2012-2013高中数学 1-1-2棱柱、棱锥和棱台的结构特征（第二课时） 新人教B版必修2

1 2012 20132012 2013 高一数学必修高一数学必修 2 2 人教 人教 B B 版 第一章各节同步检测版 第一章各节同步检测 1 1 1 1 2 2 棱柱 棱锥和棱台的结构特征 第二课时 棱柱 棱锥和棱台的结构特征 第二课时 一 选择题 1 棱锥至少由多少个面围成 A 3 B 4 C 5 D 6 答案 B 解析 三棱锥有四个面围成 通常称为四面体 它是面数最少的棱锥 2 四棱台的上 下底面均为正方形 它们的边长分别是 1 2 侧棱长为 则该四棱 2 台的高为 A 6 2 B 3 2 C 1 2 D 2 2 答案 A 解析 如图所示 由题意知 四棱台ABCD A1B1C1D1为正四棱台 设O1 O分别为上 下底面的中心 连结OO1 OA O1A1 过点A1作A1E OA E为垂足 则A1E的长等于正四棱台的高 又OA O1A1 2 2 2 AE OA O1A1 2 2 在 Rt A1EA中 AA1 AE 2 2 2 A1E AA2 1 AE2 2 1 2 6 2 3 过正棱台两底面中心的截面一定是 A 直角梯形 2 B 等腰梯形 C 一般梯形或等腰梯形 D 矩形 答案 C 解析 过正棱台两底面中心的截面与两底面的交线一定平行且不相等 当截面过侧棱 时 截面是一般梯形 当截面不过侧棱时 由对称性 截面与两侧面的交线一定相等 所以 截面是等腰梯形 故选 C 4 一个正三棱锥的底面边长为 3 高为 则它的侧棱长为 6 A 2 B 2 3 C 3 D 4 答案 C 解析 如图所示 正三棱锥S ABC中 O为底面 ABC的中心 SO为正三棱锥的高 SO 6 AB 3 OA 3 在 Rt SOA中 SA 3 SO2 OA26 3 5 棱台的上 下底面面积分别为 4 和 16 则中截面面积为 A 6 B 8 C 9 D 10 答案 C 解析 设中截面的面积为S 则 S 9 r 4 r 16 2 4 6 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等 则该棱锥一定不是 A 三棱锥 B 四棱锥 C 五棱锥 D 六棱锥 答案 D 解析 如图正六棱锥中 O是正六边形ABCDEF的中心 OC OD CD 而 SD OD SD CD 3 7 一个三棱锥 如果它的底面是直角三角形 那么它的三个侧面 A 至多只能有一个是直角三角形 B 至多只能有两个是直角三角形 C 可能都是直角三角形 D 必然都是非直角三角形 答案 C 解析 如图 当直线PA与平面ABC垂直 且BC与平面PAB垂直时 PAC PAB PBC都是直角 8 在侧棱长为 2的正三棱锥S ABC中 ASB BSC CSA 40 过A作截面 3 AEF 则截面的最小周长为 A 2 2 B 4 C 6 D 10 答案 C 解析 将三棱锥沿SA剪开 展开如图 连结AA 交SB于E 交SC于F 则AA 即 为 AEF的最小周长 SA SA 2 ASA 120 3 AA 2 2sin60 6 故选 C 3 二 填空题 9 正三棱台的上 下底面边长及高分别为 1 2 2 则它的斜高为 4 答案 7 3 6 解析 如图 上 下底面正三角形边长分别 1 2 O1E1 OE 又OO1 2 3 6 3 3 斜高E1E OO2 1 OE O1E1 2 7 3 6 10 正四棱锥S ABCD的所有棱长都等于a 过不相邻的两条侧棱作截面 则截面面积 为 答案 a2 1 2 解析 截面三角形三边长分别为a a a 为等腰直角三角形 面积S a2 2 1 2 11 正四棱台的上 下底面边长分别是 5 和 7 对角线长为 9 则棱台的斜高等于 答案 10 解析 如图 BDD1B1是等腰梯形 B1D1 5 BD 7 BD1 9 OO1 22 3 BD2 1 f BD B1D1 2 2 又O1E1 OE 在直角梯形OEE1O1中 5 2 7 2 斜高E1E OO2 1 OE O1E1 210 12 一个正三棱锥P ABC的底面边长和高都是 4 E F分别为BC PA的中点 则EF 的长为 答案 2 2 解析 如图在正 ABC中 AE 2 3 在正 PBC中 PE 2 3 5 在 PAE中 AE PE 2 PA 4 F为PA中点 EF PA EF 3 2 AE2 f 1 2 AP 22 三 解答题 13 如图中的晶体结构可看作由哪些简单几何体构成 解析 图 1 可看作由 2 个四棱锥构成 图 2 可看作由四棱柱构成 14 已知正四棱锥P ABCD中 底面积为 36 一条侧棱长为 求它的高和斜高 34 解析 如图 设PO为四棱锥的高 E为BC中点 则PE BC PE为斜高 正方形 ABCD的面积为 36 边长AB 6 OE 3 OB 3 2 PO 4 PE 5 PB2 BO2PO2 OE2 高为 4 斜高为 5 15 正四棱台的体对角线是 5cm 高是 3cm 求它的两条相对侧棱所确定的截面的面 积 解析 如图所示 过D1作D1E BD于E 则D1E 3cm 对角线BD1 5cm 在 Rt BD1E中 BE 4cm 设棱台上 下底面的边长分别为a b 则BD b B1D1 a 22 又 四边形BDD1B1为等腰梯形 6 且DE b a BD BE b 4 2 22 a b 8 2 SBDD1B1 B1D1 BD D1E 1 2 a b 3 12 cm2 1 22 16 如图在以O为顶点的三棱锥中 过O的三条棱两两交角都是 30 在一条棱上取 A B两点 OA 4 cm OB 3 cm 以A B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周 绳和侧 面无摩擦 求此绳在A B两点间的最短绳长 解析 作出三棱锥的侧面展开图 如图A B两点间最短绳长就是 线段AB的长度 在 AOB中 AOB 30 3 90 OA 4 cm OB 3 cm 所以AB 5 cm OA2 OB2 所以此绳在A B两点间的最短绳长为 5 cm 17 如图 正三棱台ABC A1B1C1中 已知AB 10 棱台一个侧 面梯形的面积为 O1 O分别为上 下底面正三角形中心 D1D为 20 3 3 棱台的斜高 D1DA 60 求上底面的边长 解析 由AB 10 则AD AB 5 3 23 OD AD 1 3 5 3 3 设上底面边长为x 则O1D1 x 3 6 过D1作D1H AD于H 则DH OD OH OD O1D1 x