0 1 ln 1 x e ln2 ln 1 e 2 3 换元积分法 变量替换法 换元积分法 变量替换法 换元积分法可以分为两种类型 2 3 1 第一类换元积分法 也被俗称为第一类换元积分法 也被俗称为 凑微分法凑微分法 例例 2 5 3 计算定积分 2 1 sintan dx xx 解解 2 1 sintan dx xx 2 1 cos sin 1 cos xdx xx 22 2 1 3 cossin 22 4sincos 22 xx dx xx 6 2 2 1 1tan 2 tan 2 2tan 2 x x d x 2 1 11 tan tan 222 tan 2 xx d x 2 22 11 11 ln tantan 2242 xx 2 1111 lntantan 2424 例例 2 6 计算定积分 2 2 4 0 1 1 x dx x 解解 2 2 4 0 1 1 x dx x 2 2 0 2 2 1 1 1 x dx x x 2 0 2 2 11 1 dx x x x 2 0 2 11 1 2 dx x x x 22 00 11 1 11 2 2 2 2 dxdx xx xx xx 1 2 12 ln 1 02 2 2 x x x x 11 ln 52 2 2 3 2 第二换元积分法第二换元积分法 常用的变量替换有 三角替换 幂函数替换 指数函数替换 倒替 换 下面具体介绍这些方法 三角替换三角替换 例例 2 7 4 计算定积分 3 1 24 0 1 xxdx 解解 由于 故可令 于是 3 1 24 0 1 xxdx 3 1 242 0 1 1 2 xdx 2 sinxt 3 1 24 0 1 xxdx arcsin1 4 0 1 cos 2 tdt 2 arcsin1 0 1 1 cos2 8 t dt 7 arcsin1 0 1 12cos2 8 t 1 cos4 2 t dt arcsin1 0 11 32sin2sin4 164 ttt 2 1 34sin1 sin 16 ttt 22arcsin1 0 sin1 sin 1 sin ttt 2242441 0 1 3arcsin41 1 2 1 16 xxxxxx 224641 0 1 3arcsin5121 16 xxxxx 3 arcsin1 16 幂函数替换幂函数替换 例例 2 8 计算定积分 2 2 0 sin sincos x dx xx 解解 作变量代换 得到 2 xt 因此 2 2 0 sin sincos x dx xx 2 2 0 cos sincos t dt tt 2 2 0 sin sincos x dx xx 22 22 00 1sincos 2sincossincos xt dxdt xxtt 2 0 11 2sincos dx xx 2 0 11 2 2 sin 4 dx x 3 4 4 11 sin2 2 dx x 3 4 4 11 cos ln sin2 2 x x 1 ln 12 2 倒替换倒替换 例例 2 9 计算定积分 3 1 2 21 321 dx xxx 解解 3 1 2 21 321 dx xxx 3 1 2 1 2 2 21 3 dx x xx 8 令得 1 t x 3 1 2 1 2 2 21 3 dx x xx 3 1 21 4 1 dt t 3 1 1 1 arcsin 2 t 6 2 4 分部积分法分部积分法 定理定理 3 13 1 5 若 在上连续 则 x x a b 或 bb b a aa uv dx uvu vdx bb b a aa udv uvvdu 利用分部积分求的解题方法 b a f x dx 1 首先要将它写成得形式 b a udv b a uv dx 或 选择 使用分布积分法的常见题型 u v 表一 被积函数的形式所用方法 x n P x e sin n P xx cos n P xx 其中为次多项式 为常数 n P xn 进行次分部积分 每次均取 n x e 为 多项式部分sinx cosx v x 为 u x n P xln x n P xarcsinx 即多项式与对数函数或 n P xarctan x 取为 n P x v x ln xarcsinx 等为 分部积分一次后被arctan x u x 9 反三角函数的乘机积函数的形式发生变化 x e sinx x e cosx 取 或 x e v x u xsinx 为 或 进行两次分cosx u x v x 部积分 2 多次应用分部积分法 每分部积分一次得以简化 直至最后求出 3 用分部积分法有时可导出的方程 然后解出 b a f x dx 4 有时用分部积分法可导出递推公式 例例 2 10 6 计算定积分 22 2 0 sinxxdx 解解 于 所以 2 1 sin 1 cos2 2 xx 22 2 0 sinxxdx 2 2 0 1 1 cos2 2 xx dx 32 22 0 0 11 sin2 64 xx dx 连续使用分部积分得 22 2 0 sinxxdx 32 22 0 0 111 sin2 sin2 642 xxxxxdx 32 22 0 0 111 sin2 cos2 644 xxxxdx 32 2 0 1111 sin2cos2sin2 6448 xxxxxx 3 488 例例 2 11 7 计算定积分 2 2 0 sin x x exdx 解解 因为 2 0 sin x exdx 2 0 sin x xde 2 0 sin x ex 2 0 cos x xde 所以 2 0 sincos x exx 2 0 sin x exdx 10 于是 2 0 sin x exdx 1 2 2 0 sincos x exx 2 1 1 2 e 2 0 cos x exdx cos x ex 2 0 2 0 sin x exdx 2 0 1 sincos 2 x exx 2 1 1 2 e 从而 2 2 0 sin x x exdx 2 2 0 1 sincos 2 x x dexx 2 2 0 1 sincos 2 x x exx 2 0 sincos x xexx dx 2 2 0 1 sincos 2 x x exx 2 0 1 sincos 2 x xdexx 2 0 1 sincos 2 x xdexx 2 2 0 1 sincos 2 x x exx 2 0 1 sincos 2 x xexx 2 0 1 sincos 2 x exx dx 2 0 1 sincos 2 x xexx 2 0 1 sincos 2 x exx dx 2 2 0 1 sincos 2 x x exx 2 0 cos x xex 2 0 cos x exdx 2 2 0 1 sincos 2 x x exx 2 0 cos x xex 2 0 1 sincos 2 x exx 22 2 0 1 1 sin 1 cos 2 x exxxx 2 2 1 1 242 e 例例 2 12 8 计算定积分 其中为正整数 0 sin n xxdx n 解解 21 2 sin k k xxdx 21 2 sin k k xxdx 作变量替换得2txk 21 2 sin k k xxdx 0 2 sintktdt 11 00 sin2sinttdtktdt 00 0 coscos2costttdtkt 41 k 22 21 sin k k xxdx 22 21 sin k k xxdx 作变量替换得2txk 22 21 sin k k xxdx 2 2 sintktdt 22 sin2sinttdtktdt 2 22 coscos2costtdttdtkt 43 k 当为偶数时 n 0 sin n xxdx 1 2 21 22 2 21 0 sinsin n kk kk k xxdxxxdx 1 2 0 41 43 n k kk 1 22 42 22 nn n 2 n 当为奇数时 n 0 sin n xxdx 3 2 21 22 2 21 1 0 sinsin sin n kkn kkn k xxdxxxdxxx dx 3 2 0 1 41 43 41 2 n k n kk 3 2 0 4 21 21 n k kn 31 1 22 42 21 22 nn n n 2 n 2 5 欧拉积分在定积分计算中的应用欧拉积分在定积分计算中的应用 12 定义定义 2 1 4 形如 的含参变量积分称为函数 或 p q 1 11 0 1 pq xxdx Beta 第一类积分 形如的含参变量积分称为函数 或第Euler 1 0 sx sxe dx Gamma 二类积分 Euler 定理定理 2 2 4 函数与函数之间具有如下关系 BetaGamma p q pq pq 0 0pq 定理定理 2 3 4 余元公式 1 01 sin sss 命题命题 2 1 4 2 0 sincos mm xxdx 11 1 1 22 mn mn 例例 2 13 4 计算 0 1 cos 01 sin1cos xdx k xkx 解解 令 则有 利用三角恒等式可得 1 tantan 212 tkx k 1 tantan 212 xkt k 将其带入原式得 cos cos 1cos tk x kt 2 1 sin 1cos k x kt 2 1 1cos k dxdt kt 0 1 cos sin1cos xdx xkx 2 4 2 0 11cos1 cot 1211cos ktktk dt kkkt 1 11 4 22 3 0 4 1 sincos 22 1 ktt dt k 1 11 4 222 3 0 4 2 1 sincos 1 k ttdt k 11 222 0 11 3 sincos 24 4 ttdt 13 1 44 13 2 44 1 22 sin 4 从而 0 1 cos sin1cos xdx xkx 1 4 3 4 1 2 1 k k 2 6 留数在定积分计算上的运用留数在定积分计算上的运用 例例 2 14 9 计算积分 2 2 0 sin cos d ab 13 解解 令 则 i ze 2 1 sin 2 z iz 2 1 cos 2 z z i dzie d 2 2 0 sin cos d ab 2 22 1 1 1 14 2 z zdz zziz ab z A 2 22 1 1 2 2 z z dz izbzazb A 2 2222 1 2 1 2 z z dz aabaab iz b zz bb A 22 2Re 0Re aab is f zs f z b 22 22 22aab bb 22 2 2 aab b 2 7 巧用二重积分求解定积分巧用二重积分求解定积分 例例 2 15 10 计算积分 1 2 0 ln 1 1 x Idx x 解解因为 所以 1 0 ln 1 1 x xdy xy 11 2 00 11 dxx Idy xxy 11 2 00 1 1 x dydy xyx 1 2 0 11 ln2ln 1 124 yydy y ln2 4 I 故 ln2 8 I 2 8 反函数法求解定积分反函数法求解定积分 定理定理 2 4 11 若函数在上严格单调且连续 其反函数是 f x a b 且 则 1 xfy f a f b 1 b a f x dxbafy dy 定理定理 2 5 11 设在上可积 若 yf x a b f a f b 在上存在反函数 在上可积且 yf x a b 1 xfy y g x