山东省日照市2016届高考数学一模试卷-理(含解析)

1 20162016 年山东省日照市高考数学一模试卷 理科 年山东省日照市高考数学一模试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 集合 M x lg 1 x 0 集合 N x 1 x 1 则 M N A 0 1 B 0 1 C 1 1 D 1 1 2 已知复数 z 满足 z i 2 i i 为虚数单位 则 z 的共轭复数 等于 A 2 i B 1 2iC 1 2i D 1 2i 3 已知平面向量 2 m 且 则实数 m 的值为 A B C D 4 设曲线 y sinx 上任一点 x y 处切线斜率为 g x 则函数 y x2g x 的部分图象 可以为 A B C D 5 a 2 是 函数 f x x2 2ax 2 在区间 2 内单调递减 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6 将函数 y sin 2x 图象向左平移个单位 所得函数图象的一条对称轴的方程 是 A x B x C x D x 7 执行如图所示的程序框图 输出的 i 为 2 A 4B 5C 6D 7 8 已知抛物线 y2 8x 的准线与双曲线 1 相交于 A B 两点 点 F 为抛物线的焦点 ABF 为直角三角形 则双曲线的离心率为 A 3B 2C D 9 若实数 x y 满足 xy 0 则 的最大值为 A 2 B 2C 4D 4 10 若实数 a b c d 满足 b a2 3lna 2 c d 2 2 0 则 a c 2 b d 2的 最小值为 A B 8C D 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 11 2x 1 3 2x 5的展开式中 含 x 次数最高的项的系数是 用数字 作答 12 在约束条件下 当 3 m 5 时 目标函数 z 3x 2y 的最大值的取值范 围是 请用区间表示 13 某几何体的三视图如图所示 则该几何体中 面积最大的侧面的面积为 3 14 36 的所有正约数之和可按如下方法得到 因为 36 22 32 所以 36 的所有正约数之和 为 1 3 32 2 2 3 2 32 22 22 3 22 32 1 2 22 1 3 32 91 参照上 述方法 可求得 200 的所有正约数之和为 15 已知在锐角 ABC 中 已知 B 2 则的取值范围是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分分 16 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且满足 2a b cosC ccosB 0 求角 C 的值 若三边 a b c 满足 a b 13 c 7 求 ABC 的面积 17 为落实国务院 十三五 规划中的社会民生建设 某医院到社区检查老年人的体质健 康情况 从该社区全体老年人中 随机抽取 12 名进行体质健康测试 测试成绩 百分制 以茎叶图形式如图 根据老年人体质健康标准 成绩不低于 80 的为优良 将频率视为概率 根据样本估计总体的思想 在该社区全体老年人中任选 3 人进行 体质健康测试 求至少有 1 人成绩是 优良 的概率 从抽取的 12 人中随机选取 3 人 记 表示成绩 优良 的人数 求 的分布列及 期望 18 在三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 ABB1A1为矩形 AB 2 AA1 2 D 是 AA1的中点 BD 与 AB1交于点 O 且 CO ABB1A1平面 4 1 证明 BC AB1 2 若 OC OA 求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值 19 已知数列 an 前 n 项和 Sn满足 2Sn an 1 求数列 an 的通项公式 设 bn 数列 bn 的前 n 项和为 Tn 求证 Tn 20 已知函数 记函数 求函数 F x 的最大值 记函数若对任意实数 k 总存在实数 x0 使得 H x0 k 成立 求实数 s 的取值集合 21 已知椭圆的上顶点 M 与左 右焦点 F1 F2构成三角形 MF1F2面积为 又椭圆 C 的离心率为 求椭圆 C 的方程 直线 l 与椭圆 C 交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 且 x1 x2 2 又直线 l1 y k1x m 是线段 AB 的垂直平分线 求实数 m 的取值范围 椭圆 C 的下顶点为 N 过点 T t 2 t 0 的直线 TM TN 分别与椭圆 C 交于 E F 两点 若 TMN 的面积是 TEF 的面积的 k 倍 求 k 的最大值 5 6 20162016 年山东省日照市高考数学一模试卷 理科 年山东省日照市高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 集合 M x lg 1 x 0 集合 N x 1 x 1 则 M N A 0 1 B 0 1 C 1 1 D 1 1 考点 交集及其运算 专题 计算题 集合思想 定义法 集合 分析 由题设条件先求集合 M 和 N 再由交集的运算法则计算 M N 解答 解 由题意知 M x 0 x 1 M N x 0 x 1 0 1 故选 A 点评 本题考查集合的交集运算 解题时要认真审题 注意对数函数定义域的求法 2 已知复数 z 满足 z i 2 i i 为虚数单位 则 z 的共轭复数 等于 A 2 i B 1 2iC 1 2i D 1 2i 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 数系的扩充和复数 分析 利用复数定义是法则 共轭复数的定义即可得出 解答 解 z i 2 i i z i i 2 i z 1 2i 则 z 的共轭复数 1 2i 故选 B 点评 本题考查了复数定义是法则 共轭复数的定义 考查了推理能力与计算能力 属 于基础题 7 3 已知平面向量 2 m 且 则实数 m 的值为 A B C D 考点 数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题 平面向量及应用 分析 由向量的坐标的加减运算求出 然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求 出 m 的值 解答 解 由 所以 再由 a b b 所以 所以 m 故选 B 点评 本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系 考查了向量减法的坐标运算 是基 础题 4 设曲线 y sinx 上任一点 x y 处切线斜率为 g x 则函数 y x2g x 的部分图象 可以为 A B C D 8 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 函数的图象 专题 函数的性质及应用 分析 先根据导数几何意义得到曲线 y sinx 上任一点 x y 处切线斜率 g x 再 研究函数 y x2g x 的奇偶性 再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判定 解答 解 曲线 y sinx 上任一点 x y 处切线斜率为 g x g x cosx 则函数 y x2g x x2 cosx 设 f x x2 cosx 则 f x f x cos x cosx y f x 为偶函数 其图象关于 y 轴对称 排除 A B 令 x 0 得 f 0 0 排除 D 故选 C 点评 本题主要考查了导数的运算 以及考查学生识别函数的图象的能力 属于基础 题 5 a 2 是 函数 f x x2 2ax 2 在区间 2 内单调递减 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 函数思想 综合法 简易逻辑 分析 由二次函数单调性和充要条件的定义可得 解答 解 当 a 2 时 f x x2 2ax 2 x a 2 a2 2 x 2 2 6 由二次函数可知函数在区间 2 内单调递减 若 f x x2 2ax 2 x a 2 a2 2 在区间 2 内单调递减 则需 a 2 解得 a 2 不能推出 a 2 故 a 2 是 函数 f x x2 2ax 2 在区间 2 内单调递减 的充分不必要条 件 故选 A 点评 本题考查充要条件的判定 涉及二次函数的单调性 属基础题 9 6 将函数 y sin 2x 图象向左平移个单位 所得函数图象的一条对称轴的方程 是 A x B x C x D x 考点 函数 y Asin x 的图象变换 专题 三角函数的图像与性质 分析 由条件利用 y Asin x 的图象变换规律 正弦函数的图象的对称性 得出 结论 解答 解 将函数 y sin 2x 图象向左平移个单位 所得函数图象对应的函数的解析式为 y sin 2 x sin 2x 当 x 时 函数取得最大值 可得所得函数图象的一条对称轴的方程是 x 故选 C 点评 本题主要考查 y Asin x 的图象变换规律 正弦函数的图象的对称性 属 于基础题 7 执行如图所示的程序框图 输出的 i 为 A 4B 5C 6D 7 考点 程序框图 专题 计算题 图表型 试验法 算法和程序框图 分析 模拟执行程序 依次写出每次循环得到的 S i 的值 当 i 6 时不满足条件 S 30 退出循环 输出 i 的值为 6 10 解答 解 由框图 模拟执行程序 可得 S 0 i 1 S 1 i 2 满足条件 S 30 S 4 i 3 满足条件 S 30 S 11 i 4 满足条件 S 30 S 26 i 5 满足条件 S 30 S 57 i 6 不满足条件 S 30 退出循环 输出 i 的值为 6 故选 C 点评 本题考查循环结构 已知运算规则与最后运算结果 求运算次数的一个题 是算 法中一种常见的题型 属于基础题 8 已知抛物线 y2 8x 的准线与双曲线 1 相交于 A B 两点 点 F 为抛物线的焦点 ABF 为直角三角形 则双曲线的离心率为 A 3B 2C D 考点 双曲线的简单性质 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 先根据抛物线方程求得准线方程 代入双曲线方程求得 y 根据双曲线的对称性 可知 FAB 为等腰直角三角形 进而可求得 A 或 B 的纵坐标为 4 进而求得 a 利用 a b 和 c 的关系求得 c 则双曲线的离心率可得 解答 解 依题意知抛物线的准线 x 2 代入双曲线方程得 y 不妨设 A 2 FAB 是等腰直角三角形 p 4 求得 a 双曲线的离心率为 e 3 故选 A 11 点评 本题主要考查了双曲线的简单性质 解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出 FAB 为等腰直角三角形 属于中档题 9 若实数 x y 满足 xy 0 则 的最大值为 A 2 B 2C 4D 4 考点 基本不等式在最值问题中的应用 专题 转化思想 换元法 不等式的解法及应用 分析 运用换元法 设 x y s x 2y t 由 xy 0 可得 s t 同号 即有 x 2s t y t s 则 4 再由基本不等式即可得到所求最大值 解答 解 可令 x y s x 2y t 由 xy 0 可得 x y 同号 s t 同号 即有 x 2s t y t s 则 4 4 2 4 2 当且仅当 t2 2s2 取得等号 即有所求最大值为 4 2 故选 C 点评 本题考查最值的求法 注意运用换元法和基本不等式 考查运算求解能力 属于 中档题 12 10 若实数 a b c d 满足 b a2 3lna 2 c d 2 2 0 则 a c 2 b d 2的 最小值为 A B 8C D 2 考点 函数的最值及其几何意义 专题 计算题 作图题 函数的性质及应用 导数的概念及应用 分析 化简得 b a2 3lna d c 2 从而得 a c 2 b d 2 a c 2 3lna a2 c 2 2表示了点 a 3lna a2 与点 c c 2 的距离的平方 作函 数图象 利用数形结合求解 解答 解 b a2 3lna 2 c d 2 2 0 b a2 3lna d c 2 a c 2 b d 2 a c 2 3lna a2 c 2 2 其表示了点 a 3lna a2 与点 c c 2 的距离的平方 作函数 y 3lnx x2与函数 y x 2 的图象如下 3lnx x2 2x 故令 1 得 x 1 故切点为 1 1 结合图象可知 13 切点到直线 y x 2 的距离为 2 故 a c 2 b d 2的最小值为 8 故选 B 点评 本题考查了函数的图象的作法及数形结合的思想应用 属于中档题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 11 2x 1 3 2x 5的展开式中 含 x 次数最高的项的系数是 64 用数字作答 考点 二项式系数的性质 专题 计算题 转化思想 综合法 二项式定理 分析 利用二项式定理展开式的通项公式即可得出 解答 解 3 2x 5的展开式的通项公式 Tr 1 35 r 2x r 令 r 5 可得 2x 1 3 2x 5的展开式中 含 x 次数最高的项的系数为 2 2 5 64 故答案为 64 点评 本题考查了二项式定理的应用 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 12 在约束条件下 当 3 m 5 时 目标函数 z 3x 2y 的最大值的取值范 围是 7 8 请用区间表示 考点 简单线性规划 专题 不等式的解法及应用 分析 先根据约束条件画出可行域 再利用几何意义求最值 只需求出直线 z 3x 2y 过 区域内边界上的某些点时 z 最大值即可 解答 解 由 交点为 A 2 0 B 4 m 2m 4 C 0 m C 0 4 14 当 3 m 4 时可行域是四边形 OABC 此时 7 z 8 当 4 m 5 时可行域是 OAC 此时 zmax 8 故答案为 7 8 点评 本题主要考查了简单的线性规划 由于线性规划的介入 借助于平面区域 可以 研究函数的最值或最优解 借助于平面区域特性 我们还可以优化数学解题 借助于规划 思想 巧妙应用平面区域 为我们的数学解题增添了活力 13 某几何体的三视图如图所示 则该几何体中 面积最大的侧面的面积为 考点 由三视图求面积 体积 专题 空间位置关系与距离 分析 由三视图可知 几何体的直观图如图所示 平面 AED 平面 BCDE 四棱锥 A BCDE 的高为 1 四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形 分别计算侧面积 即可得出结论 解答 解 由三视图可知 几何体的直观图如图所示 15 平面 AED 平面 BCDE 四棱锥 A BCDE 的高为 1 四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形 则 S AED 1 1 S ABC S ABE 1 S ACD 1 故答案为 点评 本题考查三视图与几何体的关系 几何体的侧面积的求法 考查计算能力 14 36 的所有正约数之和可按如下方法得到 因为 36 22 32 所以 36 的所有正约数之和 为 1 3 32 2 2 3 2 32 22 22 3 22 32 1 2 22 1 3 32 91 参照上 述方法 可求得 200 的所有正约数之和为 465 考点 进行简单的合情推理 专题 规律型 分析 这是一个类比推理的问题 在类比推理中 参照上述方法 200 的所有正约数之 和可按如下方法得到 因为 200 23 52 所以 200 的所有正约数之和为 1 2 22 23 1 5 52 即可得出答案 解答 解 类比 36 的所有正约数之和的方法 有 200 的所有正约数之和可按如下方法得到 因为 200 23 52 所以 200 的所有正约数之和为 1 2 22 23 1 5 52 465 可求得 200 的所有正约数之和为 465 故答案为 465 点评 类比推理的一般步骤是 1 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 用一 类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 16 15 已知在锐角 ABC 中 已知 B 2 则的取值范围是 0 12 考点 平面向量数量积的运算 专题 平面向量及应用 分析 以 B 为原点 BA 所在直线为 x 轴建立坐标系 得到 C 的坐标 找出三角形为锐角 三角形的 A 的位置 得到所求范围 解答 解 以 B 为原点 BA 所在直线为 x 轴建立坐标系 因为 B 2 所以 C 1 设 A x 0 因为 ABC 是锐角三角形 所以 A C 120 30 A 90 即 A 在如图的线段 DE 上 不与 D E 重合 所以 1 x 4 则 x2 x x 2 所以的范围为 0 12 故答案为 0 12 点评 本题考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围 属于中档题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分分 16 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且满足 2a b cosC ccosB 0 求角 C 的值 若三边 a b c 满足 a b 13 c 7 求 ABC 的面积 考点 正弦定理 余弦定理 专题 计算题 转化思想 数形结合法 解三角形 17 分析 根据正弦定理与两角和的正弦公式 化简题中的等式可得 sin B C 2sinAcosC 结合三角函数的诱导公式算出 cosC 可得角 C 的大小 由余弦定理可得 ab 的值 利用三角形面积公式即可求解 解答 解 在 ABC 中 ccosB 2a b cosC 由正弦定理 可得 sinCcosB 2sinA sinB cosC 即 sinCcosB sinBcosC 2sinAcosC 所以 sin B C 2sinAcosC ABC 中 sin B C sin A sinA 0 sinA 2sinAcosC 即 sinA 1 2cosC 0 可得 cosC 又 C 是三角形的内角 C C a b 13 c 7 由余弦定理可得 72 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab a b 2 3ab 132 3ab 解得 ab 40 S ABC absinC 40 10 点评 本题求角 C 的大小并依此求三角形面积的最大值 着重考查了正余弦定理 两角 和的正弦公式三角函数的图象性质 属于中档题 17 为落实国务院 十三五 规划中的社会民生建设 某医院到社区检查老年人的体质健 康情况 从该社区全体老年人中 随机抽取 12 名进行体质健康测试 测试成绩 百分制 以茎叶图形式如图 根据老年人体质健康标准 成绩不低于 80 的为优良 将频率视为概率 根据样本估计总体的思想 在该社区全体老年人中任选 3 人进行 体质健康测试 求至少有 1 人成绩是 优良 的概率 从抽取的 12 人中随机选取 3 人 记 表示成绩 优良 的人数 求 的分布列及 期望 考点 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 18 专题 计算题 转化思想 综合法 概率与统计 分析 从该社区中任选 1 人 成绩是 优良 的概率为 由此利用对立事件概 率计算公式能求出至少有 1 人成绩是 优良 的概率 由题意可得 的可能取值为 0 1 2 3 分别求出相应的概率 由此能求出 的分布列及期望 解答 解 抽取的 12 人中成绩是 优良 的频率为 故从该社区中任选 1 人 成绩是 优良 的概率为 设 在该社区老人中任选 3 人 至少有 1 人成绩是 优良 的事件 为 A 则 由题意可得 的可能取值为 0 1 2 3 所以 的分布列为 0123 P 点评 本题考查概率的求法 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法 是中档 题 解题时要认真审题 注意排列组合知识的合理运用 18 在三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 ABB1A1为矩形 AB 2 AA1 2 D 是 AA1的中点 BD 与 AB1交于点 O 且 CO ABB1A1平面 1 证明 BC AB1 19 2 若 OC OA 求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值 考点 直线与平面所成的角 平面与平面垂直的性质 专题 综合题 空间位置关系与距离 空间角 分析 要证明 BC AB1 可证明 AB1垂直于 BC 所在的平面 BCD 已知 CO 垂直于侧 面 ABB1A1 所以 CO 垂直于 AB1 只要在矩形 ABB1A1内证明 BD 垂直于 AB1即可 可利用角的 关系加以证明 分别以 OD OB1 OC 所在的直线为 x y z 轴 以 O 为原点 建立空间直角坐标系 求出 平面 ABC 的一个法向量 利用向量的夹角公式 即可得出结论 解答 I 证明 由题意 因为 ABB1A1是矩形 D 为 AA1中点 AB 2 AA1 2 AD 所以在直角三角形 ABB1中 tan AB1B 在直角三角形 ABD 中 tan ABD 所以 AB1B ABD 又 BAB1 AB1B 90 BAB1 ABD 90 所以在直角三角形 ABO 中 故 BOA 90 即 BD AB1 又因为 CO 侧面 ABB1A1 AB1 侧面 ABB1A1 所以 CO AB1 所以 AB1 面 BCD 因为 BC 面 BCD 所以 BC AB1 20 解 如图 分别以 OD OB1 OC 所在的直线为 x y z 轴 以 O 为原点 建立空间 直角坐标系 则 A 0 0 B 0 0 C 0 0 B1 0 0 D 0 0 又因为 2 所以 所以 0 0 0 设平面 ABC 的法向量为 x y z 则根据可得 1 是平面 ABC 的一个法向量 设直线 CD 与平面 ABC 所成角为 则 sin 所以直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 点评 本题考查了直线与平面垂直的性质 考查线面角 考查向量方法的运用 属于中 档题 19 已知数列 an 前 n 项和 Sn满足 2Sn an 1 求数列 an 的通项公式 设 bn 数列 bn 的前 n 项和为 Tn 求证 Tn 考点 数列的求和 数列递推式 专题 等差数列与等比数列 21 分析 I 利用递推式可得 再利用等比数列的通项公式即可得出 II 由 I 可得 bn 利用 裂项求和 即可得出数列 bn 的前 n 项和为 Tn 进而得到证明 解答 I 解 2Sn an 1 当 n 2 时 2Sn 1 an 1 1 2an an an 1 0 化为 当 n 1 时 2a1 a1 1 a1 数列 an 是等比数列 首项与公比都为 II 证明 bn 数列 bn 的前 n 项和为 Tn Tn 点评 本题考查了递推式的应用 等比数列的通项公式 裂项求和 不等式的证明 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 22 20 已知函数 记函数 求函数 F x 的最大值 记函数若对任意实数 k 总存在实数 x0 使得 H x0 k 成立 求实数 s 的取值集合 考点 导数在最大值 最小值问题中的应用 函数恒成立问题 专题 计算题 分类讨论 转化思想 分析法 综合法 导数的综合应用 分析 化简函数 的表达式 求出函 数的导数 求出极值点以及端点的函数值 然后求函数 F x 的最大值 求出函数 H x 的值域为 R 求出在 s 单调递增 其值域为 然后求解函数的值域 通过 1 若 s e 求解值域 2 若 0 s e 函数的值域 判断是否满足题意 推出实数 s 的取值集合 解答 解 函数 函数 F x x2 lnx x 令 F x 0 得 F 2 4 ln2 且 x 2 时 函数 F x 取得最大值 最大值为 4 ln2 对任意实数 k 总存在实数 x0 使得 H x0 k 成立 函数 H x 的值域为 R 函数在 s 单调递增 其值域为 函数 当 x e 时 y 0 当 x e 时 y 0 函数在 e 单调递减 23 当 0 x e 时 y 0 函数在 0 e 单调递增 1 若 s e 函数在 0 e 单调递增 在 e s 单调递减 其值域为 又 不符合题意 2 若 0 s e 函数在 0 s