定积分的换元积分法与分部积分法

定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的 掌握定积分换元积分法与分部积分法教学目的 掌握定积分换元积分法与分部积分法 难难 点 定积分换元条件的掌握点 定积分换元条件的掌握 重重 点 换元积分法与分部积分法点 换元积分法与分部积分法 由牛顿 莱布尼茨公式可知 定积分的计算归结为求被积函数的原函 数 在上一章中 我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求 得 因此 换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的 1 定积分换元法 定积分换元法 定理定理 假设 1 函数在区间上连续 xf ba 2 函数在区间上有连续且不变号的导数 tx 3 当 在变化时 的值在上变化 且t tx ba ba 则有 dtttfdxxf b a 1 本定理证明从略 在应用时必须注意变换应满足定理的条件 在 tx 改变积分变量的同时相应改变积分限 然后对新变量积分 例例 1 计算 2 1 1 dx x x 解解 令 则 当时 当时 tx 1tdtdxtx2 1 2 1 x0 t2 x 于是1 t 1 0 2 1 0 2 2 1 1 1 122 1 1 dt t tdt t t dx x x 4 12 arctan 2 1 0 tt a a O x y 图 5 8 例例 2 计算 a dxxa 0 22 0 a 解解 令 则 当时 当时 taxsin tdtadxcos 0 x0 tax 故 2 t a dxxa 0 22 dttata 2 0 coscos dtt a 2cos1 2 2 0 2 2 0 2 2sin 2 1 2 tt a 4 2 a 显然 这个定积分的值就是圆在第一象限那部分的面积 图 222 ayx 5 8 例例 3 计算 2 0 5 sincos xdxx 解法一解法一 令 则 xtcos xdxdtsin 当时 当时 于是0 x1 t 2 x0 t 6 1 6 1 sincos 0 1 65 0 1 2 0 5 tdttxdxx 解法二解法二 也可以不明显地写出新变量 这样定积分的上 下限也不要改t 变 即 xdxxdxxcoscossincos 2 0 5 2 0 5 6 1 6 1 0cos 6 1 2 0 6 x 此例看出 定积分换元公式主要适用于第二类换元法 利用凑微分法换元 不需要变换上 下限 例例 4 计算 dxx 0 sin1 解解 注去绝对值时注意符号 dxx 0 sin1 0 2 cos 2 sindx xx 2 2 0 2 cos 2 sin 2 sin 2 cosdx xx dx xx 2 0 2 2 sincos 2 cossin 2222 xxxx 12 4 例例 5 计算 02 sin3 sin dx x x 解解 设 则当时 当时 xtcos 0 x1 t x1 t 02 sin3 sin dx x x 1 1 1 122 4 1 4 1 dt t dt t 1 1 arcsin 23 t 例例 6 设在上连续 证明 xf aa 1 若为奇函数 则 xf0 a a dxxf 2 若为偶函数 则 xfdxxfdxxf aa a 2 0 证证 由于 dxxfdxxfdxxf a a a a 0 0 对上式右端第一个积分作变换 有tx dttfdttfdxxf a aa 0 00 dxxf a 0 故 dxxfxfdxxf aa a 0 1 当为奇函数时 故 xf xfxf 00 0 dxdxxf aa a 2 当为偶函数时 故 xf xfxf dxxfdxxfdxxf aaa a 2 2 00 利用例 6 的结论能很方便地求出一些定积分的值 例如 0sin 6 xdxx 1 1 22 1 1 2 424 4 dxxxdxxx804 1 1 dx 2 定积分的分部积分法 定积分的分部积分法 设函数与均在区间上有连续的导数 由微分法则 xu xv ba 可得vduudvuvd vduuvdudv 等式两边同时在区间上积分 有 ba 2 vduuvudv b a b a b a 公式 2 称为定积分的分部积分公式 其中与是自变量的下限与上abx 限 例例 7 计算 xdx e ln 1 解解 令 则 故dxdvxu lnxv x dx du x dx xxxxdx e e e 1 1 1 ln ln 1 1 0 ee 例例 8 计算 xdxx3cos 0 解解 xxdxdxx3sin 3 1 3cos 00 xdxxx3sin3sin 3 1 0 0 0 3cos 3 1 0 3 1 x 9 2 例例 9 计算 4 0 2cos1 dx x x 解解 4 0 2cos1 dx x x 4 0 4 0 2 tan 2 1 cos2 xxddx x x tantan 2 1 4 0 4 0 xdxxx cosln 4 2 1 4 0 x 2ln 4 1 8 例例 10 计算 4 0 3 sec xdx 解解 4 0 4 0 2 4 0 3 tansecsecsecsec xxdxdxxxdx xdxxxxxtansectantansec 4 0 4 0 xdxxsec 1 sec2 2 4 0 4 0 4 0 3 secsec2 xdxxdx 4 0 4 0 3 tanln secsec2 xxxdx 12ln sec2 4 0 3 xdx 即 注移项得 12ln 2sec2 4 0 3 xdx 故 12ln 2 1 2 2 sec 4 0 3 xdx 例例 11 计算 dxe x 1 0 解解 先用换元法 令 则 tx tdtdxtx2 2 当时 当时 于是0 x0 t1 x1 t dttedxe tx 1 0 1 0 2 再用分部积分法 得 dxe x 1 0 111 000 22 ttt tdetee dt 2 1 2 ee 小结 小结 1 定积分换元积分定理 定积分换元积分定理 假设 1 函数在区间上连续 xf ba 2 函数