山东省青州市2016届中考数学第一轮复习18圆的切线性质与判定学案(新)

1 圆的切线性质与判定圆的切线性质与判定 一 知识结构 考点一考点一 点 直线与圆的位置关系点 直线与圆的位置关系 1 1 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 分别是点与圆的位置关系有三种 分别是 和和 2 2 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 相交相交相切相切相离相离 公共点的个数公共点的个数 公共点名称公共点名称 直线名称直线名称 3 3 直线和圆的位置关系的性质与判定直线和圆的位置关系的性质与判定 如果如果 O O的半径为的半径为r r 圆心 圆心O O到直线到直线l l的距离为的距离为d d 那么 那么 1 1 直线直线l l和和 O O相交相交 2 2 直线直线l l和和 O O相切相切 3 3 直线直线l l和和 O O相离相离 考点二考点二 切线的判定和性质切线的判定和性质 1 1 切线的判定方法 切线的判定方法 1 1 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 2 2 到圆心的距离等于半径的直线是圆的到圆心的距离等于半径的直线是圆的 3 3 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切 线 线 2 2 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 考点三考点三 三角形的外接圆和内切圆三角形的外接圆和内切圆 名称名称三角形的外接圆三角形的外接圆三角形的内切圆三角形的内切圆 圆心名称圆心名称 描述描述 经过三角形三顶点的圆 外心是经过三角形三顶点的圆 外心是 的交的交 点点 与三角形三边都相切的圆 内心是与三角形三边都相切的圆 内心是 的的 交点交点 图形示例图形示例 性质性质三角形外心到三角形三个顶点的距离相等三角形外心到三角形三个顶点的距离相等三角形内心到三角形三边的距离相等三角形内心到三角形三边的距离相等 基础演练 1 1 已知 已知 O O的半径为的半径为 4 4 cmcm 如果圆心 如果圆心O O到直线到直线l l的距离为的距离为 3 53 5 cmcm 那么直线 那么直线l l和和 O O的位置关系是的位置关系是 A A 相交 相交 B B 相切 相切 C C 相离 相离 D D 不确定 不确定 2 2 如图 如图 ABAB是是 O O的弦 的弦 BCBC与与 O O相切于点相切于点B B 连接 连接OAOA OBOB 若若 ABCABC 70 70 则 则 A A等于等于 A A 15 15 B B 20 20 C C 30 30 D D 70 70 3 3 如图 在 如图 在 ACEACE中 中 CACA CECE CAECAE 30 30 O O经过点经过点C C 且圆的直径 且圆的直径ABAB在线在线 段段AEAE上 试说明上 试说明CECE是是 O O的切线 的切线 二 典型例题 2 1 如图 如图 ABAB与与 O O相切于相切于C C A A B B O O的半径为的半径为 6 6 ABAB 1616 求 求OAOA的长 的长 解 解 在在 OABOAB中 中 A A B B OAOA OBOB 连接连接OCOC 则 则 OCOC ABAB OCOC 6 6 ACAC BCBC 8 8 OAOA 10 10 O OC C2 2 A AC C2 26 62 2 8 82 2 方法总结 方法总结 已知圆的切线 若图中没有连接切点的半径 可连接切点与圆心构造直角三角形 在直角三角形中利用已知圆的切线 若图中没有连接切点的半径 可连接切点与圆心构造直角三角形 在直角三角形中利用 勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题 2 如图 已知如图 已知 O O的直径为的直径为ABAB ACAC ABAB于点于点A A BCBC与与 O O相交于点相交于点D D 在 在ACAC上取一点上取一点E E 使得 使得EDED EAEA 1 1 求证 求证 EDED是是 O O的切线 的切线 2 2 当当OAOA 3 3 AEAE 4 4 时 求时 求BCBC的长度 的长度 解 解 1 1 证明 如图 连接证明 如图 连接ODOD ODOD OAOA EAEA EDED 3 3 4 4 1 1 2 2 1 1 3 3 2 2 4 4 即 即 ODEODE OAEOAE ABAB ACAC OAEOAE 90 90 ODEODE 90 90 DEDE是是 O O的切线 的切线 2 2 OAOA 3 3 AEAE 4 4 OEOE 5 5 又又 ABAB是是 O O的直径 的直径 ADAD BCBC 1 1 5 5 90 90 2 2 6 6 90 90 又又 1 1 2 2 5 5 6 6 DEDE ECEC E E是是ACAC的中点 的中点 OEOE BCBC且且OEOE BCBC BCBC 10 10 1 1 2 2 方法总结 方法总结 证明圆的切线分为三种情况 有过切点的半径 证垂直 有切点 无半径 连半径 证明圆的切线分为三种情况 有过切点的半径 证垂直 有切点 无半径 连半径 证垂直 无切点 作垂直 证相等证垂直 无切点 作垂直 证相等 三 题组训练 1 1 如图 如图 ABAB是是 O O的直径 的直径 ACAC是是 O O的切线 连接的切线 连接OCOC交交 O O于点于点D D 连接连接BDBD C C 40 40 则 则 ABDABD的度数是的度数是 A A 30 30 B B 25 25 C C 20 20 D D 15 15 2 2 如图 已知 如图 已知ABAB是是 O O的直径 的直径 BCBC是是 O O的弦 弦的弦 弦EDED ABAB于点于点F F 交 交BCBC于点于点G G 过点 过点C C的直线与的直线与EDED的的 延长线交于点延长线交于点P P PCPC PGPG 求证 求证 PCPC是是 O O的切线 的切线 四 课后作业 1 Rt Rt ABABC C中中 C C 90 90 ACAC 3 3 cmcm BCBC 4 4 cmcm 以 以C C为圆心 为圆心 r r为半径作圆 若为半径作圆 若 C C与直线与直线ABAB相切 则相切 则r r的值为的值为 A A 2 2 cmcm B B 2 42 4 cmcm C C 3 3 cmcm D D 4 4 cmcm 2 如图 如图 ABAB是是 O O的弦 的弦 ACAC是是 O O的切线 的切线 A A为切点 为切点 BCBC经过圆心 若经过圆心 若 B B 25 25 则 则 C C的大小等于的大小等于 A A 20 20 B B 25 25 C C 40 40 D D 50 50 3 如图 以等边三角形如图 以等边三角形ABCABC的的BCBC边为直径画半圆 分别交边为直径画半圆 分别交ABAB ACAC于点于点E E D D DFDF是是 圆的切线 过点圆的切线 过点F F作作BCBC的垂线交的垂线交BCBC于点于点G G 若若AFAF的长为的长为 2 2 则 则FGFG的长为的长为 A A 4 4 B B 3 3 C C 6 6 D D 2 2 3 33 3 4 如图 如图 ABCABC内接于内接于 O O ABAB是直径 是直径 O O的切线的切线PCPC交交BABA的延长线于点的延长线于点 P P OFOF BCBC交交ACAC于点于点E E 交 交PCPC于点于点F F 连接 连接AFAF 1 1 判断判断AFAF与与 O O的位置关系 并说明理由 的位置关系 并说明理由 2 2 若若ACAC 2424 AFAF 1515 求 求 O O的半径的半径 五 附基础演练 例题 练习题答案及课后作业详细解析与评分标准 3 一 知识结构 考点一考点一 点 直线与圆的位置关系点 直线与圆的位置关系 1 1 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 分别是点在圆外 点在圆上和点在圆内 点与圆的位置关系有三种 分别是点在圆外 点在圆上和点在圆内 2 2 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 相交相交相切相切相离相离 公共点的个数公共点的个数 2 21 10 0 公共点名称公共点名称交点交点切点切点无无 直线名称直线名称割线割线切线切线无无 3 3 直线和圆的位置关系的性质与判定直线和圆的位置关系的性质与判定 如果如果 O O的半径为的半径为r r 圆心 圆心O O到直线到直线l l的距离为的距离为d d 那么 那么 1 1 直线直线l l和和 O O相交相交 d d r r 考点二考点二 切线的判定和性质切线的判定和性质 1 1 切线的判定方法 切线的判定方法 1 1 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 2 2 到圆心的距离等于半径的直线是圆的到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线切线 3 3 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 2 切线的性质切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 切线的性质切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径半径 考点三考点三 三角形的外接圆和内切圆三角形的外接圆和内切圆 名称名称三角形的外接圆三角形的外接圆三角形的内切圆三角形的内切圆 圆心名称圆心名称三角形的外心三角形的外心三角形的内心三角形的内心 描述描述 经过三角形三顶点的圆 外心是三角形三经过三角形三顶点的圆 外心是三角形三 边中垂线的交点边中垂线的交点 与三角形三边都相切的圆 内心是三角与三角形三边都相切的圆 内心是三角 形三条角平分线的交点形三条角平分线的交点 图形示例图形示例 性质性质三角形外心到三角形三个顶点的距离相等三角形外心到三角形三个顶点的距离相等三角形内心到三角形三边的距离相等三角形内心到三角形三边的距离相等 基础演练 1 1 已知 已知 O O的半径为的半径为 4 4 cmcm 如果圆心 如果圆心O O到直线到直线l l的距离为的距离为 3 53 5 cmcm 那么直线 那么直线l l和和 O O的位置关系是的位置关系是 A A A A 相交 相交 B B 相切 相切 C C 相离 相离 D D 不确定 不确定 解析 解析 O O的半径的半径r r 4 4 cmcm 圆心 圆心O O到直线到直线l l的距离的距离d d 3 53 5 cmcm d d r r 直线直线l l与与 O O的位置关系的位置关系 是相交 故选是相交 故选 A A 2 2 如图 如图 ABAB是是 O O的弦 的弦 BCBC与与 O O相切于点相切于点B B 连接 连接OAOA OBOB 若若 ABCABC 70 70 则 则 A A等于等于 B B A A 15 15 B B 20 20 C C 30 30 D D 70 70 解析 解析 BCBC与与 O O相切于点相切于点B B ABCABC 70 70 ABOABO 20 20 又又 OAOA OBOB A A ABOABO 20 20 故选故选 B B 答案 答案 B B 3 3 如图 在 如图 在 ACEACE中 中 CACA CECE CAECAE 30 30 O O经过点经过点C C 且圆的直径 且圆的直径ABAB在线在线 段段AEAE上 试说明上 试说明CECE是是 O O的切线 的切线 解析 解析 连接连接 OCOC 要证 要证 CECE 是是 O O 的切线 只需证到的切线 只需证到 OCE 90 OCE 90 即可 即可 CA CE CA CE CAE 30 CAE 30 E CAE 30 E CAE 30 COE 2 A 60 COE 2 A 60 OCE 90 OCE 90 CE CE 是是 O O 的切线 的切线 二 典型例题 1 如图 如图 ABAB与与 O O相切于相切于C C A A B B O O的半径为的半径为 6 6 ABAB 1616 求 求OAOA的长 的长 解 解 在在 OABOAB中 中 A A B B OAOA OBOB 连接连接OCOC 则 则 OCOC ABAB OCOC 6 6 ACAC BCBC 8 8 OAOA 10 10 O OC C2 2 A AC C2 26 62 2 8 82 2 4 方法总结 方法总结 已知圆的切线 若图中没有连接切点的半径 可连接切点与圆心构造直角三角形 在直角三角形中利用已知圆的切线 若图中没有连接切点的半径 可连接切点与圆心构造直角三角形 在直角三角形中利用 勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题 2 如图 已知如图 已知 O O的直径为的直径为ABAB ACAC ABAB于点于点A A BCBC与与 O O相交于点相交于点D D 在 在ACAC上取一点上取一点E E 使得 使得EDED EAEA 1 1 求证 求证 EDED是是 O O的切线 的切线 2 2 当当OAOA 3 3 AEAE 4 4 时 求时 求BCBC的长度 的长度 解 解 1 1 证明 如图 连接证明 如图 连接ODOD ODOD OAOA EAEA EDED 3 3 4 4 1 1 2 2 1 1 3 3 2 2 4 4 即 即 ODEODE OAEOAE ABAB ACAC OAEOAE 90 90 ODEODE 90 90 DEDE是是 O O的切线 的切线 2 2 OAOA 3 3 AEAE 4 4 OEOE 5 5 又又 ABAB是是 O O的直径 的直径 ADAD BCBC 1 1 5 5 90 90 2 2 6 6 90 90 又又 1 1 2 2 5 5 6 6 DEDE ECEC E E是是ACAC的中点 的中点 OEOE BCBC且且OEOE BCBC BCBC 10 10 1 1 2 2 方法总结 方法总结 证明圆的切线分为三种情况 有过切点的半径 证垂直 有切点 无半径 连证明圆的切线分为三种情况 有过切点的半径 证垂直 有切点 无半径 连 半径 证垂直 无切点 作垂直 证相等半径 证垂直 无切点 作垂直 证相等 三 题组训练 1 1 如图 如图 ABAB是是 O O的直径 的直径 ACAC是是 O O的切线 连接的切线 连接OCOC交交 O O于点于点D D 连接 连接 BDBD C C 40 40 则 则 ABDABD的度数是的度数是 B B A A 30 30 B B 25 25 C C 20 20 D D 15 15 解析 解析 ABAB是是 O O的直径 的直径 ACAC是是 O O的切线 的切线 OACOAC 90 90 C C 40 40 AOCAOC 50 50 B B 25 25 故选故选 B B 答案 答案 B B 2 2 如图 已知 如图 已知ABAB是是 O O的直径 的直径 BCBC是是 O O的弦 弦的弦 弦EDED ABAB于点于点F F 交 交BCBC于于 点点G G 过点 过点C C的直线与的直线与EDED的延长线交于点的延长线交于点P P PCPC PGPG 求证 求证 PCPC是是 O O的切线 的切线 解 解 证明 如图 连接证明 如图 连接OCOC EDED ABAB FBGFBG FGBFGB 90 90 又又 PCPC PGPG PCGPCG PGCPGC 而而 PGCPGC FGBFGB OCBOCB FBGFBG PCGPCG OCBOCB 90 90 即即OCOC PCPC PCPC是是 O O的切线 的切线 四 课后作业 1 Rt Rt ABABC C中中 C C 90 90 ACAC 3 3 cmcm BCBC 4 4 cmcm 以 以C C为圆心 为圆心 r r为半径作圆 若为半径作圆 若 C C与直线与直线ABAB相切 相切 则则r r的值为的值为 B B A A 2 2 cmcm B B 2 42 4 cmcm C C 3 3 cmcm D D 4 4 cmcm 解析 解析 作作CDCD ABAB于点于点D D 在 在 Rt Rt ABCABC中 中 C C 90 90 ACAC 3 3 cmcm BCBC 4 4 cmcm 由勾股定理 可得 由勾股定理 可得 ABAB 5 cm 5 cm 再由面积法 求得 再由面积法 求得CDCD 2 4 cm 2 4 cm 即 即r r的值为的值为 2 42 4 cm cm 故选故选 B B 答案 答案 B B 2 如图 如图 ABAB是是 O O的弦 的弦 ACAC是是 O O的切线 的切线 A A为切点 为切点 BCBC经过圆心 若经过圆心 若 B B 25 25 则 则 C C的大小等于的大小等于 C C A A 20 20 B B 25 25 C C 40 40 D D 50 50 解析 解析 如图 连接如图 连接OAOA ACAC是是 O O的切线 的切线 OAOA ACAC 即 即 OACOAC 90 90 OAOA OBOB B B 25 25 OABOAB B B 25 25 C C 180 180 B B BACBAC 180 180 25 25 25 25 90 90 40 40 故选故选 C C 答案 答案 C C 5 3 如图 以等边三角形如图 以等边三角形ABCABC的的BCBC边为直径画半圆 分别交边为直径画半圆 分别交ABAB ACAC于点于点E E D D DFDF是圆的切线 过点是圆的切线 过点F F 作作BCBC的垂线交的垂线交BCBC于点于点G G 若若AFAF的长为的长为 2 2 则 则FGFG的长为的长为 B B A A 4 4 B B 3 3 C C 6 6 D D 2 2 3 33 3 解析 解析 如图 连接如图 连接ODOD DFDF是圆的切线 是圆的切线 DFDF ODOD 又又 OCOC ODOD C C 60 60 OCDOCD是等边三角形 是等边三角形 ODCODC 60 60 ADFADF 30 30 又又 A A