广东省饶平二中2011届高考数学第一轮 不等式的证明学案

用心 爱心 专心 广东饶平二中广东饶平二中 20112011 高考第一轮学案 不等式的证明高考第一轮学案 不等式的证明 一 知识归纳一 知识归纳 1 证明不等式的常用方法 1 比较法 作差比较法步骤 作差 变形 判定符号 作商比较法步骤 作商 变形 确定与 1 的大小关系 2 分析法 从所要证明的不等式出发 不断地用充分条件代替前面的不等式 可简称为 执果索因 3 综合法 由已知条件出发 根据不等式的基本性质或基本不等式 逐步推理 推导出 要求证的不等式 在不等式证明过程中 应注重与不等式的运算性质联合使用 几个重要不等式 22 2abab 当且仅当ab 时 等号成立 若 a bR 则abba2 当且仅当ab 时 等号成立 等价变形 2 2 ba ab 若0ab 则2 b a a b 当且仅当ab 时 等号成立 cabcabcba 222 若 a b cR 则 3 3 abc abc 当且仅当abc 时 等号成立 2 不等式证明的其他方法 反证法 放缩法 数学归纳法 判别式法 构造法等 二 练习题 二 练习题 1 已知0 0 dcba 求证 c b d a 2 求证 2 2222 bdacdcba 3 已知函数 log 1 1 a f xxa 对任意的 12 0 0 xx 求证 12 12 21 1 1 22 xx f xf xf 用心 爱心 专心 4 设函数 3 f xxx xR 1 用单调性的定义证明 f x在R上是增函数 2 设0 0 0abbcca 证明 0f af bf c 5 已知 a b c不全相等的正数 求证 cbacabcab 6 设函数 1 2 f x x a bR 用分析法证明 2 3 ab ff ba 设4ab 求证 af b bf a中至少有一个大于 1 2 7 已知0 0 xy 且2xy 求证 y x x y 1 1 中至少有一个小于 2 8 已知 x y z是不全相等的正数 且1xyz 求证 1 111 1 1 1 8 xyz 2 111 9 xyz 用心 爱心 专心 9 设 a b cR 求证 1 222 abc abc bca 2 222222 a bb cc a abc abc 10 1 已知 Rba 且1 ba求证 322 ba 2 已知ba 是互不相等的正数 设函数 nn banf 且 2 3 ff 求证 3 4 1 ba 11 设a b c为正实数 求证 333 111 2 3abc abc 12 设nN 求证 1 2 1111 925 21 4n 2 2 1 1 1 22 3 1 22 n nn nn 用心 爱心 专心 3 111 12 1 21 2 3 n 4 13211 24221 n nn 13 已知 12 1 n aaa 求证 222 12 1 n aaa n 用心 爱心 专心 不等式的证明不等式的证明 一 知识归纳一 知识归纳 1 证明不等式的常用方法 1 比较法 作差比较法步骤 作差 变形 判定符号 作商比较法步骤 作商 变形 确定与 1 的大小关系 2 分析法 从所要证明的不等式出发 不断地用充分条件代替前面的不等式 可简称为 执果索因 3 综合法 由已知条件出发 根据不等式的基本性质或基本不等式 逐步推理 推导出 要求证的不等式 在不等式证明过程中 应注重与不等式的运算性质联合使用 几个重要不等式 22 2abab 当且仅当ab 时 等号成立 若 a bR 则abba2 当且仅当ab 时 等号成立 等价变形 2 2 ba ab 若0ab 则2 b a a b 当且仅当ab 时 等号成立 cabcabcba 222 若 a b cR 则 3 3 abc abc 当且仅当abc 时 等号成立 2 不等式证明的其他方法 反证法 放缩法 数学归纳法 判别式法 构造法等 二 练习题 二 练习题 1 已知0 0 dcba 求证 c b d a 1 证明 0 dc 0 11 cd 又0 ba 0 c b d a 则 c b d a 2 求证 2 2222 bdacdcba 证明 1 比较法 2 222222222 2 0abcdacbda db cacbdadbc 2 2222 bdacdcba 用心 爱心 专心 证明 2 分析法 要证原不等式成立 只需证明 abcdcbda2 2222 即证0 2 bcad 因为0 2 bcad成立 故原不等式成立 3 已知函数 log 1 1 a f xxa 对任意的 12 0 0 xx 求证 12 12 21 1 1 22 xx f xf xf 证明 12 0 0 xx 12 12 2 xx x x 又1a 12 12 loglog 2 aa xx x x 1212 2 log 22 a xxxx f 121212 11 1 1 loglog log 22 aaa f xf xxxx x 12 12 21 1 1 22 xx f xf xf 4 设函数 3 f xxx xR 1 用单调性的定义证明 f x在R上是增函数 2 设0 0 0abbcca 证明 0f af bf c 证明 1 设 12 xx 则 22 121122 f xf xxxxx 22 121122 1 xxxx xx 2 2 22 121 3 1 24 xx xxx 1212 0 xxxx 又 2 2 22 1 3 10 24 xx x 12 0f xf x 12 f xf x 故 f x在R上是增函数 2 3 f xxx xR 33 fxxxxxf x 即 f x是奇函数 0 0 0abbcca abbcca 又 f x在R上是增函数 用心 爱心 专心 f afbf b f bfcf c f cfaf a f af bf cf af bf c 故 0f af bf c 5 已知 a b c 不全相等的正数 求证 cbacabcab 证明 1 基本不等式 Rcba 2 ba ab 2 cb bc 2 ac ca 又 a b c 不全相等 则上述三式的等号不同时成立 故有cba accbba cabcab 222 证明 2 柯西不等式 2222222 abbccaabcbca 2 abc 又0abc 故cbacabcab 6 设函数 1 2 f x x a bR 用分析法证明 2 3 ab ff ba 设4ab 求证 af b bf a中至少有一个大于 1 2 6 欲证 2 3 ab ff ba 即证 2 223 ba abba 只要证 22 22 42 2253 abab abab a bR 只要证 3 22 4abab 22 2 225 abab 即 22 2abab 因为 22 2abab 显然成立 故原不等式成立 假设 11 2222 ab af bbf a ba 由于a bR 22 22baab 两式相加得 422abab 即4ab 与条件4ab 矛盾 故 af b bf a中至少有一个大于 1 2 7 已知0 0 xy 且2xy 求证 y x x y 1 1 中至少有一个小于 2 用心 爱心 专心 证明 反证法 假设 2 1 x y 且2 1 y x 0 0 yx yx21 xy21 则 2 2yxyx 于是 2 yx这与题设2xy 矛盾 故命题成立 8 已知 x y z是互不全相等的正数 且1xyz 求证 1 111 1 1 1 8 xyz 2 111 9 xyz 证明 1 x y z是互不全相等的正数 且1xyz 111 1 1 1 yz zx xy xyzxyz 8 8 yzzxxy xyz 2 3 1111 1 1 339xyzxyz xyzx y z 或 111 3 9 yxxzxy xyzxyyxzx 9 设 a b cR 求证 1 22 52 2 abab 1 222 abc abc bca 2 222222 a bb cc a abc abc 1 证法一 基本不等式 由 a b cR 有 222 2 2 2 abc bacbac bca 则 222 2 abc abcabc bca 故 222 abc abc bca 证法二 排序不等式 不妨设0abc 则 222 0abc 111 0 cba 则有 222222 abccba abc bcacba 乱序和 反序和 证法三 柯西不等式 由 a b cR 用心 爱心 专心 有 222222 2 abccab abcabc bcaabc 2 cab 又0abc 222 abc abc bca 2 分析 原不等式可化为等价的 abbcca abc cab 法一 基本不等式 2 abbc b ca 2 bcca c ab 2 caab a bc 三式相加可得 abbcca abc cab 法二 用排序不等式 不妨设0abc 则 111 0 cba 两边乘以abc得 0abacbc 故 111abbcca acbcacabc cabcba 10 1 已知 Rba 且1 ba求证 322 ba 2 已知ba 是互不相等的正数 设函数 nn banf 且 2 3 ff 求证 3 4 1 ba 证明 1 分析法 由1 ba得322322 1 aaba 022322 aa 10221 a a Rba 且1 ba 10 a 故原不等式成立 2 综合法 由 nn banf 且 2 3 ff 得 2233 baba 又ba 是互不相等的正数 故bababa 22 abbaba 2 由0 ab 得0 2 baba1 ba 又 22 4 1 2 ba ba ab 则有 22 4 1 bababa 得 3 4 ba 所以有 3 4 1 ba成立 11 设a b c为正实数 求证 333 111 2 3abc abc 证明 因为 a b c为正实数 由平均不等式可得 3 333333 111111 3 abcabc 用心 爱心 专心 即 333 1113 abcabc 所以 333 1113 abcabc abcabc 而 33 22 3abcabc abcabc A 所以 333 111 2 3abc abc 12 设nN 求证 1 2 1111 925 21 4n 放缩法 222 1111 11 2 1 4414441nnnnnnn 2 2 1 1 1 22 3 1 22 n nn nn 法一 放缩法 1 1 2 nnnn 法二 数学归纳法 3 111 12 1 21 2 3 n 放缩法 1 111 1 2 31 2 222nn 4 13211 24221 n nn 法一 放缩法 22 414 nn 2 21 21 4nnn 2 2