工程力学教案张定华第8次

第 1 页 青 岛 黄 海 学 院 教 师 教 案 年 月 日 课课 题题 2 2 平面力系平衡方程的应用平面力系平衡方程的应用 二 二 课课 时时 2 教学目的教学目的 学会列力系平衡方程学会列力系平衡方程 教学重点教学重点 平衡方程的分类平衡方程的分类 教学难点教学难点 平衡方程的求列平衡方程的求列 教学关键点教学关键点 掌握受力分析的方法 学会根据受力判定方程类型掌握受力分析的方法 学会根据受力判定方程类型 教教 具具 三角板 教鞭三角板 教鞭 板书设计板书设计 力系平衡方程的求列力系平衡方程的求列 一 外力 内力的概念一 外力 内力的概念 1 外力 系统外任何物体作用于该系统的力称为 这个系统的外力 2 内力 二 静定与静不定概念二 静定与静不定概念 1 静定系统 系统中所有未知量的总数小于或等 于系统独立的平衡方程的总数时 称这系统为静定系 统 2 静不定系统 三 物体系统的平衡问题三 物体系统的平衡问题 常见的物体系统的平衡问题有三类 即构架 多 跨静定梁 三铰拱 这三类问题都有其相应的求解特点 在求解过程 中能总结归纳 第 2 页 青 岛 黄 海 学 院 教 师 教 案 教 学 内 容 及 教 学 过 程提示与补充 新课导入 新课导入 1 平面力系平衡方程的种类 2 物系平衡问题分类 求解步骤 新课讲授 新课讲授 2 2平面力系平衡方程的应用 二 平面力系平衡方程的应用 二 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 一 平面任意力系的平衡条件与平衡方程一 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 由第一章可知 平面任意力系简化的结果不外乎是合力 合力偶或平衡三种情 况 如果力系平衡 则主矢与主矩必定为零 反之 如果 则力系一定处于 不平衡的状态 于是可得到 平面任意力系平衡的必要和充分条件是 力系的 主矢和对于任一点的主矩都等于零 于是平面任意力系平衡充要条件可以这样具体表达 力系中所有力在两个任选 的坐标轴上的投影的代数和分别等于零 且各力对于作用面上任意一点之矩的 代数和也等于零 平衡条件对于工程构件的设计计算具有重要意义 式 2 2 称为平面任意力系平衡方程的基本形式 它包含一个力矩方程 又称为 一矩式 三个方程相互独立 可以求解三个未知量 应当指出 投影轴和矩心 是可以任意选取的 在实际应用中 选取投影轴应尽可能使每一投影方程中只 含一个未知量 而矩心则选在未知量最多的交点上 二 平面任意力系平衡方程的其他形式二 平面任意力系平衡方程的其他形式 平面任意力系的平衡方程除了式 2 2 的一矩式形式外 还有另外两种形式 即二矩式和三矩式 1 二矩式 平衡方程由一个投影方程和两个力矩方程组成 平衡方程的举例 熟练的平衡方程的类 型都有哪些 第 3 页 应用式 2 3 时应满足条件 矩心 A B 的连线不与投影轴垂直 2 三矩式 平衡方程由三个力矩方程组成 应用式 2 4 时应满足条件 矩心 A B C 三点不共线 式 2 3 和式 2 4 中 当满足各自的附加条件时 三个方程也是相互独立的 同 样可以求解三个未知量 在某些情况下 应用二矩式或三矩式会比较方便 必须指出 对于单个刚体 或一个研究对象 的平衡问题 任何一种形式的平衡 方程最多只有三个是独立的 只能求解三个未知量 如果列出了多于三个的平 衡方程则其中必有不独立的方程 或称为无效方程 第二节三种特殊平面力系的平衡 对于平面任意力系 有式 2 1 到 2 4 几种平衡方程的一般表达形式 但 针对平面汇交力系 平面平行力系和平面力偶系三种特殊平面力系 有必要根 据其平衡条件来讨论平衡方程的具体应用 一 平面汇交力系 1 平面汇交力系平衡的解析法 一个平面汇交力系 设定其力系汇交点为 A 点 则在式 2 2 中对于方程 O 点的选取是任意的 如果就选在 A 点 可以判断该方程一定是一个无效方程 因为该力系对其汇交点而言转动效应恒为零 故平面汇交力系平衡的充要条件 为 各力在两坐标轴上投影的代数和分别等于零 上式称为平面汇交力系的平衡方程 这是两个独立的方程 可以求解两个未知 量 例 2 1 物体重 用绳子挂在支架的滑轮 B 上 绳子的另一端接在绞车 D 上 转 动绞车 物体便能提升 设滑轮的大小及摩擦均略去不计 杆 AB BC 的自重 也不计 A B C 三处为铰接 当物体处于平衡时 试求杆 AB BC 所受的 力 1 杆 AB BC 均为二力杆 假设它们对滑轮的约束力为拉力 如图 2 1b 所 示 分别为和 2 选取滑轮 B 为研究对象画受力图 滑轮受到绳子两端的拉力 且 由于滑 轮的大小可忽略不计 故这些力可判定为汇交力系 设定 x y 轴 如图 2 1c 所示 3 列平衡方程求解 常见的例题 汇交力系的方程特点 方程个数为 2 第 4 页 由 有 负号表示与所设方向相反 即 CB 杆受压力 正号表示与所设方向相同 即 AB 杆受拉力 2 平面汇交力系平衡的几何法 针对平面汇交力系的各个力矢量 式 2 5 的另一种表达形式为 则有平面 汇交力系平衡的几何条件为 该力系的力多边形自行封闭 如图 1 23 所示的平面汇交力系中 四个力的合力为 如该力系还有一个力 大小与相同 方向相反 则该力系的力多边形封闭 起点与终点重合 为一平 衡力系 例 2 2 试用几何法求解例 2 1 中杆 AB 和 CB 所受的力 解 1 取 B 点为研究对象 2 先假定杆 AB 和 CB 所受力的方向 3 取一点 a 预先设定比例尺 作力矢 ab 接着作力矢 bc 然后 过 a 点做直线平行于 AB 杆方向 过 c 点做直线平行于 BC 杆方向 因为和两力 只知其方向 而不知其大小 两直线交点为 d 由题意可知 abcda 必为一封闭 的力多边形 4 按比例尺量得 其中的指向与原假设方向相同 为拉力 的指向与原假 设方向相反 为压力 结合例题 可以归纳出应用平面汇交力系平衡的几何条件求解的步骤如下 1 根据题意 选取力系汇交点为研究对象 2 分析该点的受力 画出受力图 判明已知力和未知力 3 任取一点 应用平衡几何条件 按比例依次首尾相接画出全部已知力和未 知力 如两力的大小未知 方向已知 则作两条方向线找出其交点 如一力的 大小 方向均未知 则将该力放在最后 按力多边形的封闭原则进行求解 4 在封闭力多边形中 找出未知力 判断其正确指向 按比例求出其大小 二 平面力偶系的平衡 由力偶的性质可知 力偶对刚体的作用效果只能是使刚体发生转动 而不能使 刚体平移 故由多个力偶组成的平面力偶系作用在某刚体上并处于平衡时 也 汇交力系注意事项 平面力偶系的特点 第 5 页 不会产生移动效应 在式 2 2 中 与两个方程恒等于零 是两无效方程 平面力偶系平衡的充要条件是 所有力偶矩的代数和等于零 三 平面平行力系的平衡 平面平行力系中 取 x 轴与各力垂直 y 轴与力系中各力平行 则各力在 x 轴 的投影均为零 若该平面平行力系为平衡力系 由式 2 2 可知 恒成立 为一无效方程 而独立的平衡方程只有两个 最多只能求解两个未知量 故平面平行力系平衡 的充要条件是 力系中各力在与力平行的坐标轴上投影的代数和为零 各力对 任意点的力矩代数和也为零 此为平面平行力系的平衡方程 其中 y 轴不与各力垂直 也可表示为二矩式 其中 A B 两点的连线不能与各力平行 AB 杆上所受的外力也是平面平行力系的例子 在杆件 AB 上当分布力可以看 做沿一轴线作用时 这种分布力称为沿轴线分布的线分布载荷 它以单位长度 上力的大小作为载荷集度 以表示 单位是 N m 或 kN m 线分布载荷分为均布载荷和非均布载荷 非均布载荷最常见的为线性分布载荷 或称三角形线分布载荷 本书中主要介绍有均布载荷作用的情况 均布载荷的简化结果为一合力 常用表示 合力的大小等于均布载荷集度与其 分布长度的乘积 即 合力的作用点在其分布长度的中点上 方向与方向一致 例 2 4 一塔式起重机 机架重 其重心距右轨 B 点距离为 起重机的最大起 重量为 距右轨 B 点距离为 起重机的平衡配重为 其重心距左轨 A 点距离 为 轨距 试求起重机在满载和空载时都不致翻倒的取值范围 平面任意力系平衡方程的应用 在讨论了平面任意力系平衡方程的基本形式及三种特殊平面力系的平衡方程后 结合具体问题分单个物体 或单个研究对象 及物体系统两种情形说明平衡方程 的应用 平衡方程描述了物体平衡时 各个受力之间应满足的关系 因此对于工程实际 平面平行力系 第 6 页 问题 可以应用平衡方程来求解工程结构和构件处于平衡时的未知力或解决如 物体平衡位置等相关问题 平面任意力系平衡方程的解题步骤如下 1 确定研究对象 画出受力图 在受力图上要确定未知力 约束反力 的数目 作用点位置及作用 方向 注意选好投影轴 投影轴最好能通过一个或两个未知力 一般水平和铅 垂方向的投影轴可以不画 倾斜方向的投影轴则必须画出 2 列平衡方程求解 可按选好的投影轴列出投影方程 并按选好的矩心列出力矩方程求解 为避免 解联立