2011年广东省教研室推荐高考数学必做38套（27） 理

20112011 年广东省教研室推荐高考必做年广东省教研室推荐高考必做 3838 套 套 2727 数学理数学理 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室 号 座位号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷类型 A 填涂在答题卡相应位置上 将条形码 横贴在答题卡右上角 条形码粘贴处 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改 液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再作答 漏涂 错 涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式 锥体的体积公式 其中是锥体的底面积 是锥体的高 1 3 vSh sh 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分分 每小题给出得四个选项中 只有一每小题给出得四个选项中 只有一 项符合题目要求得项符合题目要求得 1 设集合 则 1 3 0 4 x Ax xBx x AB A B C D 3 4 2 1 4 2 i 是虚数单位 若 则乘积的值是 1 7 2 i abi a bR i ab A 15 B 3 C 3 D 15 3 已知中 则ABC 12 cot 5 A cos A A B C D 12 13 5 13 5 13 12 13 4 3 等差数列的前 n 项和为 且 6 4 则公差 d 等于 n a n S 3 S 1 a A 1 B C 2 D 3 5 3 5 已知正四棱柱中 为中点 则异面直线与 1111 ABCDABC D 1 2AAAB E 1 AABE 所成的角的余弦值为 1 CD A B C D 10 10 1 5 3 10 10 3 5 6 已知函数在 R 上满足 则曲线在点 f x 2 2 2 88f xfxxx yf x 处的切线方程是 1 1 f A B C D 21yx yx 32yx 23yx 7 已知直线与抛物线相交于两点 为的焦点 20yk xk 2 8C yx AB FC 若 则 2 FAFB k A B C D 1 3 2 3 2 3 2 2 3 8 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似的 称图 2 中的 1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正 方形数的是 A 289 B 1024 C 1225 D 1378 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 考生作答小题 考生作答 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分 分 一 必做题 11 13 题 9 等差数列的前项和为 且则 n an n S 53 655 SS 4 a 10 的展开式中的系数是 28 2 x x 4 x 11 已知 则向量与向量的夹角是 1 6 2 ababaab 12 阅读图2的程序框图 框图中的赋值符号 也可以写成 或 若输出的的值等于 那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 S16 二 选做题 二 选做题 13 15 题 考生只能从中选做两题 题 考生只能从中选做两题 13 参数方程表示的曲线是 50 1 23 2 2 t ty tx 14 不等式的解集为 125xx 15 几何证明选讲选做题 如图 4 点是圆上的点 且 A B CO 则圆的面积等于 0 4 45ABACB O 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分分 解答须写出文字说明 证明过程和解答须写出文字说明 证明过程和 演算步骤演算步骤 16 本小题满分 10 分 设的内角 的对边长分别为 ABC ABCabc 3 cos cos 2 ACB 求 2 bac B 17 本小题满分 13 分 第 小题 4 分 第 小题 6 分 第 小题 3 分 如图 PCBM是直角梯形 PCB 90 PM BC PM 1 BC 2 又 AC 1 ACB 120 AB PC 直线AM与直线PC所成的角为 60 求证 平面PAC 平面ABC 求二面角BACM 的大小 求三棱锥MACP 的体积 18 本小题满分 13 分 为拉动经济增长 某市决定新建一批重点工程 分别为基础设施工程 民生工程和产业 建设工程三类 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 1 2 1 3 1 6 现在 3 名工人独立地从 中任选一个项目参与建设 I 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率 II 记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数 求 的分布列 及数学期望 19 19 本小题满分 13 分 已知动圆过点 且与圆相内切 C 0 2 A 642 2 2 yxM 1 求动圆的圆心的轨迹方程 C 2 设直线 其中与 1 中所求轨迹交于不同两点 D 与双 l ykxm k mZ B 曲线交于不同两点 问是否存在直线 使得向量 1 124 22 yx E Fl0DFBE 若存在 指出这样的直线有多少条 若不存在 请说明理由 20 本小题满分 13 分 已知函数 2 1 1 ln 1 2 f xxaxax a 讨论函数的单调性 f x 证明 若 则对任意 x x xx 有5a 12 0 1 2 12 12 1 f xf x xx 21 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小 题满分 8 分 已知是公差为的等差数列 是公比为的等比数列 n ad n bq 1 若 是否存在 有说明理由 31 n an mkN 1 mmk aaa 2 找出所有数列和 使对一切 并说明理由 n a n b nN 1n n n a b a 3 若试确定所有的 使数列中存在某个连续项的和 11 5 4 3 adbq p n ap 是数列中的一项 请证明 n b 20112011 年广东省教研室推荐高考必做年广东省教研室推荐高考必做 3838 套 套 2727 数学理参考答案数学理参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分分 1 B 2 B 3 D 4 C 5 C 6 A 7 D 8 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 考生作答小题 考生作答 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分 分 9 3 1 10 1120 11 3 12 5 i 二 选做题 二 选做题 13 15 题 考生只能从中选做两题 题 考生只能从中选做两题 13 线段 14 23 15 8 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 解 由 cos AC cosB 及 B A C 得 3 2 cos AC cos A C 2 分 3 2 cosAcosC sinAsinC cosAcosCsinAsinC 3 2 sinAsinC 4 分 3 4 又由 ac 及正弦定理得 2 b 2 sinsinsin BAC 故 6 分 2 3 sin 4 B 或 舍去 7 分 3 sin 2 B 3 sin 2 B 于是 B 或 B 8 分 3 2 3 又由 知或 2 bac ab cb 所以 B 10 分 3 评析评析 本小题考生得分易 但得满分难 17 解法一 PCAB PCBC ABBCB PCABC 平面 3 分 又 PCPAC 平面 PACABC 平面平面 4 分 取BC的中点N 则1CN 连结 AN MN PMCN MNPC 从而MNABC 平面 6 分 作NHAC 交AC的延长线于H 连结MH 则由三垂线定理知 ACNH 从而MHN 为二面角MACB 的平面角 直线AM与直线PC所成的角为 0 60 0 60AMN 在ACN 中 由余弦定理得 220 2cos1203ANACCNAC CN 在AMN 中 3 cot31 3 MNANAMN 8 分 在CNH 中 33 sin1 22 NHCNNCH 9 分 在MNH 中 12 3 tan 33 2 MN MNMHN NH 故二面角MACB 的平面角大小为 2 3 arctan 3 10 分 由 知 PCMN为正方形 0 113 sin120 3212 P MACA PCMA MNCMACN VVVVAC CNMN 13 分 解法二 同解法一 4 分 在平面ABC内 过C作CDCB 建立空间直角坐标系Cxyz 如图 由题意有 31 0 22 A 设 00 0 0 0Pzz 000 31 0 1 0 0 22 MzAMzCPz 由直线AM与直线PC所成的解为 0 60 得 22 0000 cos60 3 1 2 o AMCPAM CPzzzz 即解得 31 0 0 1 0 22 CMCA 111 nx y z 设平面M AC 的一个法向量为 则 11 11 0 31 0 22 yz yz 取 1 1x 1 3 3 n 得 平面ABC的法向量取为 0 0 1 m 设与所成的角为 则m n 3 cos 7 m n m n 显然 二面角MACB 的平面角为锐角 故二面角MACB 的平面角大小为 21 arccos 7 10 分 取平面PCM的法向量取为 则点 A 到平面PCM的距离 1 1 0 0 n 1 1 3 2 CA n h n 1 1 PCPM 11133 1 1 326212 P ABCDA PCM VVPC PM h 13 分 本题主要考察异面直线所成的角 平面与平面垂直 二面角 三棱锥体积等有关知识 考察 思维能力和空间想象能力 应用向量知识解决数学问题的能力 化归转化能力和推理运算能 力 18 解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程 民生工程和产业建设工程分别为事件 iii A B Ci 1 2 3 由题意知 123 A A A相互独立 123 B B B相互独立 123 C C C相 互独立 ijk A B C i j k 1 2 3 且 i j k 互不相同 相互独立 且 111 236 iii P AP BP C 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P 123 3 P AB C 123 6 P A P B P C 1111 6 2366 3 分 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 由已知 B 3 1 3 且 3 所以 P 0 P 3 33 3 1 3 C 1 27 P 1 P 2 2 3 C 2 1 3 2 3 2 9 P 2 P 1 1 3 C 1 3 2 2 3 4 9 P 3 P 0 0 3 C 3 2 3 8 27 9 分 故 的分布列是 0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 11 分 的数学期望 E 1 0 27 2 1 9 4 2 9 8 3 27 2 13 分 解法 2 记第i名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件 i D i 1 2 3 由已知 123 D D D相互独立 且 P i D ii AC P i A P i C 1 2 1 6 2 3 所以 2 3 3 B 即 3 3 21 33 kkk PkC 0 1 2 3 k 故 的分布列是 0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 19 解 解 1 圆 圆心的坐标为 半径 642 2 2 yxMM 0 28 R RAM 4 点在圆内 0 2 AM 设动圆的半径为 圆心为 依题意得 且 CrCCAr rRCM 即 2 分 AMCACM 8 圆心的轨迹是中心在原点 以两点为焦点 长轴长为的椭圆 设其方程为CMA 8 则 01 2 2 2 2 ba b y a x 2 4 ca 12 222 cab 所求动圆的圆心的轨迹方程为 4 分 C1 1216 22 yx 2 由 消去化简整理得 1 1216 22 yx mkxy y 0484843 222 mkmxxk 6 分 设 则 11 B x y 22 D xy 12 2 8 34 km xx k 7 分 1 04844348 22 2 mkkm 由 消去化简整理得 1 124 22 yx mkxy y 01223 222 mkmxxk 9 分 设 则 4433 yxFyxE 2 43 3 2 k km xx 10 分 2 012342 22 2 mkkm 0BEDF 即 4231 0 xxxx 1234 xxxx 22 3 2 43 8 k km k km 或 02 km 22 3 1 43 4 kk 解得或 0k 0m 当时 由 得 0k 3232 m Z Z m 的值为 m2 3 1 013 2 当 由 得 0m 33 k Z Z k 1 0 1 k 满足条件的直线共有 9 条 13 分 20 解 1 的定义域为 f x 0 2 分 2 11 1 1 axaxaxxa fxxa xxx 若即 则11a 2a 2 1 x fx x 故在单调增加 3 分 f x 0 若 而 故 则当时 1 1a 1a 12a 1 1 xa 0fx 当及时 0 1 xa 1 x 0fx 故在单调减少 在单调增加 4 分 f x 1 1 a 0 1 1 a 若 即 同理可得在单调减少 在单11a 2a f x 1 1 a 0 1 1 a 调增加 5 分 考虑函数 g xf xx 9 分 2 1 1 ln 2 xaxaxx 则 10 分 2 11 1 2 1 1 1 1 aa g xxaxaa xx g 由于 1 a 5 故 即在 0 单调增加 从而当时有 0g x g x 12 0 xx 即 故 当 12 0g xg x 1212 0f xf xxx 12 12 1 f xf x xx 时 有 12 0 xx 1221 1221 1 f xf xf xf x xxxx 13 分 21 解 1 由 2 分 1 6531 mmk aaamk 得 整理后 可得 为整数 4 2 3 km mkN 2km 不存在 使等式成立 5 分 mkN 2 解法一 若即 1 n n n a b a 1 1 1 1 1 n and bq and 若 1 1 0 1 n n dbqb 则 当为非零常数列 为恒等于 1 的常数列 满足要求 7 分 n a n b 若 式等号左边取极限得 式等号右边的极0d 1 1 lim1 1 n and and 限只有当时 才可能等于 1 此时等号左边是常数 矛盾 1q 0d 综上所述 只有当为非零常数列 为恒等于 1 的常数列 满足要求 n a n b 10 分 解法二 设 若 对都成立 且为等比数列 n andc 1n n n a b a n n b 则 对都成立 即 21 1 nn nn aa q aa n 2 21nnn a aqa 对都成立 2 2 dnc dndcq dndc n 7 分 2