2011高考数学萃取精华试题（14）新人教A版

用心 爱心 专心 1 20112011 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 1414 1 河南一模河南一模 20 本题满分 12 分 已知数列 n a中 1 3a 2 5a 其前n项和 n S满足 1 21 223 n nnn SSSn 令 1 1 n nn b aa 求数列 n a的通项公式 若 1 2xf x 求证 12 1 12 6 nn Tb fb fb f n 1n 20 由题意知 1 112 23 n nnnn SSSSn 即 1 1 23 n nn aan 112322nnnnn aaaaaaaa 122122 2225222212213 nnnnn n 检验知1n 2时 结论也成立 故21 n n a 由于 1 1 1 11 2121 11111 2 22 212121 2121 21 nn n n nn nnnn b f n 故 12 2231 1111111 12 2121212122121 nn nn Tb fb fb f n 1 111111 2 12212 126 n 21 本题满分 12 分 已知椭圆 E 22 22 1 0 xy a b ab 的焦点坐标为 1 F 0 2 点 M 2 2 在椭 圆 E 上 求椭圆 E 的方程 设 Q 1 0 过 Q 点引直线l与椭圆 E 交于BA 两点 求线段AB中点P的轨 迹方程 O 为坐标原点 O的任意一条切线与椭圆 E 有两个交点C D且 ODOC 求 O的半径 用心 爱心 专心 2 21 本题满分 12 分 解 椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 经过 M 2 2 一个焦点坐标为 1 F 0 2 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy 4 分 当直线l的斜率存在时 设直线l与椭圆 E 的两个交点为 A 11 y x B 22 y x 相交所得弦的中点 yxP 1 48 1 48 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 得 0 4 8 21212121 yyyyxxxx 弦AB的斜率 0 28 4 21 21 21 21 y y x yy xx xx yy k QPBA 四点共线 PQAB kk 即 10 12 xy x y y x 且 经检验 0 0 1 0 符合条件 线段AB中点P的轨迹方程是02 22 xyx 8 分 当 O的切线斜率存在时 设 O的切线方程为ykxm 由 22 1 84 xy ykxm 得 222 12 4280kxkmxm 设 4433 yxDyxC 则 2 2 43 2 43 21 82 21 4 k m xx k km xx ODOC 0 4343 yyxx 即 222 22 288 0 1212 mmk kk 22 3880mk 即 8 83 2 2 m k 直线ykxm 为 O的一条切线 圆的半径 2 1 m r k 即 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 用心 爱心 专心 3 经检验 当 O的切线斜率不存在时也成立 2 6 3 r 12 分 22 本小题满 12 分 已知 A B C 是直线 l 上的三点 O 是直线 l 外一点 向量OA OB OC 满足 OA f x 2f 1 OB ln x 1 OC 求函数 y f x 的表达式 若 x 0 证明 f x 2 2 x x 若不等式 1 2 x2 f x2 m2 2m 3 对 x 1 1 恒成立 求实数 m 的取值范围 22 解 OA f x 2 1 f OB ln 1 x OC 且 A B C 在直线l上 f x 2 1 f ln 1 x 2 分 y f x ln 1 x 1 2 1 f fx 1 1x 于是 1 f 1 2 f x ln 1 x 4 分 令 g x f x 2 2 x x 由 g x 1 1x 2 2 2 2 2 xx x 2 2 1 2 x xx 以及 x 0 知 g x 0 g x在 0 上为增函数 又 g x在 x 0 处右连续 当 x 0 时 得 g x 0 g 0 f x 2 2 x x 8 分 原不等式等价于 222 1 23 2 xf xmm 令 h x 22 1 2 xf x 22 1 ln 1 2 xx 则 h x 2 2 1 x x x 3 2 1 xx x 10 分 1 0 x 时 h x 0 1 x 时 h x h x在 1 0 为增函数 在 0 1 上为减函数 11 分 当 1 1 x 时 max h x 0 h 从而依题意有 2 23mm 解得31mm 或 故 m 的取值范围是 1 3 12 分 用心 爱心 专心 4 2 新一模 19 本题 13 分 某县为了贯彻落实党中央国务院关于农村医疗保险 简称 医保 政策 制定了如下实施方案 2009 年底通过农民个人投保和政府财政投入 共集资 1000 万元作为 全县农村医保基金 从 2010 年起 每年报销农民的医保费都为上一年底医保基金余额的 10 并且每年底县财政再向医保基金注资m万元 m为正常数 1 以 2009 年为第一年 求第n年底该县农村医保基金有多少万元 2 根据该县农村人口数量和财状况 县政府决定每年年底的医保基金要逐年增加 同 时不超过 1500 万元 求每年新增医保基金m 单位 万元 应控制在什么范围内 19 解 1 设第n年底该县农村医保基金为 n a万元 则 111 9 1000 1 10 2 2 10 nnnn aaam naam n 即 3 分 于是 1 11 99 10 10 2 10 10 1010 n nnn amam namam 所以 即 1 9 10 1000 10 10 n n amm 6 分 故第n年底该县农村医保基金有 1 9 10 1000 10 10 n mm 万元 7 分 2 若每年年底的医保基金逐年增加 则数列 n a单调递增 因为 1 9 10 n y 是减函数 则1000 100m 时 即100 m 时 10 分 又 1 9 10 1000 10 1500 10 n n amm 恒成立 则 lim 1500 n a n 即101500 150 mm 所以 12 分 故每年新增医保基金m的应控制在 100 万元到 150 万元之间 13 分 20 本题 13 分 过圆 22 6 4 8Cxy 上一点 A 4 6 作圆的一条动弦 AB 点 P 为弦 AB 的中点 1 求点 P 的轨迹方程 2 设点 P 关于点 D 9 0 的对称点为 E O 为坐标原点 将线段 OP 绕原点 O 依逆时 针方向旋转 90 度后 所得线段为 OF 求 EF的取值范围 20 1 解 连接 PC 由垂径分弦定理知 PCAB 所以点 P 的轨迹是以线段 AC 为直径 用心 爱心 专心 5 的圆 除去点 A 2 分 因为点 4 6 6 4 AC 则其中点坐标为 5 5 又圆半径 2 2 AC r 故点 P 的轨迹方程是 22 5 5 2 4 6 xyxy 5 分 2 因为点 P E 关于点 D 9 0 对称 设点 P x y则点 18 Exy 6 分 设点 11 F x y因为线段 OF 由 OP 绕原点逆时针旋转 90 度得到 则 OFOP 且 OFOP 即 2222 1 11 1 1 yy xyxy x x A且 由 1 1 1 yy x x A 得 1 11 1 0 xy ytx xty t xy 令 则 22222 1111 0 1 txyxy tt 所以因此点 F 的坐标为 y x 所以 2222 18 2 9 9 EFxyyxxy A 设点 9 9 2 MEFPM 则 10 分 因为点 P 为圆 22 5 5 2xy 上的点 设圆心为 5 5 N 则 22 min 2 95 95 22 532 PMMN max 22 532 PMMN 12 分 故 EF的取值范围是 2 1062 2 1062 13 分 21 本题 13 分 给出定义在 0 上的三个函数 2 1 f xnx g xxaf x h xxa x 已知 g x在1x 处取得极值 1 确定函数 h x的单调性 用心 爱心 专心 6 2 求证 当 2 1xe 时 恒有 2 2 f x x f x 成立 3 把函数 h x的图象向上平移 6 个单位长度得到函数 1 h x的图象 试确定函数 1 yg xh x 的零点个数 并说明理由 21 解 1 由题设 2 ln 2 a g xxaxg xx x 则 1 分 由已知 1 0 202 gaa 即 2 分 于是 1 2 1 h xxxh x x 则 3 分 由 1 101 h xx x 所以 1 h x 在上是增函数 在 0 1 上是减函数 4 分 2 当 2 1 012 0 2 xenxf x 时即 5 分 欲证 2 2 f x x f x 只需证 2 2 xf xf x 即证 2 1 1 x f x x 6 分 设 2 1 2 1 1 11 xx xf xnx xx 则 2 22 12 1 2 1 1 1 1 xxx x xxx x 当 2 1xe 时 0 x 所以 x 在区间 2 1 e上为增函数 7 分 从而当 2 1 1 0 xex 时即 2 1 1 1 x nx x 故 2 2 f x x f x 8 分 3 由题设 11 26 0 h xxxg xh x 令 则 22 2ln 26 0 22ln6 xxxxxxxx 即 用心 爱心 专心 7 9 分 设 2 23 22ln 6 0 h xxx h xxxx 则 2 122 20 4 x