山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料 第四编 三角函数及三角恒等变换 4.3 三角函数的图像与性质（教师）理

用心 爱心 专心115 高三数学 理 一轮复习教案高三数学 理 一轮复习教案 第四编第四编 三角函数及三角恒等变换总三角函数及三角恒等变换总 第第 1818 期期 4 3 4 3 三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 基础自测基础自测 1 在 0 上递减 以 2为周期 是奇函数 2 写出一个同时满足上述条件的函数 写出一个你认为正确的即可 答案答案 y sinx 2 2009 2009 东海高级中学高三调研 东海高级中学高三调研 将函数 y sin的图象先向左平移 然后将 3 2 x 3 所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍 纵坐标不变 则所得到的图象对应的 函数解析式为 答案答案 y sin 3 x 3 设函数 y acosx b a b 为常数 的最大值是 1 最小值是 7 那么 acosx bsinx 的最 大值是 答案答案 5 4 函数 y sinx 的一个单调增区间是 写出一个即可 答案答案 2 3 5 2008 2008 全国全国 理 理 若动直线 x a 与函数 f x sinx 和 g x cosx 的图象分别交于 M N 两点 则 MN 的最大值为 答案答案 2 例题精讲例题精讲 例例 1 1 求下列函数的定义域 1 y lgsin cosx 2 y xxcossin 解解 1 要使函数有意义 必须使 sin cosx 0 1 cosx 1 0 cosx 1 方法一方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为 x 2k x 2k 2 2 k Z Z 方法二方法二 利用单位圆中的余弦线 OM 依题意知 0 OM 1 OM 只能在 x 轴的正半轴上 其定义域为 kkxkx 2 2 2 2 2 要使函数有意义 必须使 sinx cosx 0 方法一方法一 利用图象 在同一坐标系中画出 0 2 用心 爱心 专心116 上 y sinx 和 y cosx 的图象 如图所示 在 0 2 内 满足 sinx cosx 的 x 为 4 4 5 再结合正弦 余弦函数的周期是 2 所以定义域为 kkxkx 2 4 5 2 4 方法二方法二 利用三角函数线 如图 MN 为正弦线 OM 为余弦线 要使 sinx cosx 即 MN OM 则 x 在 0 2 内 4 4 5 定义域为 kkxkx 2 4 5 2 4 方法三方法三 sinx cosx sin 0 2 4 x 将 x 视为一个整体 由正弦函数 y sinx 的图象和性质 可知 2k x 2k 4 4 解得 2k x 2k k Z Z 所以定义域为 4 4 5 kkxkxx 2 4 5 4 2 例例 2 2 求下列函数的值域 1 y 2 y sinx cosx sinxcosx x xx cos1 sin2sin 3 y 2cos 2cosx 3 解解 1 y 2cos2x 2cosx 2 x xxx cos1 sincossin2 x xx cos1 cos1 cos2 2 2 2 1 cos 2 1 于是当且仅当 cosx 1 时取得 ymax 4 但 cosx 1 y 4 且 ymin 2 1 当且仅当 cosx 时取得 故函数值域为 2 1 4 2 1 2 令 t sinx cosx 则有 t2 1 2sinxcosx 即 sinxcosx 2 1 2 t 有 y f t t 又 t sinx cosx sin 2 1 2 t 1 1 2 1 2 t2 4 x t 故 y f t t 221 1 2 1 2 t22 从而知 f 1 y f 2 即 1 y 即函数的值域为 2 2 1 2 1 2 1 3 y 2cos 2cosx 2coscosx 2sinsinx 2cosx x 3 3 3 用心 爱心 专心117 3cosx sinx 2 2cos 33 xxsin 2 1 cos 2 3 3 6 x 1 该函数值域为 2 2 6 cos x33 例例 3 3 求函数 y 2sin的单调区间 x 4 解解 方法一方法一 y 2sin化成 y 2sin x 4 4 x y sinu u R R 的递增 递减区间分别为 k Z Z k Z Z 2 2 2 2 kk 2 3 2 2 2 kk 函数 y 2sin的递增 递减区间分别由下面的不等式确定 4 x 2k x 2k k Z Z 即 2k x 2k k Z Z 2 4 2 3 4 3 4 7 2k x 2k k Z Z 即 2k x 2k k Z Z 2 4 2 4 4 3 函数 y 2sin的单调递减区间 单调递增区间分别为 x 4 k Z Z k Z Z 4 3 2 4 2 kk 4 7 2 4 3 2 kk 方法二方法二 y 2sin可看作是由 y 2sinu 与 u 复合而成的 x 4 x 4 又 u 为减函数 由 2k u 2k k Z Z x 4 2 2 2k x 2k k Z Z 4 4 3 即 k Z Z 为 y 2sin的递减区间 4 3 2 4 2 kk x 4 由 2k u 2k k Z Z 即 2k x 2k k Z Z 得 2 2 3 2 4 2 3 2k x 2k k Z Z 即 k Z Z 为 y 2sin的 4 5 4 4 2 4 5 2 kk x 4 递增区间 综上可知 y 2sin的递增区间为 x 4 k Z Z 4 2 4 5 2 kk 用心 爱心 专心118 递减区间为 k Z Z 4 3 2 4 2 kk 巩固练习巩固练习 1 求 f x 的定义域和值域 2 cos 21x 解解 由函数 1 cos 0 得 sinx 利用单位圆或三角函数的图象 易得2 x 2 2 2 所求函数的定义域是 kkxkx 4 2 4 5 2 当 sinx cos 时 ymin 0 x 2 2 2 当 sinx cos 1 时 ymax x 2 21 所以函数的值域为 0 21 2 已知函数 f x 求它的定义域和值域 并判断它的奇偶性 x xx 2cos 1cos3cos2 24 解解 由题意知 cos2x 0 得 2x k 解得 x k Z Z 2 42 k 所以 f x 的定义域为 k k xxx 42 且 又 f x cos2x 1 sin2x x xx 2cos 1cos3cos2 24 x xx 2cos 1cos 1cos2 22 又定义域关于原点对称 f x 是偶函数 显然 sin2x 1 0 但 x k Z Z sin2x 42 k 2 1 所以原函数的值域为 0 2 1 2 1 1 yyy且 3 1 求函数 y sin的单调递减区间 x2 3 2 求 y 3tan的周期及单调区间 46 x 解解 1 方法一方法一 令 u y sinu 利用复合函数单调性 x2 3 由 2k 2x 2k k Z Z 得 2k 2x 2k k Z Z 2 3 2 6 5 6 k x k k Z Z 即 k x k k Z Z 12 12 5 12 12 5 Z Z Z R 回顾总回顾总 结结 知识知识 方法方法 思想思想 课后作课后作 业业 用心 爱心 专心119 原函数的单调递减区间为 k Z Z 12 5 12 kk 方法二方法二 由已知函数 y sin 欲求函数的单调递减区间 只需求 y sin 3 2 x 的单调递增区间 由 2k 2x 2k k Z Z 解得 k x k 3 2 x 2 3 2 12 k Z Z 12 5 原函数的单调递减区间为 k Z Z 12 5 12 kk 2 y 3tan 3tan T 4 y 3tan的周期为 4 46 x 64 x 46 x 由 k k 得 4k x 4k k Z Z 2 64 x 2 3 4 3 8 y 3tan的单调增区间是 k Z Z 64 x 3 8 4 3 4 4 kk y 3tan的单调递减区间是 k Z Z 46 x 3 8 4 3 4 4 kk 回顾总结回顾总结 知识知识 方法方法 思想思想 课后作业课后作业 一 填空题一 填空题 1 已知函数 y tanx 在内是减函数 则的范围是 2 2 答案答案 1 0 2 2009 2009 徐州模拟 徐州模拟 函数 f x sinx cosx x 0 的单调递增区间是 3 答案答案 0 6 3 函数 f x tanx 0 的图象的相邻的两支截直线 y 所得线段长为 则 4 4 f 的值是 4 答案答案 0 4 函数 y 2sin 2x x 0 为增函数的区间是 6 用心 爱心 专心120 答案答案 6 5 3 5 函数 f x lg sin2x cos2x 1 的定义域是 3 答案答案 kkxkx 412 6 给出下列命题 函数 y cos是奇函数 23 2 x 存在实数 使得 sin cos 2 3 若 是第一象限角且 则 tan tan x 是函数 y sin的一条对称轴方程 8 4 5 2 x 函数 y sin的图象关于点成中心对称图形 3 2 x 0 12 其中命题正确的是 填序号 答案答案 7 2008 2008 江苏 江苏 1 1 f x cos x 最小正周期为 其中 0 则 6 5 答案答案 10 8 2009 2009 东海高级中学高三调研 东海高级中学高三调研 定义在 R R 上的函数 f x 当 sinx cosx 时 f x cosx 当 sinx cosx 时 f x sinx 给出以下结论 f x 是周期函数 f x 的最小值为 1 当且仅当 x 2k k Z Z 时 f x 取最大值 当且仅当 2k x 2k 1 k Z Z 时 f x 0 2 f x 的图象上相邻最低点的距离是 2 其中正确命题的序号是 把你认为正确命题的序号都填上 答案答案 二 解答题二 解答题 9 已知 x 若方程 mcosx 1 cosx m 有解 试求参数 m 的取值范围 3 6 解解 由 mcosx 1 cosx m 得 cosx 作出函数 y cosx 的图象 如图所示 1 1 m m 用心 爱心 专心121 由图象可得 1 解得 m 3 2 1 1 1 m m 10 设 a a b b 4sinx cosx sinx f x a a b b xx x sincos 4 2 sin2 1 求函数 f x 的解析式 2 已知常数 0 若 y f x 在区间上是增函数 求的取值范围 3 2 2 3 设集合 A B x f x m 2 若 AB 求实数 m 的取值范围 3 2 6 xx 解解 1 f x sin2 4sinx cosx sinx cosx sinx 4 2x 4sinx cos2x 2sinx 1 sinx 1 2sin2x 2sinx 1 2 2 cos1 x f x 2sinx 1 2 f x 2sinx 1 0 由 2k x 2k 得 f x 的增区间是 k Z Z 2 2 2 2 2 2kk f x 在上是增函数 3 2 2 3 2 2 2 2 且 2 2 3 2 2 4 3 0 3 由 f x m 2 得 2 f x m 2 即 f x 2 m f x 2 AB 当 x 时 不等式 f x 2 m f x 2 恒成立 6 3 2 f x max 2 m f x min 2 f x max f 3 f x min f 2 m 1 4 2 6 11 定义在 R R 上的函数 f x 既是偶函数又是周期函数 若 f x 的最小正周期是 且当 x 时 f x sinx 2 0 1 求当 x 0 时 f x 的解析式 2 画出函数 f x 在 上的函数简图 3 求当 f x 时 x 的取值范围 2 1 解解 1 f x 是偶函数 f x f x 而当 x 时 f x sinx 2 0 当 x 时 f x f x sin x sinx 0 2 用心 爱心 专心122 又当 x 时 x f x 的周期为 2 2 0 f x f x sin x sinx 当 x 0 时 f x sinx 2 如图 3 由于 f x 的最小正周期为 因此先在 0 上来研究 f x 2 1 即 sinx sinx x 2 1 2 1 6 5 6 由周期性知 当 x k Z Z 时 f x 6 6 5 kk 2 1 12 已知 a 0 函数 f x 2asin 2a b 当 x 时 5 f x 1 6 2 x 2 0 1 求常数 a b 的值 2 设 g x f且 lg g x 0 求 g x 的单调区间 2 x 解解 1 x 2x sin 2 0 6 6 7 6 6 2 x 1 2 1 2asin 2a a f x b 3a b 6 2 x 又 5 f x 1