山东省青岛市2012年3月高三数学统一质量检测试题 理 新人教A版

用心 爱心 专心 1 山东省青岛市山东省青岛市 20122012 年年 3 3 月高三统一质量检测月高三统一质量检测 理科数学试题及详细解析理科数学试题及详细解析 第第 卷 选择题卷 选择题 共共 6060 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 1 已知实数集 R R 集合集合 则 22 Mx x 1 1 Nx y x R MN A B C D 01 xx 01 xx 14 xx 14 xx 1 1 B B 解析解析 R MN 04 1xxx x 01 xx 2 2 已知函数 则 3 0 2 0 x xx f x x 1 f f A B C D 2 1 211 2 B 2 B 解析解析 1 12 f ff 3 3 某个小区住户共户 为调查小区居民的月2007 份用水量 用分层抽样的方法抽取了户进行调查 得50 到本月的用水量 单位 m m3 3 的频率分布直方图如图 所示 则小区内用水量超过m m3 3的住户的户数为15 A B C D 105060140 3 C 3 C 解析解析 以为样本容量可计算出超过用水量的户数为50 3 15m 所以可估算户居民超过用水量的户数 50 050 015015 200 3 15m60 4 4 设为两个不同的平面 为两条不同的直线 且 有两个命 mn mn 题 若 则 若 则 那p mn qm 么 A 或 是假命题 B 且 是真命题pqpq C 非或 是假命题 D 非且 是真命题pqpq 4 D 4 D 解析解析 是假命题 是真命题 所以 D 正确 pq 5 5 运行如右图所示的程序框图 则输出的值为 S A B C D 32 48 5 B 5 B 解析解析 o 510152025 0 01 0 04 0 05 0 10 样本数据样本数据 频率频率 组距组距 5n 1 1nS 开始开始 1nn 1 n SSn 结束结束 输出输出S 是是 否否 用心 爱心 专心 2 123 45 1111213 14152 S 6 6 的展开式中的系数为 6 1 2 x x 2 x A B C D 240 24060 60 6 B 6 B 解析解析 6 66 2 166 1 221 r rr rrrr r TCxCx x 所以 2 26 26 42422 366 212240 TCxCxx 7 7 直线与抛物线所围成封闭图形的面积是42 xy1 2 xy A B C D 3 10 3 16 3 32 3 35 7 C 7 C 解析解析 联立方程求得交点分别为联立方程求得交点分别为 1 2 3 10 所以阴影部分的面积为所以阴影部分的面积为 3 2 1 14032 42 10124 233 Sxdx 8 8 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍 纵坐标不变 再将所sin 3 yx 2 得图象向左平移个单位 则所得函数图象对应的解析式为 3 A B C D 1 sin 23 yx sin 2 6 yx 1 sin 2 yx 1 sin 26 yx 8 D 8 D 解析解析 sin sin sin 33336 111 sin 222 yxyxyxx 9 9 已知函数的图象如右图所示 则函数 ab f xxa xb 的图象可能为 logag xxb 9 B 9 B 解析解析 由图象可知 所以为增函数 B 符合 01ba logag xxb 10 10 已知圆的圆心为抛物线的焦点 且与直线 222 xaybr 2 4yx 相切 则该圆的方程为3420 xy 用心 爱心 专心 3 A B 22 64 1 25 xy 22 64 1 25 xy C D 22 1 1xy 22 1 1xy 10 C 10 C 解析解析 抛物线的焦点为 则所以圆 2 4yx 1 01 0 ab 22 3 14 02 1 34 r 的方程为 22 1 1xy 11 11 已知 且 则的最小值为0 0ab 24ab 1 ab A B C D 4 1 4 2 1 2 11 C 11 C 解析解析 1421111 2 442424 ab abababbaba 2 ab 11 2ab 12 12 设与是定义在同一区间上的两个函数 若函数在 f x g x a b yf xg x 上有两个不同的零点 则称和在上是 关联函数 区间 xa b f x g x a b 称为 关联区间 若与在上是 关联函数 a b 2 34f xxx 2g xxm 0 3 则的取值范围为m A B C D 9 2 4 1 0 2 9 4 12 A 12 A 解析解析 为开口向上的抛物线 是斜率的直 2 34f xxx 2g xxm 2k 线 可先求出与相切时的值 由 2g xxm 2 34f xxx m 得切点为 此时 因此的图象与 232fxx 5 11 2 4 9 4 m 2 34f xxx 的图象有两个交点只需将向上平移即可 再考虑区间 2g xxm 9 2 4 g xx 0 3 可得点为图象上最右边的点 此时 所以 3 4 2 34f xxx 2m 9 2 4 m 网第第 卷 非选择题卷 非选择题 共共 9090 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 分 13 13 已知复数满足 为虚数单位 则复数 z 21i zi iz 13 13 解析解析 13 55 i 1211 3 255 iiii z i 14 14 已知双曲线的渐近线方程为 则它的离心率为 22 22 1 xy ab 3yx 用心 爱心 专心 4 14 14 解析解析 2 22 3 3 12 bbb e aaa 15 15 已知某棱锥的三视图如右图所示 则该棱锥 的体积为 15 15 解析解析 由三视图可知该几何体为四棱锥 2 底面为直角梯形其面积为 高为 所以 1 2 123 2 2 1 2 22 3 V 1616 设变量满足约束条件 则目标函数的最小值为 x y 3 1 23 xy xy xy 1y z x 16 16 解析解析 画出可行域得点为选用目标 所以1 2 1 111 1 1 020 yy z xx 三 三 解解答答题题 本本大大题题共共6 6 小小题题 共共 7 74 4 分分 解解答答时时应应写写出出必必要要的的文文字字说说明明 证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤 17 17 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知锐角中内角 的对边分别为 ABC ABCabc 且 22 6cosababC 2 sin2sinsinCAB 求角的值 C 设函数 图象上相邻两最高点间的距离 sin cos 0 6 f xxx f x且 为 求的取值范围 f A 17 解 因为 由余弦定理知Cabcbacos2 222 Cabbacos6 22 所以 ab c C 4 cos 2 又因为 则由正弦定理得 BACsinsin2sin 2 abc2 2 所以 2 1 4 2 4 cos 2 ab ab ab c C 所以 3 C 33 sin cossincos3sin 6223 f xxxxxx 由已知 则 2 2 3sin 2 3 f AA 2 11 正视图正视图 2 2 侧视图侧视图 2 2 1 俯视图俯视图 用心 爱心 专心 5 因为 由于 3 C 2 3 BA 0 0 22 AB 所以 62 A 2 02 33 A 根据正弦函数图象 所以 0 3f A 1818 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 在直四棱柱 中 底面为平行四边形 且 1111 ABCDABC D ABCD 为的中2AD 1 3ABAA 60BAD EAB 点 证明 平面 1 AC 1 EBC 求直线与平面所成角的正弦值 1 ED 1 EBC 18 解 证明 连接 1 BC 11 BCBCF 因为 所以 AEEB 1 FBFC EF 1 AC 因为面 面 1 AC 1 EBCEF 1 EBC 所以 面 1 AC 1 EBC 作 分别令为DHAB 1 DH DC DD 轴 轴 轴 建立坐标系如图xyz 因为 60BAD 2AD 所以 1AH 3DH 所以 1 3 0 2 E 1 0 0 3 D 0 3 0 C 1 3 2 3 B 11 135 3 3 0 3 3 0 222 EDEBEC 设面的法向量为 所以 1 EBC nx y z 1 0n EB 0n EC A 1 A D C 1 D 1 C 1 B B E A 1 A D C 1 D 1 C 1 B B E F H x y z 用心 爱心 专心 6 化简得 令 则 3 30 2 5 30 2 yz xy 1y 5 31 1 62 n 设 则 1 n ED 1 1 9 30 cos 70 n ED nED 设直线与面所成角为 则 1 ED 1 EBC coscos 90 sin 所以 则直线与面所成角的正弦值为 9 30 sin 70 1 ED 1 EBC 9 30 70 1919 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 一个盒子装有六张卡片 上面分别写着如下六个函数 3 1 f xx 2 5 x fx 3 2fx 4 21 21 x x fx 5 sin 2 fxx 6 cosfxxx 从中任意拿取张卡片 若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数 在此条件下 求2 两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率 现从盒子中逐一抽取卡片 且每次取出后均不放回 若取到一张写有偶函数的卡片则 停止抽取 否则继续进行 求抽取次数的分布列和数学期望 19 解 为奇函数 为偶函数 为偶函数 3 1 fxx 2 5 x fx 3 2fx 为奇函数 为偶函数 为奇函数 4 21 21 x x fx 5 sin 2 fxx 6 cosfxxx 注 每对两个得 1 分 该步评分采用去尾法 所有的基本事件包括两类 一类为两张卡片上写的函数均为奇函数 另一类为两张卡片上写 的函数为一个是奇函数 一个为偶函数 故基本事件总数为 112 333 C CC 满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数 故满足条件的基本事件个数为 2 3 C 故所求概率为 2 3 112 333 1 4 C P C CC 可取 1 2 3 4 用心 爱心 专心 7 10 3 2 2 1 1 1 5 1 3 1 6 1 3 1 6 1 3 C C C C P C C P 20 1 4 20 3 3 1 3 1 3 1 4 1 1 1 5 1 2 1 6 1 3 1 4 1 3 1 5 1 2 1 6 1 3 C C C C C C C C P C C C C C C P 故的分布列为 1234 P 2 1 10 3 20 3 20 1 4 7 20 1 4 20 3 3 10 3 2 2 1 1 E 的数学期望为 4 7 2020 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知等差数列 N 中 n a n nn aa 1 232 92 aa37 74 aa 求数列的通项公式 n a 若将数列的项重新组合 得到新数列 具体方法如下 n a n b 11 ab 依此类推 322 aab 76543 aaaab 1510984 aaaab 第项由相应的中项的和组成 求数列的前项和 n n b n a 1 2 n 2 4 1 n n b n n T 20 解 由与与232 92 aa37 9274 aaaa 解得解得 或 由于 舍去 29 8 9 2 a a 8 29 9 2 a a nn aa 1 设公差为 则 解得 d 298 8 19 12 daa daa 3 5 1 d a 所以数列的通项公式为 n a 23 Nnnan 由题意得 12222122 11111 nnnnn aaaabn 123 23 823 523 223 11111 nnnnn 123 423 852 232 1111 nnnn 用心 爱心 专心 8 而是首项为 公差为的等差数列的前项的 123 423 852 11 nn 23 1 2 n 和 所以 123 423 852 11 nn nn nn n 2 4 1 233 2 12 2 22 32 11 1 所以 nnnnn n b2 4 1 2 8 9 2 4 1 2323 23222 所以 nn n b 2 2 8 9 2 4 1 所以 14 2 3 41 41 4 8 9 264164 8 9 2 n n n n T 2121 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知函数 3 f xx 记 求的极小值 R 3 t xf xfxt x 若函数的图象上存在互相垂直的两条切线 求实数的值及 sin fx h xx x 相应的切点坐标 21 解 由已知 3 f xx 32 xxtx 2 2 323 3 t xxtxx x 由 或 00 xx 2 3 t x 当时 在为增函数 此时不存在极值 0t 2 30 xx x 当时 变化时 变化如下 0t x xx x 2 3 t 2 3 t 2 0 3 t 0 0 x 0 0 x 极大极小 由上表可知 00 x 小小 当时 变化时 变化如下 0t x xx x 0 0 2 0 3 t 2 3 t 2 3 t 用心 爱心 专心 9 x 0 0 x 极大极小 由上表可知 3 24 327 t xt 小小 3sinh xxx 3cosh xx 设两切点分别为 则 1122 t h tt h t 12 1h th t 即 12 3cos3cos1tt 2 1212 93 coscoscoscos10tttt 方程的判别式 R 2 1212 3 coscos36 coscos10tttt 即 又 2 12 coscos4tt 12 1cos1 1cos1tt 2 12 coscos4tt 从而可得 2 12 coscos4tt 上式要成立当且仅当 或 1 2 cos1 cos1 t t 1 2 cos1 cos1 t t 此时方程的解为 0 存在 此时函数的图象在点0 x 0 sin fx h xx x 2 0k 处的切线和在点处的切线互相垂直 0kZ k 2 0mmZ 2222 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知椭圆 的左焦点 若椭圆上存在一点 满足以E 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 5 1 FD 椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点 1 DF 1 DFF 求椭圆的方程 E 已知两点及椭圆 过点作斜率为的直线 交椭 1 0 0 2 MQ G1 9 2 2 2 2 b y a x Qkl 圆于两点 设线段的中点为 连结 试问当为何值时 直线过椭圆GKH HKNMNkMN 的顶点 G 用心 爱心 专心 10 过坐标原点的直线交椭圆 于 两点 其中在第一象限 OW1 4 2 9 2 2 2 2 b y a x PAP 过作轴的垂线 垂足为 连结并延长交椭圆于 求证 PxCACWBPBPA 22 解 连接为坐标原点 为右焦点 由题意知 椭圆的右焦点为FODF 2 O 2 F 0 5 2 F 因为是的中位线 且 所以FO 21F DF FODF 1 bFODF22 2 所以 故 baDFaDF222 21 baDFFF 11 2 1 在中 1 FOFRt 2 1 2 1 2 OFFFFO 即 又 解得5 222 cbab 22 5ab 4 9 22 ba 所求椭圆的方程为 E1 49 22 yx 由 得椭圆 G1 4 2 2 y x 设直线 的方程为并代入l 2 xky1 4 2 2 y x 整理得 0444 4 2222 kxkxk 由得 0 3 3 2 3 3 2 k 设 002211 yxNyxKyxH 则由中点坐标公式得 4 8 2 4 2 2 00 2 2 0 k k xky k k x 当时 有 直线显然过椭圆的两个顶点 0 k 0 0 NMNG 2 0 2 0 当时 则 直线的方程