电磁场与电磁波基础知识总结

1 电磁场与电磁波总结电磁场与电磁波总结 第一章第一章 一一 矢矢量量代代数数 AB ABcos ABsin A B C B C A C A B AB AB e CACCABCBA 二二 三三种种正正交交坐坐标标系系 1 直角坐标系 矢量线元 矢量面元 xyz leeedxyz Seee xyz ddxdydzdxdxdy 体积元 dV dx dy dz 单位矢量的关系 eee xyz eee yzx eee zxy 2 圆柱形坐标系 矢量线元l 矢量面元 leeezddddz eezdSd dzd d 体积元 单位矢量的关系dzdddV eeeee eeee zzz 3 球坐标系 矢量线元 dl erdr e rd e rsin d 矢量面元 dS er r2sin d d 体积元 单位矢量的关系 ddrdrdVsin 2 eeeee eeee rrr 三三 矢矢量量场场的的散散度度和和旋旋度度 1 通量与散度 AS S d 0 lim AS AA S v d div v 2 环流量与旋度 Al Al d max n 0 rot lim Al A e Al S d S 3 计算公式 A y xz A AA xyz 11 z A A A z A 2 2 111 sin sinsin A r A r AA rrrr xyz eee A xyz xyz AAA 1 z z z AAA eee A 2 1 sin sin r rz rr A r ArA eee A 4 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理 ASA AS V ddV AlAS Al S dd 四四 标标量量场场的的梯梯度度 1 方向导数与梯度 0 0 0 lim l P u Mu Mu ll 0 coscoscos P uuuu lxyz 2 cos eluu grad eee e nxyz uuuu u nxyz 2 计算公式 eee xyz uuu u xyz 1 eeez uuu u z 11 sin eee r uuu u rrrz 五五 无无散散场场与与无无旋旋场场 1 无散场 0 A FA 2 无旋场 0 u u F 六六 拉拉普普拉拉斯斯运运算算算算子子 1 直角坐标系 222 22222 222 222 222222 222 222222222 Aeee xxyyzz yyy xxxzzz xyz uuu uAAA xyz AAA AAAAAA A A A xyzxyzxyz 2 圆柱坐标系 22 2 222 2222 2222 11 1212 Aeeez z uuu u z AA AAAAA 3 球坐标系 2 22 22222 111 sin sinsin uuu ur rrrrr A r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r rrr 22222 2 22222 2 2222 22 sin cos2 sin 1 sin 2 sin cos2 sin 12 sin 22cot22 e e eA 七七 亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理 如果矢量场 F 在无限区域中处处是单值的 且其导数连续有界 则当矢量场的 和 即矢量场在有限区域散度旋度边界条件 V 边界上的分布 给定后 该矢量场 F 唯一确定为 F rrA r 其中 1 4 F r r rr V dV 1 4 F r A r rr V dV 第二章第二章 一一 麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组 1 静电场 真空中 00 1 d V q dV ASE S 高斯定理 d0 l El A 0 E 0 E 场与位 3 0 1 4 V dV rr E rr rr E 0 1 d 4 V V r r rr 3 介质中 d DS AS q d0 l El A D 0 E 极化 0 DEP e00 1 DEEE r P e PSnn P P P 2 恒定电场 电荷守恒定律 Vs dv dt d dt dq dsJ 0 J t 传导电流与运流电流 JE Jv 恒定电场方程 d0 JS AS d0 Jl Al 0 J0 J 3 恒定磁场 真空中 0 d Bl Al I 安培环路定理 d0 SB S A0 BJ 0 B 场与位 0 3 d 4 J rrr B r rr V V BA 0 d 4 J r A r rr V V 介质中 d Hl Al I d0 SB S A HJ0 B 磁化 0 B HM m00 1 BH H H r m JM msn JMe 4 电磁感应定律 dd in lC d vBdl dt AA S ElBS 法拉第电磁感应定律 B E t 5 全电流定律和位移电流 全电流定律 d d D HlJS Al S t D HJ t 位移电流 d D J d dt 6 Maxwell Equations d d dd dd 0 D HJS B ES DS BS A A A A lS lS SV S l t l t V d 0 D HJ B E D B t t 0 E HE H E E H t t 二二 电电与与磁磁的的对对偶偶性性 em em em eemm eemm me 00 BD EH DB HJEJ DB DB tt tt m e e m B EJ D HJ D B t t 三三 边边界界条条件件 1 一般形式 4 1212 1212 0 0 nnS nSn eEE eHHJ eDDeBB 2 理想导体界面和理想介质界面 1 1 1 1 0 0 eE eHJ eD eB n nS nS n 12 12 12 12 0 0 0 0 eEE eHH eDD eBB n n n n 第三章第三章 一一 静静电电场场分分析析 1 位函数方程与边界条件 位函数方程 22 0 电位的边界条件 媒质 2 为导体 12 12 12 s nn 1 1 1 s const n 2 电容 定义 两导体间的电容 任意双导体系统电容求解方法 q C Cq U 3 静电场的能量 N 个导体 连续分布 电场能量密度 1 1 2 n eii i Wq 1 2 e V WdV 1 2 D E e 二二 恒恒定定电电场场分分析析 1 位函数微分方程与边界条件 位函数微分方程 边界条件 2 0 12 12 12 nn 12 0 eJJ n 12 12 0 JJ en 2 欧姆定律与焦耳定律 欧姆定律的微分形式 焦耳定律的微分形式 JE E J V PdV 3 任意电阻的计算 22 11 dd 1 ElEl JSES SS U R GI dd L R S 4 静电比拟法 GC 22 11 DSES ElEl AA SS dd q C U dd 22 11 d dd JSES ElEl SS d I G U 三三 恒恒定定磁磁场场分分析析 1 位函数微分方程与边界条件 22 11 DSES ElEl AA SS dd q C U dd 5 矢量位 2 AJ 1212 12 11 AAeAAJ ns 标量位 2 0 m 21 1221 mm mm nn 2 电感 定义 dd BSAl A Sl L III 0 i LLL 3 恒定磁场的能量 N 个线圈 连续分布 磁场能量密度 1 1 2 N mjj j WI m 1 d 2 A J V WV m 1 2 H B 第四章第四章 一一 边边值值问问题题的的类类型型 1 狄利克利问题 给定整个场域边界上的位函数值 f s 2 纽曼问题 给定待求位函数在边界上的法向导数值 f s n 3 混合问题 给定边界上的位函数及其向导数的线性组合 2 112 f sfs n 4 自然边界 有限值lim r r 二二 唯唯一一性性定定理理 静电场的惟一性定理 在给定边界条件 边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布 下 空间静电场被唯一确定 静电场的唯一性定理是镜像法和分离变量法的理论依据 三三 镜镜像像法法 根据唯一性定理 在不改变边界条件的前提下 引入等效电荷 空间的电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到 这 些等效电荷称为镜像电荷 这种求解方法称为镜像法 选择镜像电荷应注意的问题 镜像电荷必须位于待求区域边界之外 镜像电荷 或电流 与实际电荷 或电流 共同作用保持原边界条件不 变 1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 二者对称分布 qq 2 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像 由两个半无限大接地导体平面形成角形边界 当其夹角 为整数时 该角域中的点电荷将有 2n 1 个镜像电荷 n n 3 点电荷对接地导体球面的镜像 a qq d 2 a b d 4 点电荷对不接地导体球面的镜像 a qq d 2 a b d 位于球心 a qqq d 5 电荷对电介质分界平面 a d q q C r b P r 1 r 2 r R R 6 qq 21 21 21 21 q 四四 分分离离变变量量法法 1 分离变量法的主要步骤 根据给定的边界形状选择适当的坐标系 正确写出该坐标系下拉普拉斯方程的表达式及给定的边界条件 通过变量分离将偏微分方程化简为常微分方程 并给出含有待定常数的常微分方程的通解 利用给定的边界条件确定待定常数 获得满足边界条件的特解 2 应用条件 分离变量法只适合求解拉普拉斯方程 3 重点掌握 1 直角坐标系下一维情况的解 通解为 2 2 0 d dx AxB 2 圆柱坐标系下一维情况的解 通解为 1 0 dd r r drdr lnArB 3 球坐标系下轴对称系统的解 22 22 11 sin 0 sin r rrrr 通解为 1 0 cos nn nnn n rA rB rP 其中 2 012 cos 1 cos cos cos 3cos1 2 PPP 第五章第五章 一一 时时谐谐场场的的 Maxwell Equations 1 时谐场的复数描述 E rErererer j tj tj tj t mxxmyymzzm tReeReEeEeEe 2 Maxwell Equations 0 HD EB D B Jj j 0 HE EH E H j j 二二 媒媒质质的的分分类类 分类标准 tan E Ej 当 即传导电流远大于位移电流的媒质 称为良导体 tan1 当 即传导电流与位移电流接近的媒质 称为半导体或半电介质 tan1 当 即传导电流远小于位移电流的媒质 称为电介质或绝缘介质 tan1 三三 坡坡印印廷廷定定理理 7 1 时谐电磁场能量密度为 2 11 22 E D e E 2 11 22 H B m H 2 EJpE 1 2 11 Re Re Re 44 eavmav E DB HJ E av wwp 22 11 22 EtHt 2 能流密度矢量 瞬时坡印廷矢量 平均坡印廷矢量 SEH 1 Re 2 SEH av 3 坡印廷定理 EHS AS VV d ddVpdV dt 四四 波波动动方方程程 及及其其解解 1 有源区域的波动方程 1 2 2 2 tt JE EJ H H 2 2 2 t 特解 1 d 4 rr G r F r rr V t v tv 在无源区间 两个波动方程式可简化为齐次波动方程 22 22 22 0 0 EH EH tt 复数形式 亥姆霍兹方程 22 0 E E k 22 0 H H k 五五 达达朗朗贝贝尔尔方方程程及及其其解解 时谐场的位函数 BA A E t 达朗贝尔方程 库仑规范 J A A 2 2 2 t 2 2 2 t A t 复数形式 22 AAJk 22 k 特解 1 4 4 r rr r J rr A rr rrrr jkjk VV e e dVdV 六六 准准静静态态 场场 似似稳稳场场 1 准静态场方程 00 B HEEBD t 特点 位移电流远小于传导电流 准静态场中不可能存在自由体电荷分布 D JE t 2 缓变电磁场 低频电路理论 随时间变化很慢 或者频率很低的电磁场 低频电路理论就是典型的缓变电磁场的实例 根据准静态方程第一方程 两边取散度有 基尔霍夫电流定律 1 000 JJS A N j S j di 8 位函数满足 2 0 AJu 符合静态场的规律 这就是 似稳 的含义 基尔霍夫电压定律 dddd JA Ellll AAAAa llll t 1 0 N j j U 3 场源近区的准静态电磁场 如果观察点与源的距离相当近 则 j 21 e1 kr r kr 近区场条件 1 4 4 J rr A rr rrrr VV dVdV 11 26 r k 第六章第六章 一一 基基本本极极子子的的辐辐射射 1 电偶极子的远区场 j0 sin je 2 kr I l E r j sin je 2 kr I l H r 2 磁偶极子的辐射 2 sin jkr IS Ee r 2 sin jkr IS He r 二二 天天线线参参数数 1 辐射功率 1 2 SSEHS AArav S S PdRed 电偶极子的辐射功率 2 22 80 r l P I 2 辐射电阻 r L 2 2 P R I 电偶极子的辐射电阻 2 2 80 r l R 3 效率 rrr A inrLrL PPR PPPRR 4 方向性函数 maxmax f f rE rE F 电偶极子的方向性函数为 sin F 功率方向性函数 如下图 2 p FF 2 0 52 0 5 0 5 主主射射方方向向 主主瓣瓣 背背瓣瓣 副副瓣瓣 零零射射方方向向 零零射射方方向向 1 主主射射方方向向 主主瓣瓣 背背瓣瓣 副副瓣瓣 零零射射方方向向 零零射射方方向向 1 0 5 主瓣宽度 两个半功率点的矢径间的夹角 元天线 0 5 2 0 5 2 0 0 5 290 副瓣电平 S0为主瓣功率密度 S1为最大副瓣的功率密度 1 0 10 S SLL lgdB S 前后比 S0为主瓣功率密度 Sb为最大副瓣的功率密度 0 b 10 S FB lgdB S 9 5 方向性系数 2 2 0 0 4 d sin d D F 电偶极子方向性系数的分贝表示 D 10lg1 5 dB 1 64dB 6 增益 A GD 10 dB GlgG 三三 对对称称天天线线 1 对称天线的方向图函数 cos cos cos sin klkl F 2 半波对称天线 cos cos 60 2 sin jkrm I Eje r cos cos 2 2sin jkrm I Hje r 方向性函数为 coscos 2 sin F 辐射电阻为 方向性系数 D 10lg1 64 dB 2 15dB73 1 r R 四四 天天线线阵阵 1 天线阵的概念 为了改善和控制天线的辐射特性 使用多个天线按照一定规律构成的天线系统 称为天线阵或阵列天线 天线阵的辐射特性取决于 阵 元的类型 数目 排列方式 间距 电流振幅及相位和阵元的取向 2 均匀直线阵 均匀直线式天线阵 若天线阵中各个单元天线的类型和取向均相同 且以相等的间隔 d 排列在一条直线上 各单元天线的电流振幅均为 I 但相位依次逐一滞后或超前同一数值 这种天线阵称为均匀直线式天线阵 1 均匀直线阵阵因子 sin cos 2 1 sin cos 2 n kd AF kd 2 方向图乘法原理 1 FAFf 第七章第七章 一一 沿沿任任意意方方向向传传播播的的均均匀匀平平面面波波 000 1 k rn rn r EE EHnE jjkjk eee 其中 n 为传播矢量 k 的单位方向 即电磁波的传播方向 xxyyzz kkkk kneee xyz xyz reee 二二 均均匀匀平平面面波波在在自自由由空空间间中中的的传传播播 对于无界空间中沿 z 方向传播的均匀平面波 即 Ee e x jjkz xxxxm zEE ee 1 瞬时表达式为 Re cos Ee e x jjkzj t xxmxxmx z tE eeeEtkz 10 2 相速与波长 非色散 2 k 2 k 1 p rr c v k 3 场量关系 0 0 1 120 HeEE He zz 4 电磁波的特点 TEM 波 电场 磁场同相 振幅不变 非色散 磁场能量等于电场能量 三三 均均匀匀平平面面波波在在导导电电媒媒质质中中的的传传播播 对于导电媒质中沿 z 方向传播的均匀平面波 即 其中为衰减因子 Eee zj z xxxxm EE ee j z e 1 波阻抗 1 2 j 1e j cc j 2 衰减常数 11 2 2 w w 3 相位常数 11 2 2 w w 4 相速 w v 5 电磁波的特点 TEM 波 电场 磁场有相位差 振幅衰减 色散 磁场能量大于电场能量 四四 良良导导体体中中的的均均匀匀平平面面波波特特性性 1 对于良导体 传播常数可近似为 f 2 2 相速与波长 色散 p p 22 2 v v ff 3 趋肤深度 导体的高频电阻大于其直流电阻或低频电阻 111 2 d f 4 良导体的本征阻抗为 C C 4 j 1j j j ff e 良导体中均匀平面电磁波的磁场落后于电场的相角 45 五五 电电磁磁波波的的极极化化 1 极化 电场强度矢量的取向 设有两个同频率的分别为 x y 方向极化的电磁波 1 2 cos cos xxm yym EEtkz EEtkz 2 线极化 分量相位相同 或相差则合成波电场表示直线极化波 x E y E180 11 3 圆极化 分量振幅相等 相位差为 合成波电场表示圆极化波 x E y E90 旋向的判断 左旋 右旋 2 yx 2 yx 4 椭圆极化 分量振幅不相等 相位不相同 合成波电场表示椭圆极化波 x E y E 六六 均均匀匀平平面面波波对对分分界界面面的的垂垂直直入入射射 1 反射系数与透射系数 2c1c 2c1c rm im E E 2c 2c1c 2 tm im E E 2 对理想导体界面的垂直入射 0 1 合成波为纯驻波 3 对理想介质界面的垂直入射 合成波为行驻波 透射波为行波 驻波系数 max min 1 1 E S E 4 对多层介质界面的垂直入射 1 3 层等效波阻抗 322 ef2 232 tan tan jd jd 2 四分之一波长匹配层 无反射 2 1 213 40 d R 照相机镜头上的涂敷层消除反射的原理 3 半波长介质窗 2 1 31 1 2 13 0 2 1 tmim Rd EE TT 雷达天线罩消除电磁波反射的原理 七七 均均匀匀平平面面波波在在界界面面上上的的斜斜入入射射 1 反射定律与和折射定律 ir 11 22 sin sin t i kn kn 1122 12 cccc nknk vv 2 垂直极化波和平行极化波的反射系数与透射系数 2i1t 2i1t 2i 2i1t coscos coscos 2cos coscos R T 2 i21i 2 i21i i 2 i21i cos s