数学：第二章《圆锥曲线与方程》教案（1）（新人教A版选修1-1）

1 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 课课 题题 小小结与复习结与复习 教学目的 教学目的 1 椭圆的定义 标准方程 焦点 焦距 椭圆的几何性质 椭圆的画法 双曲 线的定义 标准方程 焦点 焦距 双曲线的几何性质 双曲线的画法 等轴双曲线 抛物线的定义 标准方程 焦点 焦距 抛物线的几何性质 抛物线的画法 2 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 教学重点教学重点 椭圆 双曲线 抛物线的定义 方程和几何性质 坐标法的应用 教学难点教学难点 椭圆 双曲线的标准方程的推导过程 利用定义 方程和几何性质求有关焦点 焦距 准线等 授课类型 授课类型 复习课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 教学过程教学过程 一 课前预习一 课前预习 椭 圆 双曲线抛物线 定义 标准方程 图形 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 渐近线方 程 二 复习引入 二 复习引入 名名 称称椭椭 圆圆双双 曲曲 线线 图图 象象 x O y x O y 平面内到两定点 21 F F的距离的和平面内到两定点 21 F F的 2 定定 义义 为常数 大于 21F F 的动点的轨迹 叫椭圆即aMFMF2 21 当 2a 2c时 轨迹是椭圆 当 2a 2c时 轨迹是一条线段 21F F 当 2a 2c时 轨迹不存在 距离的差的绝对值为常数 小于 21F F 的动点的轨 迹叫双曲线即 aMFMF2 21 当 2a 2c时 轨迹是双 曲线 当 2a 2c时 轨迹是两条 射线 当 2a 2c时 轨迹不存 在 标准方标准方 程程 焦点在x轴上时 1 2 2 2 2 b y a x 焦点在y轴上时 1 2 2 2 2 b x a y 注 是根据分母的大小来判断焦点 在哪一坐标轴上 焦点在x轴上时 1 2 2 2 2 b y a x 焦点在y轴上时 1 2 2 2 2 b x a y 常数常数 cba 的关的关 系系 222 bca 0 ba a最大 bcbcbc 222 bac 0 ac c最大 可以 bababa 渐近线渐近线 焦点在x轴上时 0 b y a x 焦点在y轴上时 0 b x a y 抛物线 图 形 x y OF l x y O F l 方 程 0 2 2 ppxy 0 2 2 ppxy 0 2 2 ppyx 0 2 2 ppyx 焦 点 0 2 p 0 2 p 2 0 p 2 0 p 三 章节知识点回顾 三 章节知识点回顾 x y O F l x y O F l 3 椭圆 双曲线 抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹 由这些条件可以求出它们的标 准方程 并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质 1 椭圆定义 在平面内 到两定点距离之和等于定长 定长大于两定点间的距离 的动点 的轨迹 2 椭圆的标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 0 ba 3 椭圆的性质 由椭圆方程1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 范围 axa byb 椭圆落在byax 组成的矩形中 2 对称性 图象关于y轴对称 图象关于x轴对称 图象关于原点对称原点叫椭圆的对称 中心 简称中心 x轴 y轴叫椭圆的对称轴 从椭圆的方程中直接可以看出它的范围 对称的截距 3 顶点 椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点 0 0 2 aAaA 0 0 2 bBbB 加两焦点 0 0 21 cFcF 共有六个特殊点 21A A叫椭圆的长轴 21B B叫椭圆的短 轴 长分别为 ba 2 2 ba 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 4 离心率 椭圆焦距与长轴长之比 a c e 2 1 a b e 10 e 椭圆形状与e的关系 0 0 ce 椭圆变圆 直至成为极限位置圆 此时也可认为圆为 椭圆在0 e时的特例 1ace 椭圆变扁 直至成为极限位置线段 21F F 此时也可认为 圆为椭圆在1 e时的特例 4 双曲线的定义 平面内到两定点 21 F F的距离的差的绝对值为常数 小于 21F F 的动点 的轨迹叫双曲线 即aMFMF2 21 这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫 做焦距 在同样的差下 两定点间距离较长 则所画出的双曲线的开口较开阔 两条平行线 两定点间距离较短 大于定差 则所画出的双曲线的开口较狭窄 两条射线 双曲线的 形状与两定点间距离 定差有关 5 双曲线的标准方程及特点 1 双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种 焦点在x轴上时双曲线的标准方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 a 0 b 4 焦点在y轴上时双曲线的标准方程为 1 2 2 2 2 b x a y 0 a 0 b 6 cba 有关系式 222 bac 成立 且0 0 0 cba 其中 a 与 b 的大小关系 可以为bababa 7 焦点的位置 从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 2 x 2 y项的 分母的大小来确定 分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的 正负来判断焦点所在的位置 即 2 x项的系数是正的 那么焦点在x轴上 2 y项的系数是正 的 那么焦点在y轴上 8 双曲线的几何性质 1 范围 对称性 由标准方程1 2 2 2 2 b y a x 从横的方向来看 直线 x a x a 之间没有图象 从纵的方向 来看 随着 x 的增大 y 的绝对值也无限增大 所以曲线在纵方向上可无限伸展 不像椭圆 那样是封闭曲线双曲线不封闭 但仍称其对称中心为双曲线的中心 2 顶点 顶点 0 0 21 aAaA 特殊点 bBbB 0 0 21 实轴 21A A长为 2a a 叫做半实轴长虚轴 21B B长为 2b b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点 而椭圆则有四个顶点 这是两者的又一差异 3 渐近线 过双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线x a b y 0 b y a x 4 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 a c a c e 2 2 叫做双曲线的离心率范围 1 e 双曲线形状与 e 的关系 11 2 2 222 e a c a ac a b k e 越大 即渐近线的斜 率的绝对值就大 这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知 双曲线的离心率越大 它的开口就越阔 9 等轴双曲线 定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴 双曲线的性质 1 渐近线方程为 xy 2 渐近线互相垂直 3 离心率 2 e 5 10 共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y 0 kx ka kb 那么此双曲线方程就一定 是 0 1 2 2 2 2 k kb y ka x 或写成 2 2 2 2 b y a x 11 共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴 虚轴为实轴 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲 线 区别 三量 a b c 中 a b 不同 互换 c 相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线 的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法 将 1 变为 1 12 双曲线的焦点弦 定义 过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式 当双曲线焦点在 x 轴上时 过左焦点与左支交于两点时 2 21 xxeaAB 过右焦点与右支交于两点时 2 21 xxeaAB 当双曲线焦点在 y 轴上时 过左焦点与左支交于两点时 2 21 yyeaAB 过右焦点与右支交于两点时 2 21 yyeaAB 13 双曲线的通径 定义 过焦点且垂直于对称轴的相交弦 a b d 2 2 14 抛物线定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F 叫做抛物 线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 15 抛物线的准线方程 1 0 2 2 ppxy 焦点 0 2 p 准线l 2 p x 2 0 2 2 ppyx 焦点 2 0 p 准线l 2 p y 3 0 2 2 ppxy 焦点 0 2 p 准线l 2 p x 4 0 2 2 ppyx 焦点 2 0 p 准线l 2 p y 相同点 1 抛物线都过原点 2 对称轴为坐标轴 3 准线都与对称轴垂直 垂足与 焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 4 1 即 24 2pp 6 不同点 1 图形关于 X 轴对称时 X 为一次项 Y 为二次项 方程右端为px2 左端 为 2 y 图形关于 Y 轴对称时 X 为二次项 Y 为一次项 方程右端为py2 左端为 2 x 2 开口方向在 X 轴 或 Y 轴 正向时 焦点在 X 轴 或 Y 轴 的正半轴上 方程右端取 正号 开口在 X 轴 或 Y 轴 负向时 焦点在 X 轴 或 Y 轴 负半轴时 方程右端取负号 16 抛物线的几何性质 1 范围 因为 p 0 由方程 02 2 ppxy可知 这条抛物线上的点 M 的坐标 x y 满足不等 式 x 0 所以这条抛物线在 y 轴的右侧 当 x 的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸 2 对称性 以 y 代 y 方程 02 2 ppxy不变 所以这条抛物线关于 x 轴对称 我们把抛物线的 对称轴叫做抛物线的轴 3 顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 在方程 02 2 ppxy中 当 y 0 时 x 0 因此抛物线 02 2 ppxy的顶点就是坐标原点 4 离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比 叫做抛物线的离心率 用 e 表 示 由抛物线的定义可知 e 1 17 抛物线的焦半径公式 抛物线 0 2 2 ppxy 00 22 x pp xPF 抛物线 0 2 2 ppxy 00 22 x pp xPF 抛物线 0 2 2 ppyx 00 22 y pp yPF 抛物线 0 2 2 ppyx 00 22 y pp yPF 18 直线与抛物线 1 位置关系 相交 两个公共点或一个公共点 相离 无公共点 相切 一个公共点 将bkxyl 代入0 22 FEyDxCyAxC 消去 y 得到 关于 x 的二次方程0 2 cbxax 7 若0 相交 0 相切 0 相离 综上 得 联立 pxy bkxy 2 2 得关于 x 的方程0 2 cbxax 当0 a 二次项系数为零 唯一一个公共点 交点 当0 a 则 若0 两个公共点 交点 0 一个公共点 切点 0 无公共点 相离 2 相交弦长 弦长公式 2 1k a d 3 焦点弦公式 抛物线 0 2 2 ppxy 21 xxpAB 抛物线 0 2 2 ppxy 21 xxpAB 抛物线 0 2 2 ppyx 21 yypAB 抛物线 0 2 2 ppyx 21 yypAB 4 通径 定义 过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径 pd2 5 若已知过焦点的直线倾斜角 则 pxy p xky 2 2 2 0 2 22 py k p y 2 21 21 2 pyy k p yy sin 2 4 4 2 2 2 21 p p k p yy 2 21 sin 2 sin 1p yyAB 6 常用结论 pxy p xky 2 2 2 0 2 22 py k p y和0 4 2 22 222 pk xppkxk 2 21 pyy 和 4 21 p xx 四 四 例题例题 1 动点 A 到定点 F1 0 2 和 F2 0 2 的距离的和为 4 则动点 A 的轨迹为 B A 椭圆 B 线段 C 无图形 D 两条射线 8 2 动点 P 到定点 F1 1