高三数学《基本数学方法》专题复习

用心 爱心 专心 专题九专题九 基本数学方法专题基本数学方法专题 命题趋向命题趋向 数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括 它蕴涵在数学 知识发生 发展和应用的过程中 因此 对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考 查结合进行 通过对数学知识的考查 反映考生对数学思想 方法的理解和掌握程度 考查 时 要从学科整体意义和思想含义上立意 注重通性通法 淡化特殊技巧 有效地检测考生 对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度 一般认为 中学数学基本思想是指渗透在中学数学知识与方法中具有普遍适应性的本质 思想 中学数学涉及的数学思想主要有 函数与方程思想 数形结合思想 分类与整合思想 化归与转化思想 特殊与一般思想 有限与无限思想 或然与必然思想等 数学基本方法主 要有 待定系数法 换元法 配方法 割补法等 数学逻辑方法或思维方法主要有 分析与 综合 归纳与演绎 比较与类比 具体与抽象等 它们是理解 思考 分析与解决数学问题 的普通方法 对数学思想和方法的考查要结合数学知识多层次进行 高考对数学方法的考查突出常规方法和通性通法 不追求对特殊技巧的考查 高考考查 的内容可以划分为三类 他们是数学基础知识 数学思想方法和数学能力 高考是以知识为 载体 以方法为依托 以能力为目的来进行考查的 命题时则是以能力立意 以方法和知识 为素材来进行命题设计的 在一套高考试卷中体现数学方法的试题占有较大的比例 预计 2009 年的高考考查数学基本方法的试题仍会占有较大比例 高考对数学基本方法的考查不会 降低要求 考点透析考点透析 我们结合上面的论述 本专题主要研讨综合法 分析法 反证法 数学 归纳法 换元法 配方法 待定系数法 割补法 构造法 特值法等十种数学基本方法 例题解析例题解析 题型题型 1 1 综合法 由因导果的一种推理论证方法 综合法 由因导果的一种推理论证方法 例例 1 1 1 1 2008 2008 陕西理陕西理 已知函数 2 2sincos2 3sin3 444 xxx f x 1 求函数的最小正周期及最值 f x 2 令 判断函数的奇偶性 并说明理由 3 g xfx g x 分析分析 将三角函数式化为一个角的一个三角函数 解析解析 1 2 sin3 1 2sin 24 xx f x sin3cos 22 xx 2sin 23 x 的最小正周期 f x 2 4 1 2 T 用心 爱心 专心 当时 取得最小值 当时 取得最大 sin1 23 x f x2 sin1 23 x f x 值 2 2 由 2 知 又 2sin 23 x f x 3 g xfx 1 2sin 233 g xx 2sin 22 x 2cos 2 x 2cos2cos 22 xx gxg x 函数是偶函数 g x 点评 本题考查三角恒等变换 三角函数的性质 解题的基本方法就是综合法 点评 本题考查三角恒等变换 三角函数的性质 解题的基本方法就是综合法 例例 1 1 2 2 2008 2008 天津文 理天津文 理 如图 在四棱锥中 底面是矩形 已知PABCD ABCD 3AB 2AD 2PA 2 2PD 60PAB 1 证明平面 AD PAB 2 求异面直线与所成的角的大小 PCAD 3 求二面角的大小 PBDA 分析 1 根据演绎推理的三段论模式 根据有关的已知定理进行推证 注意转化的 思想 2 也得根据异面直线的角的定义这个大前提 作出两异面直线所成的角 在 进行求解 3 根据二面角的定义 作出二面角的平面角 在进行具体的计算 解析 1 在中 由题设 可得PAD 2PA 2AD 2 2PD 于是 在矩形中 又 222 PAADPD ADPA ABCDADAB 所以平面 PAABA AD PAB 2 由题设 所以 或其补角 是异面直线与所成的BCAD PCB PCAD 角 在中 由余弦定理得PAB 22 2cos7PBPAABPA ABPAB AA 由 知平面 平面 AD PABPB PAB 所以 因而 于是是直角三角形 ADPB BCPB PBC 故 7 tan 2 PB PCB BC A B C D P H E 用心 爱心 专心 所以异面直线与所成的角的大小为 PCAD 7 arctan 2 3 过点作于 过点作于 连结 PPHAB HHHEBD EPE 因为平面 平面 所以 又 因而AD PABPH PABADPH ADABA 平面 故为在平面内的射影 由三垂线定理可知 PH ABCDHEPEABCD 从而是二面角的平面角 BDPE PEH PBDA 由题设可得 sin603PHPA Acos601AHPA A 2BHABAH 22 13BDABAD 4 13 AD HEBH BD A 于是在中 RtPHE 39 tan 4 PH PEH HE 所以二面角的大小为 PBDA 39 arctan 4 点评点评 高考数学试题中的绝大多数题目都是通过综合法解决的 综合法是最广泛的一种 解决问题的方法 题型题型 2 2 分析法 执果索引的一种推理论证方法 分析法 执果索引的一种推理论证方法 例例 2 2 1 1 已知函数 若且 证明 tan 0 2 f xxx xx 12 0 2 xx 12 1 22 12 12 f xf xf xx 分析 从结论出发逐步到处已知 分析 从结论出发逐步到处已知 证明证明 欲证 1 22 12 12 f xf xf xx 12 12 1212 1212 1 tantan tan 22 sinsinsin 1 2 coscos1cos xx xx xxxx xxxx 化弦 sin coscos sin cos sin cos cos sin cos xx xx xx xx xx xxxx xx xx 12 12 12 12 12 1212 12 12 21 1 用心 爱心 专心 只要证明 则以上最后一个不等式成立 在题设条件下易得此结01 12 cos xx 论 点评点评 分析分析法是思考问题的一种基本方法 在已知和未知之间的关系不明朗时可以通过 从结论出发探究问题的思路 例例 2 2 2 2 已知是正整数 且 i m n1 imn 1 证明 iiii mn n Am A 2 证明 11 mn nm 分析 分析 题设条件过于简便 不好使用 从结论出发 用分析法 证明证明 1 欲证 ii iiiimn mn ii AA n Am A mn m m m m mi m n n n n ni n 1111 对 mn k 12 i 1 有成立 故上面最后一个不等式成立 nk n mk m 2 欲证 11 00 mnm Cn C nmi n i i n i m i i n 00 ii nn iinm ii AA mn ii 成立 iiii nm m An A 点评 本题从分析要证明的结论入手 轻而易举地解决了问题 题型题型 3 3 反证法 反设结论 导出矛盾的一种推理论证方法 反证法 反设结论 导出矛盾的一种推理论证方法 例例 3 3 1 1 设是公比不相等的两个等比数列 证明数列不 ab nn cab nnn cn 是等比数列 分析 分析 假设结论成立 导致矛盾 证明 假设是等比数列 则有 又设的公比分别是 cnccc 2 2 13 ab nn p q 3311 2 22 babababac nnn 即 a pb qaba pb q 11 2 111 2 1 2 用心 爱心 专心 a pa pb qb qa pa b qa b pb q a b ppqq ab 1 22 111 22 1 22 1 1 2 1 1 2 1 22 1 1 22 11 2 20 00 即 ppqq 22 20 pq 2 0 这与题设的公比不相等矛盾 故数列不是等比数列 pq ab nn cn 点评点评 宜用反证法证明的题型 宜用反证法证明的题型 有 易导出与已知矛盾的命题 一些基本定理 否定性 命题 惟一性 命题 必然性 命题 至少 至多 命题 等 例例 3 3 2 2 20082008 高考江苏高考江苏 1919 1 设是各项均不为零的项 等差 n aaa 21 n4 n 数列 且公差 若将此数列删去某一项得到的数列 按原来的顺序 是等比数列 0 d 当时求的数值 求 的所有可能值 4 n d a1 n 2 求证 对于给定的正整数 存在一个各项及公差均不为零的等差数列 4 nn 其中任意三项 按原来顺序 都不能组成等比数列 n bbb 21 解析 1 当时 中不可能删去首项或末项 否则等差数列中连4n 1234 a a a a 续三项成等比数列 则推出 0d 若删去 则 即化简得 得 2 a 2 314 aa a 2 111 2 3 adaad 1 40ad 1 4 a d 若删去 则 即化简得 得 3 a 2 214 aa a 2 111 3 adaad 1 0ad 1 1 a d 综上 得或 1 4 a d 1 1 a d 当时 中同样不可能删去 否则出现连续三项 5n 12345 a a a a a 1245 a a a a 若删去 则 即化简得 因为 3 a 1524 a aaa 1111 4 3 a adadad 2 30d 所以不能删去 0 d 3 a 当时 不存在这样的等差数列 事实上 在数列中 由6n 12321 nnn a a aaaa 于不能删去首项或末项 若删去 则必有 这与矛盾 同样若 2 a 132nn a aaa 0 d 删去也有 这与矛盾 若删去中任意一个 则必有 1n a 132nn a aaa 0 d 32 n aa 这与矛盾 或者说 当时 无论删去哪一项 剩余的项 121nn a aaa 0 d6n 中必有连续的三项 综上所述 4n 2 假设对于某个正整数 存在一个公差为的项等差数列 其中ndn n bbb 21 用心 爱心 专心 为任意三项成等比数列 则 即 111 xyz bbb 01xyzn 2 111yxz bbb 化简得 2 111 bydbxdbzd 22 1 2 yxz dxzy bd 由知 与同时为或同时不为 1 0bd 2 yxz 2xzy 00 当与同时为时 有与题设矛盾 2 yxz 2xzy 0 xyz 故与同时不为 所以由 得 2 yxz 2xzy 0 2 1 2 byxz dxzy 因为 且为整数 所以上式右边为有理数 从而为有理01xyzn x y z 1 b d 数 于是 对于任意的正整数 只要为无理数 相应的数列就是满足题意要求的 4 nn 1 b d 数列 例如项数列 满足要求 n112 1 2 2 1 1 2n 点评 点评 本题利用考生所熟悉的等差数列 等比数列的知识背景 考查考生分析问题解决 问题的能力 考查创造性解决问题的能力 是一道以能力立意为主的创新型试题 命题 者从 如果一个各项都不为零的三项数列 既是等差数列又是等比数列 则这个数列一 定是常数数列 这个基本事实出发 把这样的数列设计为超过三项 得到了本题的第一 问中的两个问题 第一个小问题 只能删除第二或第三项 第二个小问题是如果这个数 列有五项 则只能删除中间一项 解决这个问题是反证的思想 即 如果删除其它项就 会在数列中出现基本事实 与题目中要求的公差不为零矛盾 这个问题解决后 如果 数列的项数超过五 则无论删除哪一项 都会出现基本事实 产生矛盾 从而使问题解 决 本题的第二问 是一个结论为否定的存在性命题 解决的基本思想是反证 可以说 是一个以数列知识为依托 考查推理与证明的题目 题型题型 4 4 数学归纳法 解决与正整数有关的问题的一个数学方法 经常与归纳法联用 数学归纳法 解决与正整数有关的问题的一个数学方法 经常与归纳法联用 例例 4 4 1 20081 2008 高考天津理高考天津理 在数列与中 数列的前项和 n a n b4 1 11 ba n an 满足 n S 为与的等比中项 03 1 nn SnnS 1 2 n a n b 1 n b Nn 1 求的值 22 b a 2 求数列与的通项公式 n a n b 用心 爱心 专心 3 设 证明 111 21 21 NnbbbT n aaa n n 3 2 2 nnTn 分析 求出数列的前几项 猜测通项公式 用数学归纳法进行证明 解析解析 1 由题设有 解得 由题设又有 121 40aaa 1 1a 2 3a 2 22 1 4ab b 解得 1 4b 2 9b 2 由题设 及 进一步可得 1 3 0 nn nSnS 1 1a 1 4b 2 3a 2 9b 猜想 3 6a 3 16b 4 10a 4 25b 1 2 n n n a 2 1 n bn nN 先证 1 2 n n n a nN 当时 等式成立 当时用数学归纳法证明如下 1n 1 111 2 a 2n 1 当时 等式成立 2n 2 221 2 a 2 假设时等式成立 即 nk 1 2 k k k a 2k 由题设 1 3 kk kSkS 1 1 2 kk kSkS 的两边分别减去 的两边 整理得 从而 1 2 kk kaka 1 22 1 1 1 1 22 kk kkk kkk aa kk 这就是说 当时等式也成立 根据 1 和 2 可知 等式对任1nk 1 2 n n n a 何的成立 2n 综上所述 等式对任何的都成立 1 2 n n n a nN 1 2 n n n a 再用数学归纳法证明 2 1 n bn nN 1 当时 等式成立 1n 2 1 1 1 b 2 假设当时等式成立 即 那么nk 2 1 k bk 222 2 1 1 2 4 1 2 1 1 1 k k k akk bk bk 这就是说 当时等式也成立 根据 1 和 2 可知 等式对任1nk 2 1 n bn 用心 爱心 专心 何的都成立 nN 3 略 点评点评 本题以数列知识为依托 查归纳意识和数学归纳法 例例 5 5 2 2 20082008 浙江理 浙江理 已知数列 n a 记 0 n a0 1 a 22 11 1 nnn aaanN nn aaaS 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21211n n aaaaaa T 求证 当时 Nn 1 1 nn aa 2 2 nSn 3 3 n T 分析 根据给出的递推式试图求出通项在解答显然不现实 可考虑用数学归纳法解决 1 证明 用数学归纳法证明 当时 因为是方程的正根 所以 1n 2 a 2 10 xx 12 aa 假设当时 nk k N 1kk aa 因为 22 1kk aa 22 2211 1 1 kkkk aaaa 2121 1 kkkk aaaa 所以 12kk aa 即当时 也成立 1nk 1nn aa 根据 和 可知对任何都成立 1nn aa n N 2 3 略 点评点评 本题以递推式给出了数列 数学归纳法是解决与递推数列问题的一个有力方法 题型题型 5 5 待定系数法 待定系数法 对于某些数学问题 如果得知所求结果具有某种确定的形式 则可 引进一些尚待确定的系数 或参数 来表示这种结果 然后利用已知条件通过变形与比较 根据恒等关系列出含有待定系数的方程 组 解之即得待定的系数 进而使问题获解 这种常用的数学基本方法称之为待定系数法 待定系数法的实质是方程的思想 这个方 用心 爱心 专心 法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中 从而通过解方程 组 求得未知 数 用待定系数法解题 具有思路清晰 可操作性强等特点 因而在数学各分支中 都 有比较广泛的应用 例例 5 5 1 20081 2008 全国全国 卷文 理卷文 理 双曲线的中心为原点 焦点在轴上 两条渐近线分Ox 别为 经过右焦点垂直于的直线分别交于两点 已知 12 ll F 1 l 12 ll AB 成等差数列 且与同向 OAABOB BF FA 1 求双曲线的离心率 2 设被双曲线所截得的线段的长为 求双曲线的方程 AB4 分析分析 1 利用方程思想 2 待定系数 解析 解析 1 设 OAmd ABm OBmd 由勾股定理可得 222 mdmmd 得 1 4 dm tan b AOF a 4 tantan2 3 AB AOBAOF OA 由倍角公式 解得 2 2 4 3 1 b a b a 1 2 b a 则离心率 5 2 e 2 过直线方程为F a yxc b 与双曲线方程联立 22 22 1 xy ab 将 代入 化简有2ab 5cb 2 2 158 5 210 4 xx bb 22 2 121212 411 4 aa xxxxx x bb 将数值代入 有 2 2 32 528 454 155 bb 解得3b 用心 爱心 专心 最后求得双曲线方程为 22 1 369 xy 点评 点评 本题以双曲线和直线的知识为载体 重点考查方程思想和待定系数法 例例 5 5 2 2 在公差为 的等差数列和公比为的等比数列中 已知d0 d n aq n b 1 11 ba 22 ba 38 ba 1 求实数 的值 dq 2 是否存在常数 使得对于一切自然数 都有成立 若存在 ba nbba nan log 求出的值 若不存在 请说明理由 ba 分析 分析 第一问可以根据方程的思想解决 第二问是一个等式的恒成立问题 就是看是不 是对所有的有没有常数使等式成立 我们就待定这两个系数 n a b 解析解析 1 由已知 1 11 ba 22 ba 38 ba 即 而由于 则解得 2 71 1 qd qd 0 d 6 5 q d 2 由 1 可知 45 nan 1 6 n n b 设存在常数 使得对于一切自然数 都有成立 ba nbba nan log 那么 即 bn n a 1 6log45bnn aa 6log6log45 比较系数可知 即 46log 56log a a b 1 6 5 b a 评析评析 在解决一些存在性问题中 经常通过待定系数法先假设命题成立 结合题意中给 出的信息加以分析和求解 来说明命题成立与否 在数列题中也是经常碰到的一类问 题 题型题型 6 6 换元法 换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法 所谓换元 法 就是在一个比较复杂的数学式子中 用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来 的式子 使它简化 使问题易于解决 例例 6 6 1 1 20082008 高考江西卷高考江西卷 3 3 若函数的值域是 则函数 yf x 1 3 2 的值域是 1 F xf x f x 用心 爱心 专心 A B C D 1 3 2 10 2 3 5 10 23 10 3 3 分析分析 令 将转换为关于 的函数 利用函数的性质解 tf x 1 F xf x f x t 决 解析 令 则 则可化为 tf x 1 3 2 t 1 F xf x f x 11 3 2 ytt t 易知 当时 有最小值 当时有最大值 故函数的值域为1t y23t 3 10 F x 答案 B 10 2 3 点评点评 不换元就没有办法使用函数的性质 例例 6 6 2 2 20082008 高考山东文高考山东文 1515 已知 则 2 3 4 log 3233 x fx 的值等于 8 2 4 8 2 ffff 分析分析 通过换元法将函数解析式求出来解决 解析解析 令 3xt 则 3 logxt 2 3222 2 log 4loglog 32334log 32334log233 log 3 t f ttt 所以 8 2482412388 233144 18642008ffff 点评 点评 本题考查指数与对数的基础知识 换元法的基本思想 运算求解能力 解决的关 键是利用换元法求出函数的解析式 f x 例例 6 6 3 3 20082008 高考江苏卷选考 高考江苏卷选考 在平面直角坐标系中 点是椭圆xOy P xy 上的一个动点 求的最大值 2 2 1 3 x y Sxy 分析分析 三角换元解决 2 2 22 11 33 xx yy 解析解析 根据分析 令 则 故可设动点的坐标为cos sin 3 x y 3cosx P 用心 爱心 专心 其中 3cos sin 02 因此 31 3cossin2 cossin 2sin 223 Sxy 所以 当是 取最大值 6 S2 点评 点评 本题原意是考查椭圆的参数方程的简单应用 但也可以从三角换元的角度解决 例例 6 6 4 4 已知 且 求证 a b cR 1abc 3131313 2abc 分析分析 设 进行均值换元 313131abck 证明 证明 设 313131abck 再设 其中 123 31 3131 333 kkk atbtct 123 0ttt 222 123 31 31 31 333 kkk abcttt 即 解得 22 222222 123123123 2 6 333 kk k ttttttttt 2 6 3 k 3 2k 3131313 2abc 点评点评 本题可以根据平均值不等式或柯西不等式证明 这里的换元法证明也很漂亮 题型题型 7 7 配方法 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧 由于这种配成 完全平 方 的恒等变形 使问题的结构发生了转化 从中可找到已知与未知之间的联系 促成 问题的解决 例例 7 7 1 1 20082008 高考四川卷 高考四川卷 求函数的最大值 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 与最小值 分析分析 三角变换后化为一个角的三角函数 解析解析 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 22 72sin24cos1 cosxxx 22 72sin24cossinxxx 2 72sin2sin 2xx 2 1 sin26x 由于函数在中的最大值为 2 16zu 11 用心 爱心 专心 2 max 1 1610z 最小值为 2 min 1 166z 故当时取得最大值 当时取得最小值sin21x y10sin21x y6 点评点评 本题重点考查的是三角函数恒等变换 但最后问题的解决要依靠配方法 例例 7 7 2 2 2008 2008 福建文 理福建文 理 已知向量且 1 sin cos 1 2 mAA n 0m n 求的值 2 求函数的值域 tan A cos2tansin f xxAx xR 分析分析 1 根据已知列方程 2 变换为一个角的三角函数后配方解决 解析解析 1 sin2cos0tan2m nAAA 2 2 13 cos22sin2 sin 22 f xxxx sin 1 1 xRx 当 有最大值 1 sin 2 x f x 3 2 当 有最小值 sin1x f x3 所以 值域为 3 3 2 点评点评 解决的关键是最后的配方 例例 7 7 3 3 20082008 高考上海理高考上海理 1616 已知双曲线 为上的任意点 2 2 1 4 x Cy PC 1 求证 点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 PC 2 设点的坐标为 求的最小值 A 3 0 PA 分析分析 1 设点 代入公式 计算 2 归结为一个变量的函数 用配方法解决 解析解析 1 设是双曲线上任意一点 该双曲的两条渐近线方程分别是 11 P x y 和 点到两条渐近线的距离分别是和20 xy 20 xy 11 P x y 11 2 5 xy 它们的乘积是 11 2 5 xy 11 2 5 xy 22 1111 2 4 4 555 xyxy 点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数 P 2 设的坐标为 则 x y 222 3 PAxy 用心 爱心 专心 2 2 3 1 4 x x 2 5124 455 x 2x 当时 的最小值为 即的最小值为 12 5 x 2 PA 4 5 PA 2 5 5 点评点评 本题考查例双曲线的几何性质和点到直线的距离公式等基本知识 考查代数与几 何知识的交汇 其中在第二问中使用配方法求最值 题型题型 8 8 割补法 割补法 割补法主要是针对平面图形或空间图形所采用的一种几何变换 其主要 思想是把不规则问题转化为规则问题 这个方法常常用来求不规则平面图形的面积或不 规则空间几何体的体积 例例 8 8 1 1 20082008 高考福建文 理高考福建文 理 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 且侧棱长均为 则3 其外接球的表面积是 分析 分析 将其补成一个正方体 解析 解析 这样的三棱锥实际上是正方体被一个平面所截下来的 我们考虑在原来的正方体 中解决这个问题 设原来的正方体的棱长为 则本题中的三棱锥和原来的正方体具3 有同一个外接球 这个球的直径就是正方体的体对角线 长度为 即球的333 半径是 故这个球的表面积是 3 2 2 3 49 2 点评 点评 三条侧棱两两垂直的三棱锥习惯上称为 直角三棱锥 它就隐含在正方体之中 在解题中把它看作正方体的一个部分 在整个正方体中考虑问题 往往能化难为易 起 到意想不到的作用 例例 8 8 2 2 如图 已知多面体中 两两互相垂直 平面ABCDEFG ABACAD 平面 平面平面 则该ABC DEFGBEF ADGC2ABADDC 1ACEF 多面体的体积为 2468 分析分析 这个几何体即可以看作两个三棱柱拼合而成的 也可以看作是从一个正方体割下 用心 爱心 专心 来的 解析一 割 解析一 割 如图 过点作于 连结 这样就把多面体分割成一CCHDG HEH 个直三棱柱和一个斜三棱柱 于是所求几何体的体积为DEHABC BEFCHG DEHBEF VSADSDE 11 2 122 124 22 解析二 补 解析二 补 如图 将多面体补成棱长为 2 的正方体 那么显然所求的多面体的体积 即为该正方体体积的一半 于是所求几何体的体积为 3 1 24 2 V 点评点评 割补法是我们解决不规则空间几何体体积的最主要的技巧 其基本思想是利用割 补将其转化为规则空间几何体加以解决 题型题型 9 9 构造法 构造法 在解题时 我们常常会采用这样的方法 通过对条件和结论的分析 构 造辅助元素 它可以是一个图形 一个方程 组 一个等式 一个函数 一个等价命题 等 架起一座连接条件和结论的桥梁 从而使问题得以解决 这种解题的数学方法 我 们称为构造法 例例 9 9 1 1 20082008 高考全国卷 高考全国卷 若直线通过点 则1 xy ab cossin M A B C 22 1ab 22 1ab D 22 11 1 ab 22 11 1 ab 分析分析 根据点在直线上可以得到 联想向量的数量积的坐标运算法则 cossin 1 ab 可以构造向量 解析解析 设向量 由题意知 1 1 cos sin a b m n cossin 1 ab 由可得 m nm n 22 cossin1 1 abab 1 点评 点评 平面向量进入高中教材后 其主要的功能就好应用 在高考试题中明着的和暗着 的 使用平面向量的题目很多 注意平面向量的这个特点 例例 9 9 2 2 构造一个函数 构造一个函数 求证 b b a a ba ba 111 用心 爱心 专心 分析分析 根据所证不等式的结构特点 构造函数 利用函数的单调性 0 1 x x x xf 解决 证明证明 设 由 0 1 x x x xfabab 又在上是一个单调递增函数 所以有 f x 0 bafbaf b b a a ba b ba a ba ba ba ba 111111 例例 9 9 3 3 构造一个图形 构造一个图形 求值 cos5cos77cos149cos221cos293 分析分析 注意到成公差为的等差数列 而在向量中涉及角的就5 55 149 221 293 72 是向量的夹角 于是想到通过画有向线段找到这些角 解析解析 以单位长 为边长作正五边形 且与轴正方向夹角为 1 12345 A A A A A 21A Ax5 由正五边形内角 得轴正方向逆时针转到的角分别为108 x 15544332 AAAAAAAA 77 149 221 293 0 1554433221 AAAAAAAAAA 又和向量的投影等于各个向量投影的和 在轴上投影的和为 1554433221 AAAAAAAAAA x0 即 149cos77cos5cos 433221 AAAAAA 0293cos221cos 1554 AAAA cos5cos77cos149cos221cos2930 例例 9 9 4 4 构造一个不等式 构造一个不等式 已知 证明 0a b c 222 2 abcabc bccaab 分析分析 直接用一个式子或两个式子都不好直接构造轮换不等式 观察其结构特点 必须 想办法去掉不等式左端各项的分母 为此可以做变换 在不等式两端都加上 2 abc 即我们证明不等式 这时把拆成 222 2 abcabc abc bccaab 2 abc 用心 爱心 专心 就可以构造轮换不等式了 444 abbcca 证明证明 三式相加即得所证不 2 4 abc a bc 2 4 bca b ca 2 4 cab c ab 等式 点评点评 本题的证明方法具有很大的价值 我们可以使用这个方法证明一些高难度的不等 式 如 1 已知 且 0 i a 12 1 n aaa 求证 2222 112 122311 1 2 nn nnn aaaa aaaaaaaa 提示 提示 等价于证明 22 1112 12 121 44 nn n n aaaaaa aaa aaaa 2 已知 则 0 i x 2222 112 12 231 nn n n xxxx xxx xxxx 提示提示 其余同理 相加即证 2 1 21 2 2 x xx x 题型题型 1010 特值法 所谓特值法是指解题中可以以特殊代替一般而不改变问题本质的一种特值法 所谓特值法是指解题中可以以特殊代替一般而不改变问题本质的一种 方法 方法 特值法的 特值 是泛指 是指能用特殊代替一般的一个解题方法 这些 特值 可以是特殊点 特殊直线 特殊几何图形 特殊函数等 并不一定就是一个特殊的 数 特值法也指可以通过特殊值检验解答选择题的方法 例例 1010 1 1 20082008 高考陕西卷高考陕西卷 1111 定义在上的函数满足R f x 则等于 2f xyf xf yxy xy R 1 2f 3 f A B C D 2369 分析 对给出的式子给予一些特殊值 分析 对给出的式子给予一些特殊值 解析 解析 法一 令 则得 1xn y 1 1 2f nf nfn 即 于是得 则 1 22f nf nn 2 f nnn 3 936f 法二 由已知可得 可猜 0 0 1 2 3 6 3 12ffff 1 2f nf nn 用心 爱心 专心 以下同上 法三 抽象函数问题 对对应法则合理使用 反复赋值求解 2 1 0 1 0 0 0 0ffff 1 11122226 312122 1 212fffffff 312122 1 2312 033332 3336ffffffffff 答案 C 点评点评 特值法是解决抽象函数问题的一个基本方法 例例 1010 2 2 若 则 cnbnann 23222 1 21 n Na b c 分析分析 既然所给等式对任意正整数都成立 必然对其中的一些特殊的正整数成立 故可 以用特值法解决 解析解析 分别令 可得解得 1 2 3n 53927 1248 0 cba cba cba 6 1 2 1 3 1 cba 点评点评 若一个结论对每个集合中的任意的元素都成立 那它必然对这个集合中的一些特 殊元素成立 这就是特值法的依据 数列中有很多这样的问题 例例 1010 3 3 特值法 特值法 20082008 高考重庆卷高考重庆卷 6 6 若定义在上的函数满足 对任意R f x 有 则下列说法一定正确的是 12 x xR 1212 1f xxf xf x A 为奇函数B 为偶函数 f x f x C 为奇函数D 为偶函数 1f x 1f x 分析 分析 根据题目特点可以给以特殊值 找到函数所满足的关系式 12 x x 解析解析 令 则有 再令可得 12 0 xx 0 1f 12 xx xx 所以 选 0 1ff xfx 0 1 1 1 1 f xfxf xfx 即 C 用心 爱心 专心 点评点评 抽象函数问题中 要充分发挥特值法的作用 同时特值法也是高考中快速解得选 择题的一个重要方法 例例 1010 4 4 全国 全国 卷理卷理 4 文文 5 5 若 则 13 1 ln2lnlnxeaxbxcx A B C abccab D bacbca 分析 特值检验 解析 解析 由 令且取知 答案 答案 C C 0ln11 1 xxextln 2 1 tbac 点评 特值法解答选择题有它很大的优越性 点评 特值法解答选择题有它很大的优越性 此外还有判别式法 参数法 比较法 放缩法等适用于一类具体数学问题的方法 此外还有判别式法 参数法 比较法 放缩法等适用于一类具体数学问题的方法 专题训练与高考预测专题训练与高考预测 一 选择题 1 函数的最小值为 2cos3cos cos 2 xxxf A B C D 20 1 4 6 2 已知点在圆上 则的取值范围是 P x y 22 1xy 2yx A B C D 1 1 2 2 5 5 5 5 3 已知数列的通项公式是 其中 均为正常数 那么与的大小 n a 1 bn an anab n a 1 n a 关系是 A B C D 与的取值相关 1 nn aa 1 nn aa 1 nn aan 4 无论为任何实数 二次函数的图像总是过点 m 2 2 yxm xm A B C D 1 3 1 0 1 3 1 0 5 已知长方体的全面积为 其条棱的长度之和为 则这个长方体的一条对角线长111224 为 A B C D 321456 6 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上 则的值为 22 2 16 1 3 xy p 2 2ypx p A B C D 2344 2 用心 爱心 专心 二 填空题 7 函数的最小值是 2 49yxx 8 设是上的函数 且满足 并且对任意实数都有 f xR 0 1f x y 则的表达式是 21 f xyf xyxy f x 9 若 则的大小关系是0 cba 222 log1log1log1abc abc 三 解答题 10 若函数在上存在零点 求实数的取值范围 421 xx f xaa a 11 已知平面 PA ABCD2PAABAD 与交于点 ACBDE2BD 2BCCD 1 取中点 求证 平面 PDFPBAFC 2 求多面体的体积 PABCF 12 数列中 为常数 且 n a 1 1a 2 1 1 2 nnn aaac 1c 1 2 3 n 32 1 8 aa 1 求的值 c 2 证明 1nn aa 3 比较与的大小 并加以证明 1 1 n k k a 1 40 39 n a 参考答案 1 解析 换元 配方 设 则 所以有xtcos 1 1 23 2 ttttf 4 1 2 3 2 ttf 结合二次函数的单调性 可知当时 函数有最小值即为 故选 B 1t f t0 答案 B 2 解析 三角换元 由于 可设 则 22 1xy cos sin x y 用心 爱心 专心 故其取值范围是 2sin2cos5sinyx 5 5 答案 3 解析 特值法 取 则 所以 选 B 1 ba 1 n n an 2 1 1 n n an 1 nn aa 答案 B 4 解析 特值法 判断图像是否经过某点 只需分别把各点坐标代入解析式 能使左右 两边相等的点就在图像上 验算结果只能选 C 本题由于为任何实数 所以也可以取m 较易计算的 如代入得 再把 A B C D 逐项代入检验即可选 C 1m 2 1yxx 答案 C 5 解析 待定系数法 设长方体三条棱长分别为 则有 zyx 11 2 zxyzxy 24 4 zyx 而欲求的对角线长为 因此需将对称式写成基本对称式 222 zyx 222 zyx 及的组合形式 zyx zxyzxy 那么 2 2222 xzyzxyzyxzyx 251162 应选 C 5 222 zyx 答案 C 6 解析 待定系数法 双曲线的左焦点坐标为 抛物线的准 2 3 0 16 p 2 2ypx 线方程为 所以 解得 故选 C 2 p x 2 3 162 pp 4p 答案 C 7 解析 三角换元 由得 2 90 x 33x 故可令 这样做的目的是便于开方 则3sin 2 2 x 2 3sin499sin3sin3cos43 2sin4 4 y 又 所以 所以 3 444 2 sin 1 42 1 3 24 y 答案 1 用心 爱心 专心 8 解析 特值