广东省佛山市顺德区2013届高三数学上学期期末质量检测文科试题新人教A版

1 2 B C A y x 1O3 4 5 6 1 2 3 4 20122012 学年度第一学期高三年级期末质量检测学年度第一学期高三年级期末质量检测 文科数学试卷文科数学试卷 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 150 分 考试时间 120 分 钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名 班级和考号填写在 答题卷上 2 必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应 位置上 如需改动 划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 参考公式 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S是锥体的底面积 h是锥体的高 第 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 满分 50 分 1 已知集合若 则为 1 2 a ABa b 1 2 AB AB A B C D 1 1 2 b 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 已知复数的实部为 虚部为 2 则 z1 5i z A B C D 2i 2i 2i 2i 3 已知 则的值为 1 sin 3 cos 2 A B C D 7 9 7 9 2 9 2 3 4 已知是等差数列 则该数列前 13 项和 n a 67 20aa 78 28aa 13 S A 156 B 132 C 110 D 100 5 下列命题中的假命题是 A B 是 的充分不必要 3 0 xR x 0 a 0a 条件 C D x 2 是 x 1 时 函数表示函数n n fx 的导函数 若输入函数 则输出的 1n fx 1 sincos f xxx 函数可化为 n fx A B 2sin x 4 2sin x 4 C D 2sin x 4 2sin x 4 10 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的A 令 下面说法 am n bp q abmqnp A 错误的是 A 若与共线 则 B a b 0ab A abba AA C 对任意的 有R abab AA D 2222 aba bab A 第 卷 非选择题 共 100 分 二 填空题 本大题共 小题 考生作答 小题 每小题 5 分 满分 20 分 一 必做题 第 11 12 13 题为必做题 每道试题考生都必须作答 开始开始 输入输入 f1 x fn x f n 1 x 是是 否否 n 2 n n 1 n 013 输出输出 fn x 结束结束 第第 9 题图题图 3 C B A E F 第 15 题 图 1 2 3 2 3 3 7 1 0 1 475 423 2 甲乙 78 率 率 率 率 率 率 率 kg率 0 09 0 07 0 04 0 02 0 01 7470666254 58 第 12 题图 11 则该直线的倾斜角为 20 0 1 1 axmyam 直线过点 12 为了了解某学校 2000 名高中男生的身体发育情况 抽查了该校 100 名高中男生的体重情况 根据所得数据画出样本的频率分布直方图 据 此估计该校高中男生体重在 70 78kg 的人数为 13 若函数是偶函数 则函数的 2 ln 1 f xxax 定义域是 请考生在以下两个小题中任选一题作答 两题全答的以第 14 小题计分 14 坐标系与参数方程 已知直线与圆 40l xy 1 2cos 1 2sin x y C 则上各点到 的距离的最小值为 Cl 15 几何证明选讲 如图 以为直径的圆与 ABC的两边4AB 分别交于两点 则 E F60ACB EF 三 解答题 本部分共计 6 小题 满分 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 请在指定区域内作答 否则该题计为零分 16 本题满分 12 分 已知函数的一系列对应值如下表 sin 0 0 f xx x 4 0 6 4 2 3 4 y 01 1 2 01 0 1 求的解析式 f x 2 若在中 求的面积 ABC 2AC 3BC 1 2 f A ABC 17 本题满分 12 分 某赛季 甲 乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛 他们所有比赛得分的情况用如 图所示的茎叶图表示 1 求甲 乙两名运动员得分的中位数 2 你认为哪位运动员的成绩更稳定 3 如果从甲 乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场 的得分 求甲的得分大于乙的得分的概率 参考数据 2222222 981026109466 23611213647 2222222 4 18 本题满分 14 分 如图 己知 BCD 中 BCD 900 BC CD 2 AB 平面 BCD ADB 450 E F 分别 是 AC AD 上的动点 且 EF CD 1 求证 EF 平面 ABC 2 求此三棱锥 A BCD 的表面积 3 若 E F 分别是 AC AD 上的中点 求点 A 到平 面 BEF 的距离 19 本小题满分 14 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且1 1 a nn Sa2 1 1 求 432 aaa的值 2 求数列 n a的通项公式 n a 3 设 求数列 n b的前n项和 n T nn bna 20 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系中 已知向量 动 4 4 ax ybkx y kR ab 点的轨迹为 T M x y 1 求轨迹 T 的方程 并说明该方程表示的曲线的形状 2 当时 已知 试探究是否存在这样的点 是轨迹1k 0 0 O 2 1 EQQ T 内部的整点 平面内横 纵坐标均为整数的点称为整点 且 OEQ 的面积 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 说明理由 2 OEQ S 21 本题满分 14 分 已知函数 且其导函数的图像过原点 32 11 32 a f xxxbxa a b R fx 1 当时 求函数的图像在处的切线方程 1a f x3x 2 若存在 使得 求的最大值 0 x 9fx a 3 当时 求函数的零点个数 0a f x 5 2012 学年度第一学期高三年级期末质量检测 文科数学参考答案 一 选择题 1 D 2 A 3 B 4 A 5 D 6 B 7 B 8 D 9 C 10 B 二 填空题 11 12 240 13 14 15 3 135 4 或 1 1 2 22 2 3 三 解答题 16 本题满分 12 分 已知函数的一系列对应值如下表 sin 0 0 f xx x 4 0 6 4 2 3 4 y 01 1 2 01 0 1 求的解析式 f x 2 若在中 求的面积 ABC 2AC 3BC 1 2 f A ABC 解 1 由题中表格给出的信息可知 函数的周期为 f x 3 44 T 所以 2 分 2 2 注意到 也即 由 所以 sin 2 0 4 2 2 kkZ 0 2 4 分 所以函数的解析式为 或者 5 分 sin 2 2 f xx cos2f xx 2 或 6 分 1 cos2 2 f AA 3 A 2 3 A 当时 在中 由正弦定理得 3 A ABC sinsin BCAC AB 7 分 3 2 sin3 2 sin 33 ACA B BC 8 分BCAC 3 BA 6 cos 3 B 1 2 3 2 3 3 7 1 0 1 475 423 2 甲乙 9 分 36133 23 sinsin sincoscossin 23236 CABABAB 10 分 113 233 23 sin2 3 2262 ABC SAC BCC 同理可求得 当时 2 3 A 12 分 113 233 23 sin2 3 2262 ABC SAC BCC 注 本题中第一问由于取点的不同而导致求周期和方法众多 只要言之有理并能 正确求出即给分 17 本题满分 12 分 某赛季 甲 乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛 他们所有比赛得分的情况用如图 所示的茎叶图表示 1 求甲 乙两名运动员得分的中位数 2 你认为哪位运动员的成绩更稳定 3 如果从甲 乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场 的得分 求甲的得分大于乙的得分的概率 参考数据 2222222 981026109466 23611213647 2222222 解 1 运动员甲得分的中位数是 22 运动员乙得分的中位数是 23 2 分 2 3 分 21 7 32232224151714 甲 x 4 分 12 13 11232731 30 21 7 x 乙 2222222 2 21 1421 1721 1521 2421 2221 2321 32236 77 S 甲 5 分 2222222 2 21 1221 1321 1121 2321 2721 3121 30466 77 S 乙 6 分 从而甲运动员的成绩更稳定 7 分 22 S乙 甲 S 3 从甲 乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为 49 8 分 其中甲的得分大于乙的是 甲得14 分有3 场 甲得17 分有3 场 甲得15 分有3 场 甲得24 分有4 场 甲得22 分有3 场 甲得23 分有3 场 甲得32 分有7 场 共计26 场 10 分 从而甲的得分大于乙的得分的概率为 12 分 26 49 P 18 本题满分 14 分 如图 己知 BCD 中 BCD 900 BC CD 2 AB 平面 BCD ADB 450 E F 分 别是 AC AD 上的动点 且 EF CD 1 求证 EF 平面 ABC 2 求此三棱锥 A BCD 的表面积 3 若 E F 分别是 AC AD 上的中点 求点 A 到 平面 BEF 的距离 1 证明 因为 AB 平面 BCD 所以 AB CD 又在 BCD 中 BCD 900 所以 BC CD 又 AB BC B 所以 CD 平面 ABC 3 分 又因 所以 EF 平面 ABC 4 分 EFCD 2 因 CD 平面 ABC 所以 CD AC CD BC 又因 AB 平面 BCD 所以 AB BC AB BD 所以三棱锥 A BCD 的四个面都是直角三角形 因 BC CD 2 故 BD 2 2 又 ADB 450 故 BD AB AC 所以 2 2 22 842 3ABBC 1111 2222 1111 2 222 22 22 22 3262 22 38 2222 ACD ABCBCDABD SSSSSAB BCBC CDAB BDAC CD 表 分 3 解 因 EF 平面 ABC BE 在面 BCD 内 所以 EF BE 又因 E F 分别是 AC CD 的中点 所以 又 AB BC 因此 BE 是 ABC 的中 1 1 2 EFCD 线 所以 所以 11 2 22 22 ABEABC SS 1 3 2 BEAC 设 A 到面 BEF 的距离为 h 因 EF 平面 ABC 113 13 222 BEF SEF BE 根据 所以 A BEFFABE VV 11 33 BEFABE ShSEF 2 12 6 33 2 ABE BEF SEF h S 所以 A 到面 BEF 的距离为 14 分 2 6 3 19 本小题满分 14 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且1 1 a nn Sa2 1 1 求 432 aaa的值 2 求数列 n a的通项公式 n a 3 设 求数列 n b的前n项和 n T nn bna 解 1 1 1 a 22 12 aa 62 23 Sa 182 34 Sa 3分 2 nn Sa2 1 1 2 nn Sa 2 n nnn aaa2 1 1 3 n n a a 2 n 又 数列自第2项起是公比为3的等比数列 6分 2 1 2 a a n a 8分 2 1 1 2 3 2 n n n a n 3 10分 nn bna 2 1 1 23 2 n n n b nn 0122 122323 324323n n Tn 12分 1321 3234233232233 n n nT 得 01221 2222323232323 nn n Tn 2321 22 333323 nn n 1 12 31 n n 14 分 2 1 3 2 1 1 n n nT 20 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系中 已知向量 动 4 4 ax ybkx y kR ab 点的轨迹为 T M x y 1 求轨迹 T 的方程 并说明该方程表示的曲线的形状 2 当时 已知 试探究是否存在这样的点 是轨迹 T1k 0 0 O 2 1 EQQ 内部的整点 平面内横 纵坐标均为整数的点称为整点 且 OEQ 的面积 2 OEQ S 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 说明理由 解 1 ab 4 4 0a bx ykx y 得 即 2 分 22 160kxy 22 16kxy 当时 方程表示两条与 x 轴平行的直线 答方程表示两条直线不扣分 0k 3 分 当时 方程表示以原点为圆心 4 为半径的圆 答方程表示圆不扣分 4 分1k 当且时 方程表示椭圆 5 分0k 1k 当时 方程表示双曲线 6 分0k 2 由 1 知 当时 轨迹 T 的方程为 1k 222 4xy 连结 OE 易知轨迹 T 上有两个点 A B满足 4 0 4 0 分别过 A B 作直线 OE 的两条平行线 2 OEAOEB SS 1 l 2 l 同底等高的两个三角形的面积相等 符合条件的点均在直线 上 7 分 1 l 2 l 直线 的方程分别为 1 2 OE k 1 l 2 l 1 4 2 yx 1 4 2 yx 8 分 设点 在轨迹 T 内 9 分 Q x y x yZ Q 22 16xy 分别解与 得与 22 16 1 4 2 xy yx 22 16 1 4 2 xy yx 2 42 5 x 2 24 5 x 为偶数 在上 对应的 x yZ x 2 4 2 5 2 0 2x 1 2 3y 在上 对应的 13 分 2 2 4 5 2 0 2x 3 2 1y 满足条件的点存在 共有 6 个 它们的坐标分别为 Q 14 分 2 1 0 2 2 3 2 3 0 2 2 1 21 本题满分 14 分 已知函数 且其导函数的图像过原点 32 11 32 a f xxxbxa a b R fx 1 当时 求函数的图像在处的切线方程 1a f x3x 2 若存在 使得 求的最大值 0 x 9fx a 3 当时 求函数的零点个数 0a f x 解 32 11 32 a f xxxbxa 2 1 fxxaxb 由得 2 分 0 0 f 0b 1 fxx xa 1 当时 1a 32 1 1 3 f xxx 2 fxx x 3 1f 3 3 f 所以函数的图像在处的切线方程为 即 f x3x 13 3 yx 380 x