广东省湛江市2011届高三数学普通高考测试（一）理

用心 爱心 专心 1 试卷类型 A 湛江市湛江市 20112011 年普通高考测试 一 数年普通高考测试 一 数 学 理学 理 科 科 本试卷共 4 页 共 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡 上 用 2B 铅笔将答题卡试卷类型 A 填涂在答题卡上 在答题卡右上角的 试室号 和 座位号 栏填写试室号 座位号 将相应的试室号 座位号信息点涂黑 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改 液 不按以上要求作答的答案无效 4 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式 参考公式 锥体的体积公式 其中是底面面积 是高hSV 3 1 Sh 柱体的体积公式 其中是底面面积 是高hSV Sh 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 已知 是虚数单位 则 i i i 1 3 A B C D i 2 i 2i i 2 命题的否定是 2 0 xR xx A B 2 0 xR xx 2 0 xR xx C D 0 2 xxRx0 2 xxRx 3 已知向量 b 若 aba b 则 1 1 a 2 y y A B C 1 D 33 1 4 等差数列前 17 项和 则 n a 17 51S 5791113 aaaaa A 3 B 6 C 17 D 51 5 设随机变量服从正态分布 若 则 0 1 NpP 3 1 03 1 P A B C D 1 2 p 1p 1 2p 1 2 p 6 设 若不等式对于任意恒成立 则的最小值是0 a 1 1xax Rx a A 1 B C 0 D 21 7 如图 在一个正方体内放入两个半径不相等的球 1 O 2 O 这两个球相外切 且球与正方体共顶点的三个面相切 1 OA 球与正方体共顶点的三个面相切 则两球在正方体的 2 O 1 B 1 A A 1 B 1 O 2 O 1 C C 用心 爱心 专心 2 面上的正投影是CCAA 11 A B C D 8 对于任意实数 当时 定义运算 ab0 b 2 log 01 2 01 b ab aaa a b babaaa 且 且 则满足方程的实数所在的区间为xx 2 2x A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分分 一 必做题 一 必做题 9 13 题 题 9 双曲线的离心率为 33 22 yx 10 展开式中 常数项的值为 6 2 x x 11 设函数为奇函数 则 x kxx xf tan 2 k 12 命题 若空间两条直线 分别垂直平面 则 学生小夏这样证明 ab ba 设 与面分别相交于 连结 ab ABAB ba AB ABbABa ba 这里的证明有两个推理 即 和 老师评改认为 小夏的证明推理不正确 这两个 推理中不正确的是 13 运行右图的流程图 输出的 n 二 选做题 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 已知圆的极坐标方程为 则该圆的半径 4 cos 2 是 15 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 PA 是圆的切线 A 为切点 PBC 是圆的割线 且 则 PBPA3 BC PB P B A C m 2 n 0 a 4 b 5 开始 否 输出 n m m 1 结束 m 9 以 a b m 为 三边的三角形是锐角 三角形 是 n n 1 是 否 用心 爱心 专心 3 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 xxxxf 22 cos2 cos sin 1 求函数的最小正周期 xf 2 试比较与的大小 12 f 6 f 17 本小题满分 12 分 设函数 baxxxf 3 3 0 a 1 若曲线在点 处与直线相切 求 的值 xfy 1 1 f2 yab 2 求的单调区间 xf 18 本小题满分 14 分 如图 为圆柱的母线 是 1 AA 1 BB 1 OOBC 底面圆的直径 分别是 的中ODE 1 AA 1 CB 点 1 DECBB 面 1 证明 DEABC面 2 求四棱锥与圆柱的体积比 11A ABBC 1 OO 3 若 求与面所成角的正弦值 BCBB 11 CACBB1 19 本小题满分 14 分 已知数列满足 n a 11 1 1 2 2 n n n annnN aa annnN 为奇数 为偶数 1 求 32 a a 2 设 求证 数列是等比数列 并求其通项公式 Nnab nn 2 2 n b 3 已知 求证 nn bc 2 1 log 1 111 13221 nn cccccc 20 本小题满分 14 分 某工厂生产 A B 两种型号的产品 每种型号的产品在出厂时按质量分为一等品和 二等品 为便于掌握生产状况 质检时将产品分为每 20 件一组 分别记录每组一等品 的件数 现随机抽取了 5 组的质检记录 其一等品数如下面的茎叶图所示 1 试根据茎叶图所提供的数据 分别计算 A B 两种 产品为一等品的概率 PA PB 2 已知每件产品的利润如表一所示 用 分别 表示一件 A B 型产品的利润 在 1 的条件下 求 的分布列及数学期望 均值 E E A 型号 B 型号 9 0 8 2 0 2 3 7 7 1 6 4 3 1 A O 1 O A B C D E 1 B 用心 爱心 专心 4 3 已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示 该厂有配件 30 件 可 用资金 40 万元 设 分别表示生产 A B 两种产品的数量 在 2 的条件下 xy 求 为何值时 最大 最大值是多少 解答时须给出图示 xy yExEz 21 本小题满分 14 分 如图 在轴上方有一段曲线弧 其端点 在轴上 但不属于 对x ABx 上任一点及点 满足 直线 P 0 1 1 F 0 1 2 F22 21 PFPFAP 分别交直线于 两点 BP 2 aaxlRT 1 求曲线弧的方程 2 求的最小值 用表示 RTa 3 曲线上是否存点 使 PPRT 为正三角形 若存在 求的取a 值范围 若不存在 说明理由 等级 利润 产品 一等品二等品 A 型4 万元 3 万元 B 型3 万元 2 万元 表一表一 项目 用量 产品 配件 件 资金 万元 A 型64 B 型28 表二表二 AB P R T l x y O F1 F2 用心 爱心 专心 5 试卷类型 A 湛江市湛江市 2011 年普通高考测试 一 年普通高考测试 一 数学 理科 参考答案及评分意见数学 理科 参考答案及评分意见 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 分 1 A 2 D 3 D 4 A 5 D 6 D 7 B 8 B 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分分 9 10 60 11 12 13 3 14 1 15 3 32 2 2 1 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分 分 16 本小题满分 12 分 解 1 xxxxf 22 cos2 cos sin 2 分xxx 2 cos2cossin21 3 分xx2cos2sin 4 分 2cos 2 2 2sin 2 2 2xx 5 分 4 2sin 2 x 函数的最小正周期 6 分 xf 2 2 T 2 由可得 222 242 kxk 8 分 3 88 kxk 函数在区间上单调递增 10 分 xf 3 88 x 又 8 3 8 6 12 12 分 6 12 ff 17 本小题满分 12 分 解 1 2 分axxf33 2 曲线在点 处与直线相切 1 1 f2 y 即 4 分 2 1 0 1 f f 231 033 ba a 用心 爱心 专心 6 解得 5 分 4 1 b a 2 7 分 333 22 axaxxf 0 a i 当时 恒成立 在 上单调递增 9 分0 a0 x f xf ii 当时 由 得或 10 分0 a0 x fax ax 函数的单调增区间为 和 xf a a 单调减区间为 12 分a a 18 本小题满分 14 分 解 1 证明 连结 EOOA 分别为的中点 OE BCCB 1 2 分 1 BBEO 又 且 1 BBDA 1 2 1 BBEODA 四边形是平行四边形 AOED 即 3 分ABCDEOADE面 4 分ABCDE面 2 由题 且由 1 知 1 CBBDE面 OADE 1 CBBAO面 BCAO 6 分ABAC 因是底面圆的直径 得 且 BCOABCA CAAA 1 即为四棱锥的高 7 分BBAACA 11 面 CA 设圆柱高为 底半径为 则 hrhrV 2 柱 2 3 2 2 2 3 1 hrrrhV 锥 9 分 锥 V 柱 V 3 2 3 解一 由 1 2 可知 可分别以为坐标轴建立空间直角标系 如图 1 AAACAB 设 则 2 1 BCBB 2 0 0 1 A 0 2 0 C 从而 0 2 2 2 2 O 0 2 2 2 2 AO 由题 是面 2 2 0 1 CAAO 1 CBB 的法向量 设所求的角为 12 分 则 1 1 1 6 sin cos 6 AO CA AO CA AOCA 1 A O 1 O A B C D E 1 B 1 A O 1 O A B C D E 1 B x y z 用心 爱心 专心 7 14 分 解二 作过的母线 连结 则C 1 CC 11C B 是上底面圆的直径 连结 得 11C B 1 O 11O A 又 11O AAO 11C CBBAO面 连结 1111 CCBBOA面 1 CO 则为与面所成的角 11CO A 1 CACBB1 设 则2 1 BCBB 12 分6 2 2 22 1 CA1 11 OA 在中 COARt 11 14 分 6 6 sin 1 11 11 CA OA COA 19 本小题满分 14 分 解 1 由数列的递推关系易知 n a 2 分 2 5 2 3 32 aa 2 2 12 2 1 2 12221 naab nnn 12 4 2 1 12 2 1 212 nnana nn 6 分 nnn baa 2 1 2 2 1 1 2 1 22 又 2 1 0 2 1 2 1 21 n n n b b bab 即数列是公比为 首项为的等比数列 n b 2 1 2 1 7 分 nn n b 2 1 2 1 2 1 1 3 由 2 有 8 分nbc n nn 2 1 loglog 2 1 2 1 10 分 nnnn 1 1 1 1 1 nncccccc nn 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 111 13221 14 分1 1 1 n 20 本小题满分 14 分 1 C O 1 O A B C D E 1 B 1 A 用心 爱心 专心 8 解 1 由茎叶图知 2 分68 0 100 171713129 A P 4 分71 0 100 201314168 B P 2 随机变量 的分布列是 6 分 8 分68 3 32 0 368 0 4 E71 2 29 0 271 0 3 E 3 由题设知 目标函数为 6230 4840 0 0 xy xy x y yxyExEz71 2 68 3 10 分 作出可行域如图所示 12 分 作直线 l 071 2 68 3 yx 将向 l 右上方平移至 l1位置时 即直线经过可行域上的点 M 时 取最大值 yxz71 2 68 3 解方程组 得 4084 3026 yx yx 4 x3 y 即 时 取最大值 最大值是 22 85 14 分4 x3 yz 21 本小题满分 14 分 解 1 由椭圆的定义 曲线是以 为焦点的半椭圆 0 1 1 F 0 1 2 F 1 分1 2 1 222 cabac 的方程为 3 分 0 1 2 2 2 yy x 注 不写区间 扣 1 分 0 y 2 解法 1 由 1 知 曲线的方程为 设 0 1 2 2 2 yy x 00 yxP 则有 即 4 分22 2 0 2 0 yx 2 1 2 2 0 2 0 x y 43 P 0 680 32 32 P 0 710 29 4x 8y 40 6x 2y 30 O l l1 y M x 510 5 15 用心 爱心 专心 9 又 从而直线的方程为 0 2 A 0 2 BBPAP AP BP 5 分 2 2 0 0 x x y y 2 2 0 0 x x y y 令得 的纵坐标分别为ax RT 2 2 0 0 a x y yR 2 2 0 0 a x y yT 7 分 2 2 2 2 0 2 0 a x y yy TR 将 代入 得 2 2