广东省广州育才中学高三数学 综合训练《立体几何中求角与距离》

1 AB C D A1 E B1 C1 广州育才中学高三数学各类题型综合训练系列广州育才中学高三数学各类题型综合训练系列 立体几何中求角与距离立体几何中求角与距离 1 四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 a 的正方形 PB 面 ABCD 1 若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为 60 求这个 四棱锥的体积 2 证明无论四棱锥的高怎样变化 面 PAD 与面 PCD 所 成的二面角恒大于 90 2 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面 ABC 为等腰直角三角形 ACB 900 AC 1 C 点到 AB1的距离为 CE 2 3 D 为 AB 的中点 1 求证 AB1 平面 CED 2 求异面直线 AB1与 CD 之间的距离 3 求二面角 B1 AC B 的平面角 3 如图 a l 是 120 的二面角 A B 两点在棱上 AB 2 D 在 内 三 角形 ABD 是等腰直角三角形 DAB 90 C 在 内 ABC 是等腰直角三角形 2 ACB 900 I 求三棱锥 D ABC 的体积 2 求二面角 D AC B 的大小 3 求异面直线 AB CD 所成的角 4 在边长为 a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形 这个四边形是由两个全 等的直角三角形组成的 并且这三个四边形也全等 如图 若用剩下的部分折 成一个无盖的正三棱柱形容器 如图 则当容器的高为多少时 可使这个容器 的容积最大 并求出容积的最大值 图 图 5 已知三棱锥 P ABC 中 PC 底面 ABC AB BC 3 D F 分别为 AC PC 的中点 DE AP 于 E 1 求证 AP 平面 BDE 2 求证 平面 BDE 平面 BDF 3 若 AE EP 1 2 求截面 BEF 分三棱锥 P ABC 所成两部分的体积比 6 如图 几何体 ABCDE 中 ABC 是正三角形 EA 和 DC 都垂直于平面 ABC 且 EA AB 2a DC a F G 分别为 EB 和 AB 的中点 1 求证 FD 平面 ABC 2 求证 AF BD 3 求二面角 B FC G 的正切值 7 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 P Q 分别是线段 AD1和 BD 上的点 且 D1P PA DQ QB 5 12 1 求证 PQ 平面 CDD1C1 2 求证 PQ AD 4 A B C D E A1 B1 C1 D1 x y z 图 4 3 求线段 PQ 的长 8 如图 4 在长方体ABCD 1111 ABC D 中 AD 1 AA 1 AB 2 点 E 在棱 AB 上移动 证明 11 D EAD 当 E 为 AB 的中点时 求点 E 到面 1 ACD 的距离 AE 等于何值时 二面角 1 DECD 的大小为 4 9 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 各棱长都相等 D E 分别为 AC1 BB1 的中点 1 求证 DE 平面 A1B1C1 2 求二面角 A1 DE B1的大小 10 如图 已知直三棱柱 ABC A1B1C1 AB AC F 为棱 BB1上一点 A B C 1 A 1 B 1 C E D 5 BF FB1 2 1 BF BC 2a I 若 D 为 BC 的中点 E 为 AD 上不同于 A D 的任意一点 证明 EF FC1 II 试问 若 AB 2a 在线段 AD 上的 E 点能否使 EF 与平面 BB1C1C 成 60 角 为什么 证明你的结论 11 如图 在底面是直角梯形的四棱锥 PABCD 中 AD BC ABC 90 且 ADC arcsin 5 5 又 PA 平面 ABCD AD 3AB 3PA 3a I 求二面角 P CD A 的正切值 II 求点 A 到平面 PBC 的距离 P BC A D 12 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB CC1 2 ACB 90 E F 分别是 BA BC 的中点 G 是 AA1上一点 且 AC1 EG 确定点 G 的位置 求直线 AC1与平面 EFG 所成角 的大小 6 13 已知四棱锥 P ABCD 底面 ABCD 是菱形 PDDAB 60平面 ABCD PD AD 点 E 为 AB 中点 点 F 为 PD 中点 1 证明平面 PED 平面 PAB 2 求二面角 P AB F 的平面角的余弦值 14 在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 O 是正方形 A1B1C1D1的中心 点 P 在棱 CC1上 且 CC1 4CP 求直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角的大小 结果用反三角函数值表示 设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H 求证 D1H AP 求点 P 到平面 ABD1的距离 15 如图 在四棱锥中 底面 ABCD 是正方形 侧棱底面 ABCD E 是 PC 的中点 作交 PB 于点 F I 证明 平面 II 证明平面 EFD III 求二面角的大小 B1 P A C D A1 C1 D1 B O H 7 16 如图 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 E 是棱 BC 的中点 点 F 是棱 CD 上的动点 I 试确定点 F 的位置 使得 D1E 平面 AB1F II 当 D1E 平面 AB1F 时 求二面角 C1 EF A 的大小 结果用反三角函数 值表示 17 如图 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是 梯形 AB CD AD DC CD 2 DD1 AB 1 P Q 分别是 CC1 C1D1的中 点 点 P 到直线 AD1的距离为 2 23 求证 AC 平面 BPQ 求二面角 B PQ D 的大小 18 已知长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB BC 4 AA1 8 E F 分别为 AD 和 CC1的中点 O1为下底面正方形的中心 证明 AF 平面 FD1B1 求异面直线 EB 与 O1F 所成角的余弦值 AB C D AB C D P Q 11 1 1 AB D C A1 1 D1 1 C1 1 B1 1 E F O1 1 H 8 19 图 是一个正方体的表面展开图 MN 和 PQ 是两条面对角线 请在图 2 的正方体中将 MN PQ 画出来 并就这个正方体解答下列各题 1 求 MN 和 PQ 所成角的大小 2 求四面体 M NPQ 的体积与正方体的体积之比 3 求二面角 M NQ P 的大小 20 如图 已知四棱锥 P ABCD PB AD 侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角 形 底面 ABCD 为菱形 侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120 1 求点 P 到平面 ABCD 的距离 2 求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小 答案 1 1 正方形 ABCD 是四棱锥 P ABCD 的底面 其面积 为 2 a从而只要算出四棱锥的高就行了 PB 面 ABCD BA 是 PA 在面 ABCD 上的射影 又 DA AB PA DA 9 PAB 是面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角的平面角 PAB 60 而 PB 是四棱锥 P ABCD 的高 PB AB tg60 3 a 32 3 3 3 3 1 aaaV 锥 2 不论棱锥的高怎样变化 棱锥侧面 PAD 与 PCD 恒为全等三角形 作 AE DP 垂足为 E 连结 EC 则 ADE CDE CEACEDCEAE 故 90 是面 PAD 与面 PCD 所成的二面角的平面角 设 AC 与 DB 相交于点 O 连结 EO 则 EO AC 2 2 aADAEOAa 在 0 2 2 2 2 cos 2 222 AE OAAEOAAE ECAE OAECAE AECAEC中 故平面 PAD 与平面 PCD 所成的二面角恒大于 90 2 1 D 是 AB 中点 ABC 为等腰直角三角形 ABC 900 CD AB 又 AA1 平面 ABC CD AA1 CD 平面 A1B1BA CD AB1 又 CE AB1 AB1 平面 CDE 2 由 CD 平面 A1B1BA CD DE AB1 平面 CDE DE AB1 DE 是异面直线 AB1与 CD 的公垂线段 CE 2 3 AC 1 CD 2 2 2 1 22 CDCEDE 10 3 连结 B1C 易证 B1C AC 又 BC AC B1CB 是二面角 B1 AC B 的平面角 在 Rt CEA 中 CE 2 3 BC AC 1 B1AC 600 2 60cos 1 2 1 AB 2 22 11 ABABBB 2 1 1 BC BB CBBtg 2 1 arctgCBB 3 1 过 D 向平面 做垂线 垂足为 O 连强 OA 并延长至 E DAEOAABDAOAADAB 上的射影在平面为 为二面角 a l 的 平面角 60 120 DAODAE3 2 DOABAD ABC 是等腰直角三角形 斜边 AB 2 1 ABC S又 D 到平面 的距离 DO 3 3 3 ABCD V 2 过 O 在 内作 OM AC 交 AC 的反向延长线于 M 连结 DM 则 AC DM DMO 为二面角 D AC B 的平面角 又在 DOA 中 OA 2cos60 1 且 2 2 45 OMCAEOAM 6 6arctgDMODMOtg 3 在 平在内 过 C 作 AB 的平行线交 AE 于 F DCF 为异面直线 AB CD 所成的角 ACFCAFDFCFAFCFAFAB 即又 45 为等腰直角 三角形 又 AF 等于 C 到 AB 的距离 即 ABC 斜边上的高 1 CFAF 11 7 7 7 120cos2 222 DCFtg CF DF DCFtgAFADAFADDF 异面直线 AB CD 所成的角为 arctg 7 4 设容器的高为 x 则容器底面正三角形的边长为xa32 32 32 34 34 1 4 3 32 0 32 4 3 2 xaxax a xxaxxV 54 3 323234 16 1 3 3 axaxax 当且仅当 54 18 3 3234 3 max a Vaxxax 时即 故当容器的高为 a 18 3 时 容器的容积最大 其最大容积为 54 3 a 5 1 PC 底面 ABC BD 平面 ABC PC BD 由 AB BC D 为 AC 的中点 得 BD AC 又 PC AC C BD 平面 PAC 又 PA 平面 PAC BD PA 由已知 DE PA DE BD D AP 平面 BDE 2 由 BD 平面 PAC DE 平面 PAC 得 BD DE 由 D F 分别为 AC PC 的 中点 得 DF AP 由已知 DE AP DE DF BD DF D DE 平面 BDF 又 DE 平面 BDE 平面 BDE 平面 BDF 3 设点 E 和点 A 到平面 PBC 的距离分别为 h1和 h2 则 h1 h2 EP AP 2 3 3 1 23 2 3 1 3 1 2 1 PBC PBF PBCA PBFE ABCP EBFP Sh Sh V V V V 12 故截面 BEF 分三棱锥 P ABC 所成两部分体积的比为 1 2 或 2 1 6 F G 分别为 EB AB 的中点 FG 2 1 EA 又 EA DC 都垂直于面 ABC FG DC 四边形 FGCD 为平行四边形 FD GC 又 GC 面 ABC FD 面 ABC 2 AB EA 且 F 为 EB 中点 AF EB 又 FG EA EA 面 ABC FG 面 ABC G 为等边 ABC AB 边的中点 AG GC AF GC 又 FD GC AF FD 由 知 AF 面 EBD 又 BD 面 EBD AF BD 3 由 1 2 知 FG GB GC GB GB 面 GCF 过 G 作 GH FC 垂足为 H 连 HB HB FC GHB 为二面角 B FC G 的平面角 易求 3 32 2 3 2 3 a a GHBtgaGH 7 1 在平面 AD1内 作 PP1 AD 与 DD1交于点 P1 在平面 AC 内 作 QQ1 BC 交 CD 于点 Q1 连结 P1Q1 12 5 1 QB DQ PA PD PP1 QQ1 由四边形 PQQ1P1为平行四边形 知 PQ P1Q1 而 P1Q1 平面 CDD1C1 所以 PQ 平面 CDD1C1 2 AD 平面 D1DCC1 AD P1Q1 又 PQ P1Q1 AD PQ 13 3 由 1 知 P1Q1 PQ 12 5 QB DQ CQ DQ 1 1 而棱长 CD 1 DQ1 17 5 同理可求得 P1D 17 12 在 Rt P1DQ1中 应用勾股定理 立得 P1Q1 17 13 17 5 17 12 22 22 1 DQDP 8 解 解 建立如图所示的空间直角坐标系 设AEa 则 1 1 0 1 A 1 0 0 1 D 1 0 Ea 1 0 0 A 0 2 0 C 证明 由 1 1 0 1 DA 1 1 1 1 D Ea 11 1 0 1 1 1 1 1 10DA D Ea 有 11 DAD E 于是 11 D EAD E 是 AB 的中点 得 1 1 0 E 1 1 1 1 D E 1 2 0 AC 1 1 0 1 AD 设平面 1 ACD 的法向量为 1 nx y 单位法向量为 0 n 由 1 0 0 n AC n AD 1 1 2 0 0 1 1 0 1 0 x y x y 20 10 xy x 解得 1 1 2 x y 于是 1 1 1 2 n 有 0 1 1 1 2 1 2 2 3 3 31 11 4 n 设点 E 到平面 1 ACD 的距离为d 则 10 2 1 21 1 1 1 3 3 33 dD E n 所以点 E 到平面 1 ACD 的距离为 1 3 14 平面DEC的法向量 1 0 0 1 n 设平面 1 D EC的法向量 2 1 nx y 又 1 2 0 ECa 1 0 2 1 DC 由 2 21 0 0 nEC nDC 得 1 1 2 0 0 1 0 2 1 0 x ya x y 2 0 210 xya y 解得 1 2 1 2 a x y 于是 2 1 1 1 2 2 a n 设所求的二面角为 则 4 有 12 2 1 0 0 1 1 1 2 2 2 coscos 21 1 1 24 a DD n a 得 2 1 1 12 24 a 解得23a 所以 当 AE 23 时 二面角 1 DECD 的大小为 4 9 1 取 A1C1中点 F 连结 B1F DF D1E 分别为 AC1和 BB1的中点 DF AA1 DF 1 2 AA1 B1E AA1 B1E 1 2 AA1 DF B1E DF B1E DEB1F 为平行四边形 DE B1F 又 B1F 在 平面 A1B1C1内 DE 不在平面 A1B1C1 DE 平面 A1B1C1 2 连结 A1D A1E 在正棱柱 ABC A1B1C1中 因为平面 A1B1C1 平面 ACC1A1 A1C1是平面 A1B1C1与平面 ACC1A1的交线 又因为 B1F 在平面 A1B1C1内 且 B1F A1C1 所以 B1F 平面 ACC1A1 又 DE B1F 所以 DE 平面 ACC1A1所以 FDA1为二面角 A1 DE B1的平面角 并且 FDA1 1 2 A1DC1 设正三棱柱的棱长为 1 因为 AA1C1 900 D 是 AC1的中点 所以 45 90 2 2 2 2 0 1 0 1111 FDADCADADC即为所求 的二面角的度数 10 I 连结 DF DC 三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱 CC1 平面 ABC 平面 BB1C1C 平面 ABC AB AC D 为 BC 的中点 AD BC AD 平面 BB1C1C 15 3 DF 为 EF 在平面 BB1C1C 上的射影 在 DFC1中 DF2 BF2 BD2 5a2 2 1 DC 2 1 CC DC2 10a2 2 1 FC B1F2 2 11C B 5a2 2 1 DC DF2 2 1 FC DF FC1 FC1 EF II AD 平面 BB1C1C DFE 是 EF 与平面 BB1C1C 所成的角 在 EDF 中 若 EFD 60 则 ED DFtg60 3 a5 a15 a15 a3 E 在 DA 的延长线上 而不在线段 AD 上 故线段 AD 上的 E 点不能使 EF 与平面 BB1C1C 成 60 角 11 解 1 在底面 ABCD 内 过 A 作 AE CD 垂足为 E 连结 PE P B A D H C E PA 平面 ABCD 由三垂线定理知 PE CD PEA 是二面角 P CD A 的平面角 在Rt AED 中 ADaADE 3 5 5 arcsin AEADADEasin 3 5 5 在Rt PAE 中 tan PEA PA AE 5 3 二面角 P CD A 的正切值为 5 3 II 在平面 APB 中 过 A 作 AH PB 垂足为 H PA 平面 ABCD PA BC 又 AB BC BC 平面 PAB 平面 PBC 平面 PAB AH 平面 PBC 故 AH 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离 在等腰直角三角形 PAB 中 AHa 2 2 所以点 A 到平面 PBC 的距离为 16 2 2 a 12 解法一 以 C 为原点 分别以 CB CA CC1为 x 轴 y 轴 z 轴建立空 间直角坐标系 则 F 1 0 0 E 1 1 0 A 0 2 0 C1 0 0 2 2 2 0 1 AC 设 G 0 2 h 则 0 1 1 11 ACEGEGAChEG 1 0 1 2 2h 0 h 1 即 G 是 AA1的中点 设 zyxm 是平面 EFG 的法向量 则 EGmFEm 所以 0 0010 zyx zyx 平面 EFG 的一个法向量 m 1 0 1 2 1 222 2 sin 1 1 ACm ACm 6 即 AC1与平面 EFG 所成角 为 6 解法二 取 AC 的中点 D 连结 DE DG 则 ED BC BC AC ED AC 又 CC1 平面 ABC 而 ED 平面 ABC CC1 ED CC1 AC C ED 平面 A1ACC1 又 AC1 EG AC1 DG 连结 A1C AC1 A1C A1C DG D 是 AC 的中点 G 是 AA1的中点 取 CC1的中点 M 连结 GM FM 则 EF GM E F M G 共面 作 C1H FM 交 FM 的延长线于 H AC 平面 BB1C1C C1H 平面 BB1C1C AC G1H 又 AC GM GM C1H GM FM M C1H 平面 EFG 设 AC1与 MG 相交于 N 点 所以 C1NH 为直线 AC1与 平面 EFG 所成角 因为 6 2 1 22 2 sin 2 2 2 11 NCHC 17 13 1 证明 连接 BD ADBDABADAB 60 为等边三角形 E 是 AB 中点 DEAB PD 面 ABCD AB 面 ABCD PDAB DE 面 PED PD 面 PED ABDPDDE 面 PED AB 面 PAB PED面面 PAB 2 解 AB 平面 PED PE 面 PED PEAB 连接 EF EF PED EFAB PEF 为二面角 P AB F 的平面角 设 AD 2 那么 PF FD 1 DE 3 在 1 2 7 PFEFPEPEF中 14 75 722 12 7 cos 22 PEF 即二面角 P AB F 的平面角的余弦值为 14 75 14 解 1 4 arctan17 17 APB 2 略 3 3 2 2 15 方法一 I 证明 连结 AC AC 交 BD 于 O 连结 EO 底面 ABCD 是正方形 点 O 是 AC 的中点 在中 EO 是中位线 而平面 EDB 且平面 EDB 所以 平面 EDB II 证明 底在 ABCD 且底面 ABCD 同样由底面 ABCD 得 底面 ABCD 是正方形 有平面 PDC 而平面 PDC 6 分 由 和 推得平面 PBC 而平面 PBC 又且 所以平面 EFD 18 III 解 由 II 知 故是二面角的平面角 由 II 知 设正方形 ABCD 的边长为 则 在中 在中 所以 二面角 的大小为 方法二 如图所示建立空间直角坐标系 D 为坐标原点 设 I 证明 连结 AC AC 交 BD 于 G 连结 EG 依题意得 底面 ABCD 是正方形 是此正方形的中心 故点 G 的坐 标为且 这表明 而平面 EDB 且平面 EDB 平面 EDB II 证明 依题意得 又故 由已知 且所以平面 EFD 19 III 解 设点 F 的坐标为则 从而所以 由条件知 即 解得 点 F 的坐标为且 即 故是二面角的平面角 且 16 本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识 考查空间想象能力和推理 运算能力 满分 12 分 解法一 I 连结 A1B 则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A 内的射影 AB1 A1B D1E AB1 于是 D1E 平面 AB1F D1E AF 连结 DE 则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影 D1E AF DE AF ABCD 是正方形 E 是 BC 的中点 当且仅当 F 是 CD 的中点时 DE AF 即当点 F 是 CD 的中点时 D1E 平面 AB1F 6 分 20 II 当 D1E 平面 AB1F 时 由 I 知点 F 是 CD 的中点 又已知点 E 是 BC 的中点 连结 EF 则 EF BD 连结 AC 设 AC 与 EF 交于点 H 则 CH EF 连结 C1H 则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射影 C1H EF 即 C1HC 是二面角 C1 EF C 的平面角 在 Rt C1CH 中 C1C 1 CH 4 1 AC 4 2 tan C1HC 22 4 2 1 1 CH CC C1HC arctan22 从而 AHC1 22arctan 故二面角 C1 EF A 的大小为22arctan 解法二 以 A 为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 1 设 DF x 则 A 0 0 0 B 1 0 0 D 0 1 0 A1 0 0 1 B 1 0 1 D1 0 1 1 E 0 2 1 1 F x 1 0 FABEDCDFx xAFEDAFEDFABED ABEDABED xAFABED 11 1111 1111 11 2 1 0 2 1 0 011 0 1 1 0 1 1 2 1 1 平面的中点时是故当点即 平面于是 即 1 当 D1E 平面 AB1F 时 F 是 CD 的中点 又 E 是 BC 的中点 连结 EF 则 EF BD 连结 AC 设 AC 与 EF 交于点 H 则 AH EF 连结 C1H 则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射影 C1H EF 即 AHC1是二面角 C1 EF A 的平面角 21 3 1 8 9 8 9 8 3 cos 0 4 3 4 3 1 4 1 4 1 0 4 3 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 HCHA HCHA AHC HAHC HC 17 连接 CD1 P Q 分别是 CC1 C1D1的 中点 CD1 PQ 故 CD1 平面 BPQ 又 D1Q AB 1 D1Q AB 得平行四边形 ABQD1 故 AD1 平面 BPQ 平面 ACD1 平面 BPQ AC 平面 BPQ 4 分 设 DD1中点为 E 连 EF 则 PE CD CD AD CD DD1 CD 平面 ADD1 PE 平面 ADD1 过 E 作 EF AD1于 F 连 PF 则 PF AD1 PF 为点 P 到直线 AD1的距离 PF 2 23 PE 2 EF 2 2 又 D1E 2 1 D1D 1 AD 1 取 CD 中点 G 连 BG 由 AB DG AB DG 得 GB AD AD DC AD DD1 AD 平面 DCC1D1 则 BG 平面 DCC1D1 过 G 作 GH PQ 于 H 连 BH 则 BH PQ 故 BHG 是二面角 B PQ D 的平面角 由 GHQ QC1P 得 GH 5 2 又 BG 1 得 tan BHG 2 5 二面角 B PQ D 大小为 arctan 2 5 18 解 本题考查空间的线面关系 向量法及其运算 证法一 如图建立空间直角坐标系 则 D1 0 0 0 AB C D A B C D P Q 1 1 1 1 E F G H 22 O1 2 2 0 B1 4 4 0 E 2 0 8 A 4 0 8 B 4 4 8 F 0 4 4 AF 4 4 4 1 D F 0 4 4 1 B F 4 0 4 1 AF D F A 0 16 16 0 1 AF B F A 16 0 16 0 AF 平面 FD1B1 证法二 连结 BF DF 则 BF 是 AF 在面 BC1上 的射影 易证得 BF B1F DF 是 AF 在面 DC1上的射影 也易证得 DF D1F 所 以 AF 平面 FD1B1 解法一 EB 2 4 0 1 O F 2 2 4 设EB 与 1 O F 的夹角为 则 1 1 cos EB O F EBO F A A 22222 2 2 4 20 24 2 24 A 30 30 解法二 在 B1C1上取点 H 使 B1H 1 连 O1H 和 FH 易证明 O1H EB 则 FO1H 为异面直线 EB 与 1 OF 所成角 又 O1H 2 1 BE 5 HF 22 43 5 O1F 222 422 26 在 O1HF 中 由余弦定理 得 cos FO1H 6252 25524 30 30 19 解 解 1 如图 作出 MN PQ x Y Z