2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷解析版）

1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 福建卷 解析年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 福建卷 解析 版 版 本试卷分第本试卷分第 卷 卷 选择题 和第选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第卷 非选择题 两部分 第 卷卷 1 1 至至 2 2 页 第页 第 卷第卷第 3 3 至至 6 6 页 第页 第 卷第卷第 2121 题为选考题 其他题为必考题 满分题为选考题 其他题为必考题 满分 150150 分 分 注意事项 注意事项 1 1 答题前 考生务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的准考证号 姓名 答题前 考生务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的准考证号 姓名 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 准考证号 姓名准考证号 姓名 与考生本人准考与考生本人准考 证号 姓名是否一致 证号 姓名是否一致 2 2 第第 卷每小题选出答案后 用卷每小题选出答案后 用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 第需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 第 卷用卷用0 50 5 毫米黑色签字毫米黑色签字 笔在答题卡上书写作答 在试题卷上作答 答案无效 笔在答题卡上书写作答 在试题卷上作答 答案无效 3 3 考试结束 考生必须将试题卷和答题卡一并交回 考试结束 考生必须将试题卷和答题卡一并交回 参考公式 样本数据 x1 x2 xa的标准差 锥体体积公式 222 12 1 n sxxxxxx n 1 3 VSh 其中为样本平均数 其中 S 为底面面积 h 为高x 柱体体积公式 球的表面积 体积公式 V Sh 23 4 4 3 SR VR 其中 S 为底面面积 h 为高 其中 R 为球的半径 第 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 虚数单位 若集合 S 则i 1 0 1 A B C D iS 2 iS 3 iS 2 S i 2 若 aR 则 a 2 是 a 1 a 2 0 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 C 既不充分又不必要条件 答案 A 解析 a 2 a 1 a 2 0 充分 反之 a 1 a 2 0 a 2 不必要 故选 A 2 3 若 tan 3 则的值等于 2 sin2 cos a A 2 B 3 C 4 D 6 答案 D 解析 故选 D 22 sin22sincos2sin 2tan6 coscoscosaa 4 如图 矩形 ABCD 中 点 E 为边 CD 的中点 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q 则点 Q 取自 ABE 内部的概率等于 A B 1 4 1 3 C D 1 2 2 3 答案 C 解析 矩形 ABCD 的面积 ABE 的面积 点 Q 取SABBC 1 2 ABE SABBC A 自 ABE 内部的概率等于故选 C 1 1 2 2 ABBC ABBC 5 2x dx 等于 1 0 x e A 1 B e 1 C e D e 1 7 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1 F2 若曲线 r 上存在点 P 满足 4 3 2 则曲线 r 的离心率等于 1122 PFFFPF A B 或 2 C 2 D 13 22 或 2 3 1 2 或 23 32 或 答案 A 解析 设 PF1 4k PF2 2k F1F2 3k 若圆锥曲线为椭圆时 G 即 于是 若圆锥曲线为双曲422 23kkack 3 3 2 ak ck 3 1 2 32 k c e ak G 3 线时 即 于是故选 A422 23kkack 3 2 ak ck 3 3 2 2 k c e ak 8 已知 O 是坐标原点 点 A 1 1 若点 M x y 为平面区域上的一个动点 2 1 2 xy x y 则的取值范围是OA OM A 1 0 B 0 1 C 0 2 D 1 2 10 已知函数 对于曲线 y 上横坐标成等差数列的三个点 A B C 给出 f x x ex f x 以下判断 ABC 一定是钝角三角形 ABC 可能是直角三角形 ABC 可能是等腰三角 形 ABC 不可能是等腰三角形 其中 正确的判断是 A B C D 答案 B 解析 设 A B C 坐标分别为 则中点 CAB xxx AABBCC xexxexxex AC 为 由横坐标成等差数列得 得中点 P 22 CA xx ACAC xxexex 2 AC B xx x AC 2 CA xx BB ee xx 由得 2 22 CCAA xxxx BB eeee xx 2 2 AC B xx x BB e xex x f xex 4 则 在上递增 即 B 在下方 故 正确 1 x fxe 0fx f xRAC 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4分 共 20 分 把答案填在答题卡的相应位置 11 运行如图所示的程序 输出的结果是 13 何种装有形状 大小完全相同的 5 个球 其中红色球 3 个 黄色球 2 个 若从中随机 取出 2 个球 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 答案 3 5 解析 随机取出 2 球有 取出的 2 个球颜色不 同有 所取出的 2 2 5 10C 11 23 6CC 个球颜色不同的概率 63 105 p 14 如图 ABC 中 AB AC 2 BC 点 D 在 BC 边上 ADC 45 2 3 则 AD 的长度等于 答案 2 解析 过 A 作于 E AB AC E 为 BC 中点 BC 所AEBC 2 3 以 CE 在中 在中 3 Rt AECA 2 222 231AEACCE Rt AEDA ADC 45 所以22AdAE 15 设 V 是全体平面向量构成的集合 若映射满足 对任意向量 f VR 11 ax yV 以及任意 R 均有 22 bxyV 则称映射具有性质 P 现先给出如下映射 1 1 fabf af b f 11 fVR f mxy mx yV 5 2 22 fVR fmxy mx yV 33 1 fVR f mxymx yV 其中 具有性质 P 的映射的序号为 写出所有具有性质 P 的映射的序号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 已知等比数列 an 的公比 q 3 前 3 项和 S3 I 求数列 an 的 13 3 通项公式 II 若函数在处取得最大 sin 2 0 0 f xAxAp 6 x 值 且最大值为 a3 求函数的解析式 f x 解析 本小题主要考查等比数列 三角函数等基础知识 考查运算求解能力 考查函 数与方程思想 满分 13 分 I 由得 解得 所以 3 13 3 3 qS 3 1 1 3 13 1 33 a 1 1 3 a 12 1 33 3 nn n a II 由 I 可知 所以 因为函数的最大值为 3 所以 3 2 3n n a 3 3a f xA 因为当时取得最大值 所以 又故 6 x f xsin 2 1 6 0 6 所以函数的解析式为 f x f x3sin 2 6 x 17 本小题满分 13 分 已知直线 l y x m m R I 若以点 M 2 0 为圆心的圆与直 线 l 相切与点 P 且点 P 在 y 轴上 求该圆的方程 II 若直线 l 关于 x 轴对称的直线 6 为 问直线与抛物线 C x2 4y 是否相切 说明理由 l l 本小题主要考查直线 圆 抛物线等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 分类与整合思想 满分 13 分 II 同解法一 18 本小题满分 13 分 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量 y 单位 千克 与销售价格 x 单位 元 千克 满足关系式 其中 2 10 6 3 a yx x 3 x 6 a 为常数 已知销售价格为 5 元 千克时 每日可售出该商品 11 千克 I 求 a 的 值 II 若该商品的成品为 3 元 千克 试确定销售价格 x 的值 使商场每日销售该商品所 获得的利润最大 本小题主要考查函数 导数等基础知识 考查运算求解能力 应用意识 考查函数与方程 思想 数形结合思想 化归与转化思想 满分 13 分 解析 I 因为时 所以5x 11y 1011 2 2 a a II 由 I 可知 该商品每日的销售量 2 2 10 6 3 yx x 所以商场每日销售该商品所获得的利润 22 2 10 3 6 2 10 3 6 3 f xxxxx x 从而36 x 2 10 6 2 3 6 30 4 6 fxxxxxx 于是 当变化时 的变化情况如下表 x fxf x 7 x 3 4 4 4 6 fx 0 f x单调递增极大值 42单调递减 由上表可得 是函数在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以当4x f x 4x 时 函数取得最大值 且最大值等于 42 f x 答 当销售价格为 4 元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 19 本小题满分 13 分 某产品按行业生产标准分成 8 个等级 等级系数 X 依次为 1 2 8 其中 X 5 为标准 A X 3 为标准 B 已知甲厂执行标准 A 生产该产品 产 品的零售价为 6 元 件 乙厂执行标准 B 生产该产品 产品的零售价为 4 元 件 假定甲 乙两厂得产品都符合相应的执行标准 I 已知甲厂产品的等级系数 X1的概率分布列如下 所示 1 X 5678 P0 4ab0 1 且的数字期望 6 求 a b 的值 1 X 1 EX 解析 本小题主要考查概率 统计等基础知识 考查数据处理能力 运算求解能力 应用意识 考查函数与方程思想 必然与或然思想 分类与整合思想 满分 13 分 解 I 因为 所以 即又由的 1 6Ex 5 0 4678 0 16ab 673 2ab 1 X 概率分布列得 即由解得0 40 11ab 0 5ab 673 2 0 5 ab ab 3 2 0 2 a b II 由已知得 样本的频率分布表如下 8 2 x 345678 f0 30 20 20 10 10 1 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 可得等级系数的概率分布列 2 X 如下 2 x 345678 P0 30 20 20 10 10 1 所以 222222 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 EXP XP XP XP XP X 3 0 3 4 0 2 5 0 2 6 0 1 7 0 1 8 0 1 4 8 即乙厂产品的等级系数 2 8 8 P X 的数学期望等于 4 8 乙厂的产品更具 可购买性 理由如下 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等 于 6 价格为 6 元 件 所以其性价比为 1 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 6 6 4 8 价格为 4 元 件 所以其性价比为 1 2 据此 乙厂的产品更其可购买性 4 8 4 20 本小题满分 14 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD 四边形 ABCD 中 AB AD AB AD 4 CD 2 45CDA I 求证 平面 PAB 平面 PAD II 设 AB AP i 若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 求线段 AB 的长 ii 在线段 AD 上是否存在一个点 G 使得点 G 到点 30 P B C D 的距离都相等 说明理由 解析 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 抽象概括能力 运算求解能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 满分 14 分 法一 因为平面 平面 所以 又PA ABCDAB ABCDPA ABAB 所以平面 又ADPAADA AB PAD 平面 所以平面平面 AB PABPAB PAD II 以为坐标原点 建立空间直角坐标系A 9 如图 在平面内 作于点 Axyz ABCD CEABAD交E 则 在CEAD 0 1Rt CDE 中 D E C D cos45 设 0 sin451CECD ABAPt 则 由 4 得 4 0 0 0 0 B tPtABADADt 所以 0 3 0 1 3 0 4 0 EtCtDt 1 1 0 0 4 CDPDtt 设平面的法向量为 由得iPCD nx y z nCD nPD 0 4 0 xy t ytz 取得平面的一个法向量 又 故由直线与平 xt PCD 4 nt tt 0 PBtt PB 面所成的角为得即PCD 0 30 0 cos60 m PB nPB 解得或 2 2222 24 1 2 4 2 tt tttt 4 5 t 舍去 因为 所以4t 40ADt 4 5 AB 假设在线段上存在一个点 C 使得点iiAD 到点的距离都相等 C P B C D 由 从而 即 0 45CCCDGCDGDC 0 90CGD CGAD 所以设 则 0 cos451GDCD AB 4 AD 3 ACADGD 在中 Rt ABG 22 GBABAC 222 39 3 2 1 22 这与矛盾 所以在线段上不存在一个点 使得点到的距离GBGD ADGG P B C D 都相等 法二 同解法一 II 以为坐标原点 建立空间直角坐标系iA 如图 在平面内 作Axyz ABCD 10 于点 E CEABAD交 则 在中 CEAD Rt CDE 0 cos451DECD 设 0 sin451CECD ABAPt 则 由 4 得 4 0 0 0 0 B tPtABADADt 所以 0 3 0 1 3 0 4 0 EtCtDt 1 1 0 0 4 CDPDtt 假设在线段上存在一个点 C 使得点到点的距离都相等 iiADC P B C D 由 0 45CCCDGCDGDC 从而 即 0 90CGD CGAD 所以 0 cos451GDCD 设 则AB 4 AD 在中 3 ACADGD Rt ABG 22 GBABAC 22 3 这与矛盾 所以在线段上不存在一个点 使得 2 39 2 1 22 GBGD ADG 点到的距离都相等 G P B C D 21 本题设有 1 2 3 三个选考题 每题 7 分 请考生任选 2 题做答 满