广东省江门市2013届高三数学调研测试试题 理 新人教版VIP

1 江门市江门市 20132013 年普通高中高三调研测试数年普通高中高三调研测试数 学 理科 试学 理科 试 题题 本试卷共 4 页 21 题 满分 150 分 测试用时 120 分钟 参考公式 锥体的体积公式 其中是锥体的底面积 是锥体的高 ShV 3 1 Sh 如果事件 互斥 那么 AB BPAPBAP 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 已知 则 054 2 xxxA 1 2 xxB BA A B C D 1 1 5 1 1 5 1 1 已知 则 4 3 a 2 5 b ba A B C D 102527 40 已知命题 p2 m 命题 复平面内表示复数 是虚数单位 的点位于qimz 1 1 Rm i 直线上 xy 则命题是命题的pq A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 非充分非必要条件 D 充要条件 函数在其定义域上是 2 3 2sin xxf A 周期为的奇函数 B 周期为的奇函数 2 C 周期为的偶函数 D 周期为的偶函数 2 某种饮料每箱装 6 听 如果其中有 2 听不合格 质检人员从中随机抽出 2 听 检出不 合格产品的概率 p A B C D 2 1 3 1 3 2 6 0 以抛物线的顶点为中心 焦点为一个顶点且离心率的双曲线的标准08 2 xy2 e 方程是 A B C D 1 124 22 yx 1 4816 22 yx 1 124 22 xy 1 4816 22 yx 2 已知一个几何体的三视图及其大小如图 1 这个几何体的体积 V A B C D 12 16 18 64 输入正整数 和数据 n2 n 1 a 2 a n a 如果执行如图 2 的程序框图 输出的是数据 的平均数 则框图的处s 1 a 2 a n a 理框 中应填写的是 A B i ass n as s i C D i asi s i 1 n asi s i 1 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 9 13 题 已知等差数列的首项 前三项之和 则的通项 n a1 1 a9 3 S n a n a 已知 满足约束条件 则的最大值是 xy 82 40 30 yx y x yxz 已知是正整数 若 则的取值范围是 n 432 nnn CCC n 与圆 关于直线 对称的圆的方程是 C042 22 yxyxl0 yx 3 P C D A B O 图 3 图 4 曲线上任意一点到直线的距离的最小值是 2ln xy Pxy2 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 几何证明选讲选做题 如图 3 圆的割线交圆OPAB 于 两点 割线经过圆心 已知 OABPCD6 PA 则圆的半径 3 1 7 AB12 POO R 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系 中 直线被 20 4 圆截得的弦的长是 sin2 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步 骤 本小题满分 12 分 在中 角 所对的边长分别为 已知ABC ABCabc 02coscos AA 求角的大小 A 若 求的值 3 a2 b 4 sin B 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系中 是平面上一点 使三角形xOy 0 4 1 F 0 4 2 FP 的周长为 21F PF18 求点的轨迹方程 P 在点的轨迹上是否存在点 使得顺次连接点 所得到的P 1 P 2 P 1 F 1 P 2 F 2 P 四边形是矩形 若存在 请求出点 的坐标 若不存在 请简要说明理 2211 PFPF 1 P 2 P 由 本小题满分 14 分 如图 4 四棱锥中 底面ABCDP PA 是直角梯形 为的中点 ABCDABCDEBC 0 90 ADCBAD3 AB1 CD 4 3 3 1 1 2 2 A B A 图 5 2 ADPA 求证 平面 DEPAC 求与平面所成角的正弦值 PAPDE 本小题满分 14 分 如图 5 所示 有两个独立的转盘 A B 其中三个扇形区域的圆心角分别为 0 60 用这两个转盘玩游戏 规则是 依次随机转动两个转盘再随机停下 指针 0 120 0 180 固定不动 当指针恰好落在分界线时 则这次转动无效 重新开始 为一次游戏 记转 盘 A 指针所对的数为 转盘 B 指针对的数为 设的值为 每次游戏得xyyx 到的奖励分为分 求且的概率 2 x1 y 某人玩 12 次游戏 求他平均可以得到多少奖励分 本小题满分 14 分 设数列的前项和为 且对任意正整数 点在直线 n an n S1 1 an 1nn Sa 上 022 yx 求数列的通项公式 n a 5 若 求数列的前项和 2 nn nab n bn 21 本小题满分 14 分 已知函数在上是减函数 在上是增函数 cbxaxxxf 23 0 1 0 求的值 并求的取值范围 ba 判断在其定义域R上的零点的个数 xf 理科数学评分参考 一 选择题 BADC DABC 二 填空题 且 或 4 分 12 n79 n Nn9 n 2 739 n 5 1 2 22 yx 5 5 82 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步 骤 解 由得 2 分 02coscos AA01coscos2 2 AA 解得或 4 分 1cos A 2 1 cos A 因为是三角形的内角 所以 6 分A A0 3 A 由正弦定理得 8 分 解得 9 B b A a sinsin Bsin 2 3 sin 3 3 3 sin B 分 因为 所以 10 分 ab 3 0 AB 3 6 cos B 6 所以 12 分 6 326 4 sincos 4 cossin 4 sin BBB 解 依题意 1 分 18 2121 FFPFPF 所以 点的轨迹是椭圆 2 分 8 21 FF10 21 PFPFP 3 分 所以 椭圆的方程为102 a82 c5 a4 c3 b 4 分 因为是三角形 点不在直线上 即不在轴上 1 925 22 yx 21F PFP 21F Fx 所以点的轨迹方程为 5 分 P1 925 22 yx 0 y 根据椭圆的对称性 是矩形当且仅当直线经过原点 且 2211 PFPF 21P PO 是直角 6 分 此时 或 7 分 211 FPF 4 2 1 211 FFOP1 2111 FPFP kk 设 则 9 分 解得 10 分 所 1 yxP 16 1 925 22 22 yx yx 16 81 16 175 2 2 y x 4 9 4 75 y x 以有 2 个这样的矩形 对应的点 分别为 或 2211 PFPF 1 P 2 P 4 9 4 75 4 9 4 75 12 分 4 9 4 75 4 9 4 75 证明与求解 因为 所以 1 分 PAABCD DEABCD PADE 取的中点 连接 则是梯形的中位线 所以ADFEFEFABCD 且 3 分 在和中 ABEF 2 2 CDAB EFADCRt DEFRt 所以 5 分 0 90 ADCEFD2 DC AD DF EF EFD ADC 所以DACFED DEAC 6 分 因为 所以平面 7 分 AACPA DEPAC 方法一 由 知平面平面 8 分 PDEPAC 设 连接 在中作 垂足为 则GACDE PGPAGRt PGAH H 平面 10 分 所以是与平面所成的角 11 分 AHPDEAPH PAPDE 由 知 在中 所以ADGRt 2 AD 2 1 tan AD CD CAD 7 12 分 因为 所以 13 5 4 cos CADADAG PAABCD 5 6 PG 分 即为与平面所成角的正弦值 14 3 2 sinsin PG AG APGAPHPAPDE 分 方法二 依题意 以为原点 所在直线分别为轴 轴 AADABAPxy 轴建立空间直角坐标系 8 分 则直线的方向向量为 9 分 zPA 1 0 0 AP 依题意 2 0 0 P 0 0 2 D 0 3 0 B 0 1 2 C 10 分 从而 11 分 设平面 0 2 1 E 2 0 2 DP 0 2 1 DE 的一个法向量为 则 12 分 所以PDE cban 02 022 baDEn caDPn 可选取平面的一个法向量为 13 分 所以与平bca2 PDE 2 1 2 nPA 面所成角的正弦值为 14 分 PDE 3 2 cos APn APn APn 解 由几何概型知 6 1 1 xP 3 3 1 2 xP 2 1 3 xP 3 1 1 yP 2 1 2 yP 6 1 3 yP 分 对 1 2 个给 1 分 3 4 个给 2 分 所以 5 分 6 1 1 2 xPxP 3 2 3 2 1 yPyPyP 7 分 9 1 1 2 12 yPxPyxP且 的取值为 2 3 4 5 6 8 分 其分布列为 23456 P 18 1 36 7 36 13 36 11 12 1 11 分 他平均每次可得到的奖励分为 12 分 13 分 12 1 6 36 11 5 36 13 4 36 7 3 18 1 2 E 6 25 所以 他玩 12 次平均可以得到的奖励分为 14 分 5012 E 第二问 若学生直接求出转盘 的期望和转盘 的期望再相加 则求转盘 的期 8 望给 3 分 求转盘 B 的期望给 3 分 相加 1 分 解 因为点在直线上 所以 1 分 1nn Sa 022 yx022 1 nn Sa 当时 2 分 两式相减得1 n022 1 nn Sa 即 3 分022 11 nnnn SSaa022 1 nnn aaa nn aa 2 1 1 又当时 4 分1 n02222 1212 aaSa 12 2 1 2 1 aa 所以是首项 公比的等比数列 5 分 n a1 1 a 2 1 q 的通项公式为 6 分 n a 1 2 1 n n a 由 知 7 分 记数列的前项和为 则 1 2 4 n nn n nab n bn n T 8 分 122 44 1 4 3 4 2 1 nn n nn T 9 分 两式相减得 23 44 1 4 3 244 nn n nn T 11 分 13 分 123 44 1 4 1 4 1 53 nnn n n T 1 43 43 3 16 n n 所以 数列的前项和为 14 分 n bn 1 49 43 9 16 n n n T 21 解 由已知得 1 分 baxxxf 23 2 因为在上是减函数 在上是增函数 所以在处取得 xf 0 1 0 xf0 x 极小值 2 分 解得 3 分 0 0 f0 b 又因为在上是增函数 所以 4 分 xf 1 0 023 2 axxxfxa 2 3 当时 所以的取值范围是 5 分 1 0 x 2 3 2 3 0 xa 2 3 a 由 得 解得或 6 分 3 2 3 a xxxf 0 xf0 x 0 3 2 a x x 0 0 3 2 0 a 3 2a 3 2 a xf 0 0 9 xf递减极小值递增极大值递减 9 分 当时 由上表知 取某个充分大的实数 例0 0 cf 3 2a x 0 xfx 如 时 在定义域上连续 所以在区间 3 1 cax 0 1 xf xf xf 上有一个零点 从而在其定义域R上有 1 个零点 10 分 3 2 1 x a xf 当时 在区间上有一个零点 从而在其定义域0 0 cf xf 3 2 1 x a xf R上有 2 个零点 11 分 当时 若 则 取某个0 0 cf 3 27 4 ac 0 27 4 3 2 3 ca a fx 充分小的实数 例如 时 所以在区间上有一个 2 ax 0 2 xf xf 0 2 x 零点 从而在其定义域R上有 2 个零点 12 分 xf 若 则时 由上表知 3 27 4 ac 0 27 4 3 2 3 ca a f0 x 在区间上有一个零点 从而在其定